交流电路分析ppt
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2
= UI (1 - cos2ωt )
p u i RUiI2(1u-2c/oRs2ωt )
iu p
ω t 结论：
1. p 0 （耗能元件）
p 2. 随时间变化
3. p 与 u2、i2 成比例
ωt
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
i 2 I sin t
UU 2.2
.
U 2
1
U11
.
.
U1 落后于 U2
.
.
或 U2 超前于 U1
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1
u2 2U2 sin t 2
.
UU2 2
U.
U 同频率正弦波的 相量画在一起，
构成相量图。
U 2
3. 初相位与相位差
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1 i2
t
1
2
1 U1.1
UU.
=
UU1.1+U
.
U2 2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率
不行。 3.因角频率（）相同，所以以下讨论同频率正弦波时， 可不
考虑，主要研究幅度与初相位的变化。相量只反映了两个要素。 能反映相量间的相互关系，相互角度关系由初始相位决定。
R、L、C都是线性元件，即R、L、C都是常数。
一、 电阻电路
iR
u
根据 欧姆定律
u iR
设 u 2Usin t 则 i u 2 U sint
RR
2 I sin t
电阻电路中电流、电压的关系
1. 频率相同
u
2. 相位相同
i
3. 有效值关系：
U IR
4. 相量关系：设 UU . U 0
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
动画
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
U 最大值
·
m
U 有效值 ·
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
U I 幅度用最大值表示 ，则用符号： U.mm、、Im.m
i
i Im sin t
Im
t
三要素:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
1. 幅值与有效值
i Im sin t
I m 为正弦电流的最大值(幅值)
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t 2 t 1 21
两种正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
i2
1 2 0
i1
t
相
i2
位
领
先 1 2
i1 1 2 0
U 10V ？
j15
UU. 10 e j15 ？
§3.3 单一参数交流电路
电阻元件、电感元件和电容元件的特征
电阻元件：u =Ri
电感元件：u =
－eL
=L
di dt
电容元件：i =
dq dt
=C
du dt
R=u/i
NΦ L= i
C=
q u
注意： 瞬时值关系式中 u、i 的参考方向是一致的，
值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
T0
（均方根值）
只有当 i Im sin t 才可得
I Im 2
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
3. 除法运算
则：
UUUU. . 1 2 12
U1 U2
e j1 2
设：任一相量 AA.
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
则：AA. e j90 ( j)AA.
e j90 1 cos(90) j sin(90)
交流电路
第 3 章 交流电路
§3.1 正 弦交流电的基本概念 §3.2 正弦交流电的相量表示法 §3.3 单一参数交流电路 §3.4 串联交流电路 §3.5 并联交流电路 §3.6 交流电路的功率 §3.7 功率因数的提高 §3.8 电路的谐振
§3.1 正弦交流电的基本概念
一、正弦交流电路
交流电路： 正弦交流电路：如果在电路中电动势的大小与方向均 随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小 和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
2
.
I
100 / 6
/3
220
有时不画坐标，突出
相量间关系。
.
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： II.1.1 100 60 A II22 10 e j30 A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
正弦量 相量 复数表示法 复数运算
相量的复数表示
将相量 UU. 放到复平面上，可如下表示：
j
bU
UU.
+1
U a2 b2
tg 1 b
a
a
UU. a jb U cos jU sin
2. 频率 f： 每秒变化的次数. 单位：赫兹( Hz )
千赫兹( KHz )
3. 角频率 ω ：每秒变化的弧度. 单位：弧度/秒(rad/s)
f 1 T
2 2 f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
u
t
T
正弦交流电的参考方向
正弦交流电也有参考方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的参考方向，然后才能用数字表达式来描述。
正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算； 有利于电器设备的运行； .....
二、 正弦交流电的三要素
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
例3：已知:
解：
i1
100 s in 314t
π 4
A
i2
200 s in 314t
π 4
A
求：i =i1+ i2
I1 50 245 50 j50 A
UU. 50 e j15 50 2 sin( t 15 )？
复数
瞬时值
正误判断
已知： i 10 sin( t 45 )
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ IIm. 10 e45
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
反 i1
相
位
i2
t 1 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
u
uA uB uC
t
已知：U = 220V，f = 50Hz。
试写出uA 、uB、 uC瞬时值表达式。
uA 220 2 sin100tV
( j)A
A e j90
A
A e j90
例1：已知瞬时值，求相量。
i 141.4sin314t A
已知:
6
u 311.1sin314t V
3
求：
i 、u 的相量
解：
.
