全等三角形、三角形全等的判定

教学课题 全等三角形、三角形全等的判定
教学目标
1.掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用其性质和判定解决简单问题；
2. 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题；
教学重难点
重点：全等三角形的概念和性质以及判定；
难点：全等三角形性质和判定定理的灵活应用，强调书写格式；
知识点一：全等三角形的认识与性质
1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。

2.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形。

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角； 全等多边形的对应边、对应角分别相等；
如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E 。

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

A'
B'
C'
D'
E'
E
D
C
B
A
3.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形。

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等；
4.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。

能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”；
5.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。

6.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边常是对应边； （4）有公共角的，公共角常是对应角； （5）有对顶角的，对顶角常是对应角；
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)；
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。

类型一：全等三角形的认识
例一：
（1）考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_______个。

（2）已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个。

（3）如图，在Rt ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D 。

E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =。

如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________。

（4）如图，已知ABC ∆中，90ABC AB BC ∠=︒=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ，，上，且12l l ，
之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______。

F
E
D
C
B
A
C
B
A
l 3l 2
l 1
例二：如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ） A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等 B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等 C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠ D.AD BC ∥，且AD BC =
D
C
B
A
例三：如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P 。

图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由。

F
A
E P D
C
B
例四：在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠
=∠，
则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由。

2
1E O
D
C
B
A
知识点二：三角形全等的判定与应用
1.全等三角形的判定方法：
（1）边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； （2）角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等； （3）边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等；
（4）角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等； （5）斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
2.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
3.判定三角形全等的基本思路： SAS HL
SSS →⎧⎪
→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边
ASA AAS
SAS AAS
⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎨⎪⎪⎪
⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA
AAS →⎧⎨
→⎩ 找两角的夹边已知两角 找任意一边
4.全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
（1）平移全等型
（2）对称全等型
（3）旋转全等型
5.由全等可得到的相关定理：
（1）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上；
（3）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)； （4）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； （5）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； （6）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；
（7）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
类型二：三角形全等的判定与应用
例一：如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =。

F
E
D
C
B
A
例二：已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =。

F E O
D
C
B A
例三：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =。

F
E
D
C
B
A
例四：如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥。

O
F E D
C
B
A
例五：已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =。

（两种方法）
F E C
B
A
例六：如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，
，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=。

E
D
C
B
A
例七：如图，设ABC ∆和CDE ∆都是正三角形，且62EBD ∠=︒，则AEB ∠的度数是( )
图1
A
D
B
C
E
A ． 124︒
B ．122︒
C ．120︒
D ．118︒
例八：如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =。

F E D
C B
A
例九：E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥。

P
F
E
D
C
B
A
例十：在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥。

M E
D
C B A
例十一：
（1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.
（2）如图，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
G
F
E
D
C
B A
例十二：如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB
于E 点．求证：AD DE EB ==。

C
B D
E
A
作业（有一定的难度，相信自己，你能做出来！）
1.已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：（1）AP AQ =；（2）AP AQ ⊥。

P
D
Q
C
B
E
A
2．（1）如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点，求证：BF FD ⊥。

（2）如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，D M EF ⊥于M ，求证：
FM EM =。

F E
D
C
B
A
M
F
E
D C
B A
3.如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1
902ADB BDC
∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形。

D
C
B
A
4.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠。

求证：111ABC A B C ∆∆≌。

（请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC
⊥于1D ．则11190BDC B D C ∠=∠=︒， ∵11BC B C =，1C C ∠=∠，
∴111BCD B C D ∆∆≌ ∴11BD B D =。

（继续证明）
D
C
B
A D 1
C 1
B 1
A 1
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。