微分几何试题库(解答与证明题)

1 求曲线 2(){,,}t r r t t t e ==在t=0点的密切平面和主法线。

(ZN)
2 求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面和主法线。

(ZN) 3求圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)处的基本向量,,αβγ和密切平面、副法线。

(LTP 34)
4 求曲线 {sin ,cos ,}t r t t t t te =在原点的切线和法平面。

(XTP 54)
5 求圆柱螺线 {cos ,sin ,}r t t t = 在(0,1,)2π
点的切线和法平面。

(ZN)
6 设 (S)为曲线(C)的切线曲面，证明(S)沿任意一直母线l 的切平面就是(C)在切线l 的切点处的密切平面。

（KWD193）
7 求圆柱螺线 (){cos ,sin ,}()r a a b θθθθθ=-∞<<+∞的曲率与挠率。

(LTP 42) 8 求曲线 (){(1sin ),(1cos ),}r t a t a t bt =--的曲率和挠率。

9 求曲线22
(){,,}23
t t r t t = 的曲率和挠率。

10 求圆柱螺线{cos ,sin ,}r t t t =的曲率和挠率。

11.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。

(XTP 54)
12已知曲线33{cos ,sin ,cos 2}r t t t =。

求（1）基本向量,,αβγ；（2）曲率和挠率。

（XTP 54）
13设曲线Γ的副法向量1{sin ,cos ,1}2t t γ=-，求它的切向量α和主法向量β，并证明它的曲率和挠率之比是常数。

（KWD92）
14若曲线（C ）：()r r s =的挠率τ 为非零常数，（C ）的主法向量与副法向量分别为
,βγ。

证明1():()C r s ds βγτ
=-⎰的曲率为常数，且||k τ=，并求()C 的挠率τ.（KWD96）
15 证明一空间曲线为一般螺线的充分必要条件是向量k ταγ+具有固定方向。

（KWD105）
16 曲线Γ是一般螺线的充分必要条件是Γ的曲率与挠率之比是常数。

（教52）
17 证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ，那么这条曲线是直线或平面曲线。

(XTP54)
18．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平
行，证明它们在对应点的切线作固定角。

(XTP54)
19.如果曲线Γ：r ＝)(s r 为一般螺线, α、β 为Γ的切向量和主法向量，R 为Γ的曲率半径。

证明Γ：ρ =R α－⎰ds β 也是一般螺线。

(XTP55)
20．证明曲线r ＝)(s r
为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r . (XTP 55) 21 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

(XTP 54)
22 如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线，试证之。

(XTP 54) 23 如果曲线的所有密切平面都垂直于某条固定直线，则此曲线是平面曲线。

(KWD) 24 求圆柱面{cos ,sin ,}r R R z θθ=在任一点的切平面和法线方程。

(LTP 64)
25.证明曲面},,{3
uv
a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

(XTP 67)
26 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面。

（董123）
27．求椭圆柱面122
22++b
y a x 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

(XTP 67)
28 求双曲抛物面z axy =上直母线之间的夹角ϕ。

（KWD145）
29 求双曲抛物面z axy =上两族直母线的二等分角轨线。

（KWD145）
30在正螺面{cos ,sin ,}r u v u v av =上，求曲线族du =的正交轨线族的方程。

（KWD135）
31．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

(XTP 80)
32．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 , u – v = 0的交角。

(XTP 80)
33．求曲面z=axy 上坐标曲线x=x 0 ,y=0y 的交角. (XTP 80)
34. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER - 2FQ + GP = 0. (XTP 80)
35.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2
dv . (XTP 81)
36证明在曲面{cos ,sin ,}r u u a b θθθ=+上由方程 2222()0u a d du θ+-=所确定
的两族曲线是相互正交的。