II
141
.4
30
100 30
2 2
初相位： 30
§3.2. 正弦交流电的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
则 II. U 0 或 R
t
I
.
I
U
.
U
..
U=IR
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
i 2 I sin ( t)
u
R
u 2U sin ( t)
p u i Ri 2 u 2 / R
小写 UmIm sin2 t
2U
2I 1 cos 2t
I2 100 245 100 j 100 A
I I1 I2 150 j150 150 245 A
i 300 sin314t 45 A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u
U
m
sin
UU .
t
II.
86.6
j50
A
2
UU. 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V
2
II. 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A
2
UU. 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
符号说明
瞬时值 --- 小写
u、i
有效值 --- 大写
U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
U.
相量 --- 大写 + “.”
正误判断
u 100sin t UU. ？
瞬时值
复数
正误判断
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
2.周期与频率
i
描述正弦量变化快 慢的几种方法：
t
T
1. 周期 T：变化一周所需的时间. 单位：秒(s),毫秒(ms)
复数 符号法
UU. a jb U e j U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
UU. 3 j4 UU. 3 j4 UU. 3 j4 UU. 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 53 1 )
jb1 jb2
则：
U
.
U
U=1
UU.1
2±
.
U2
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
Ue j
2. 乘法运算
UU 设：
U.11 U.22
U1e j1 U 2e j2
则： UU. = UU1.1 ·UU.22
U1 U 2 e j(12 )
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用.符号.：
U I 3. 相量符号 UU.、、I.包含幅度与相位信息。 U、、I
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度： U2 U> 1 U2 U1 相位： 2 1
uB 220 2 sin100 t 120V
uC 220 2 sin100 t 120V
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
UU.
b
U
a
U. a jb
欧 拉
cos e j e j
2
公 式
sin e j e j
2j
U (cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算
UU 设：
UU..1212
a1 a2
= UI (1 - cos2ωt )
p u i RUiI2(1u-2c/oRs2ωt )
iu p
ω t 结论：
1. p 0 （耗能元件）
p 2. 随时间变化
3. p 与 u2、i2 成比例
ωt
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
i 2 I sin t
UU 2.2
.
U 2
1
U11
.
.
U1 落后于 U2
.
.
或 U2 超前于 U1
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1
u2 2U2 sin t 2
.
UU2 2
U.
U 同频率正弦波的 相量画在一起，
构成相量图。
U 2
3. 初相位与相位差
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1 i2
t
1
2
1 U1.1
UU.
=
UU1.1+U
.
U2 2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率
不行。 3.因角频率（）相同，所以以下讨论同频率正弦波时， 可不
考虑，主要研究幅度与初相位的变化。相量只反映了两个要素。 能反映相量间的相互关系，相互角度关系由初始相位决定。
R、L、C都是线性元件，即R、L、C都是常数。
一、 电阻电路
iR
u
根据 欧姆定律
u iR
设 u 2Usin t 则 i u 2 U sint
RR
2 I sin t
电阻电路中电流、电压的关系
1. 频率相同
u
2. 相位相同
i
3. 有效值关系：
U IR
4. 相量关系：设 UU . U 0
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
动画
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
U 最大值
·
m
U 有效值 ·
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
U I 幅度用最大值表示 ，则用符号： U.mm、、Im.m
i
i Im sin t
Im
t
三要素:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
1. 幅值与有效值
i Im sin t
I m 为正弦电流的最大值(幅值)
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t 2 t 1 21
两种正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
i2
1 2 0
i1
t
相
i2
位
领
先 1 2
i1 1 2 0
U 10V ？
j15
UU. 10 e j15 ？
§3.3 单一参数交流电路
电阻元件、电感元件和电容元件的特征
电阻元件：u =Ri
电感元件：u =
－eL
=L
di dt
电容元件：i =
dq dt
=C
du dt
R=u/i
NΦ L= i
C=
q u
注意： 瞬时值关系式中 u、i 的参考方向是一致的，
值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
T0
（均方根值）
只有当 i Im sin t 才可得
I Im 2
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
3. 除法运算
则：
UUUU. . 1 2 12
U1 U2
e j1 2
设：任一相量 AA.
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
则：AA. e j90 ( j)AA.
e j90 1 cos(90) j sin(90)
交流电路
第 3 章 交流电路
§3.1 正 弦交流电的基本概念 §3.2 正弦交流电的相量表示法 §3.3 单一参数交流电路 §3.4 串联交流电路 §3.5 并联交流电路 §3.6 交流电路的功率 §3.7 功率因数的提高 §3.8 电路的谐振
§3.1 正弦交流电的基本概念
一、正弦交流电路
交流电路： 正弦交流电路：如果在电路中电动势的大小与方向均 随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小 和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
2
.
I
100 / 6
/3
220
有时不画坐标，突出
相量间关系。
.
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： II.1.1 100 60 A II22 10 e j30 A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
正弦量 相量 复数表示法 复数运算
相量的复数表示
将相量 UU. 放到复平面上，可如下表示：
j
bU
UU.
+1
U a2 b2
tg 1 b
a
a
UU. a jb U cos jU sin
2. 频率 f： 每秒变化的次数. 单位：赫兹( Hz )
千赫兹( KHz )
3. 角频率 ω ：每秒变化的弧度. 单位：弧度/秒(rad/s)
f 1 T
2 2 f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
u
t
T
正弦交流电的参考方向
正弦交流电也有参考方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的参考方向，然后才能用数字表达式来描述。
正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算； 有利于电器设备的运行； .....
二、 正弦交流电的三要素
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
例3：已知:
解：
i1
100 s in 314t
π 4
A
i2
200 s in 314t
π 4
A
求：i =i1+ i2
I1 50 245 50 j50 A
UU. 50 e j15 50 2 sin( t 15 )？
复数
瞬时值
正误判断
已知： i 10 sin( t 45 )
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ IIm. 10 e45
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
反 i1
相
位
i2
t 1 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
u
uA uB uC
t
已知：U = 220V，f = 50Hz。
试写出uA 、uB、 uC瞬时值表达式。
uA 220 2 sin100tV
( j)A
A e j90
A
A e j90
例1：已知瞬时值，求相量。
i 141.4sin314t A
已知:
6
u 311.1sin314t V
3
求：
i 、u 的相量
解：
.
II
141
.4
30
100 30
2 2
初相位： 30
§3.2. 正弦交流电的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i sin1000 t 30
相量
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
则 II. U 0 或 R
t
I
.
I
U
.
U
..
U=IR
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
i 2 I sin ( t)
u
R
u 2U sin ( t)
p u i Ri 2 u 2 / R
小写 UmIm sin2 t
2U
2I 1 cos 2t
I2 100 245 100 j 100 A
I I1 I2 150 j150 150 245 A
i 300 sin314t 45 A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u
U
m
sin
UU .
t
II.
86.6
j50
A
2
UU. 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V
2
II. 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A
2
UU. 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
符号说明
瞬时值 --- 小写
u、i
有效值 --- 大写
U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
U.
相量 --- 大写 + “.”
正误判断
u 100sin t UU. ？
瞬时值
复数
正误判断
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
2.周期与频率
i
描述正弦量变化快 慢的几种方法：
t
T
1. 周期 T：变化一周所需的时间. 单位：秒(s),毫秒(ms)
复数 符号法
UU. a jb U e j U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
UU. 3 j4 UU. 3 j4 UU. 3 j4 UU. 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 53 1 )
jb1 jb2
则：
U
.
U
U=1
UU.1
2±
.
U2
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
Ue j
2. 乘法运算
UU 设：
U.11 U.22
U1e j1 U 2e j2
则： UU. = UU1.1 ·UU.22
U1 U 2 e j(12 )
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用.符号.：
U I 3. 相量符号 UU.、、I.包含幅度与相位信息。 U、、I
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度： U2 U> 1 U2 U1 相位： 2 1
uB 220 2 sin100 t 120V
uC 220 2 sin100 t 120V
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
UU.
b
U
a
U. a jb
欧 拉
cos e j e j
2
公 式
sin e j e j
2j
U (cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算
UU 设：
UU..1212
a1 a2