（KWD145）
37在正圆锥面{cos ,sin ,}r u v u v u =上，求与曲线族2v u a =+正交的轨线。

（KWD146）
38 证明：一曲面是平面的充分必要条件是曲面上的点都是平点。

（KWD153）
39 证明：曲线sin ,(0)y x x π=<<绕x 轴旋转后所得曲面上每一点都是椭圆点。

（KWD174）
40 求曲面2{,ln(r u v v a u =+的坐标曲线的法曲率。

（KWD175）
41求曲面212
y x =的法曲率：（1）在任一点沿任意方向；（2）在点(2,2,4)M 沿曲线221,2
y x z x ==的切方向。

（KWD176） 42 证明曲线(C)：()s ρρ=的从可展曲面(S):()(()()()())r s v s s k s s ρταγ=++是柱面的充分必要条件是该曲线是一般螺线。

（KWD183）
43 已知曲面1()S 、2()S 、3()S 的第一基本形式依次为22z x y =-、22212()(0)a du dv v v I =+>、222du dv I =+、222223cos ((,))22a du a udv u ππI =+∈-，其中0a >为常数，求它们的高斯曲率123,,K K K ，并证明它们是互相不等距的曲面。

（KWD204）
44 证明柱面与马鞍面22z x y =-之间不存在等距变换。

（KWD219）
45 试证：任一曲线（C ）：()r r s =的切线曲面与平面成等距对应。

（教128）
46对正螺面 {cos ,sin ,}(,)r u v u v bv u v =-∞<<+∞。

求（1）在任一点处的第Ⅰ、第Ⅱ基本形式；（2）在任一点沿任意方向的法曲率。

(ZN)
47 对抛物面 22()z a x y =+，（1）求其第Ⅰ、第Ⅱ基本形式；（2）在任一点沿任意方向的法曲率。

(LTP 86)
48 证明正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},( -∞<u,v<∞) 是极小曲面。

(XTP 114)
49. 求出抛物面)(2
122by ax z +=在(0,0)点和方向(dx:dy)的法曲率. (XTP 114) 50. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求π与(S)交线的曲率与法曲率. . (XTP 114)
51．求证在正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},( -∞<u,v<∞)上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。

(XTP 114)
52.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. (XTP 114)
53.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. (XTP 114)
54 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率。

55 求曲面∑： {cos ,sin ,}r t t t θθ= 在点（1,0,1）处沿任意方向的法曲率。

56 求抛物面 22()z a x y =+ 在（0,0）点的主曲率。

(XTP 114)
57．求正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}的主曲率。

(XTP 114)
58. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. (XTP 114)
59.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. (XTP 114)
60. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. (XTP 114)
61 如果两曲面沿一条曲线Γ相切，则如果Γ是一个曲面上的曲率线，那么Γ也是另一个曲面上的曲率线。

试证之。

62 叙述并证明主方向的判定定理（罗德里格定理）。

(THP 97)
63 设曲面的第一、第二、第三基本形式分别为Ⅰ、Ⅱ、III ，高斯曲率、平均曲率分别为K 、H ，试证III -2 H Ⅱ+K Ⅰ=0 。

（教110）
64 求旋转曲面{()cos ,()sin ,}r u u u ϕθϕθ=（()0u ϕ>）的高斯曲率与平均曲率。

（教p103）
65 求正螺面 {cos ,sin ,}r u v u v u v =+ 的高斯曲率和平均曲率。

66 求抛物面22()z a x y =+在（0,0）点的高斯曲率和平均曲率。

67 设∑是由空间曲线()s ρρ=的副法线形成的曲面，求曲面∑的高斯曲率。

（王本P207）
68 已知圆柱面{cos ,sin ,}r u ρθρθ= 。

求（1）在任意点沿任意方向的法曲率；（2）在任意点的高斯曲率和平均曲率。

69.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.(XTP 114)
70．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

(XTP 114) 71 证明：挠曲线（C ）的主法线曲面不是可展曲面。

(XTP 1304)
72 证明直纹面S 为可展曲面的充分必要条件是它的直母线都是曲率线。

（董192） 73证明曲面 234212{,2,}33
r u v u uv u u v =+++是可展曲面。

(XTP 1294) 74 证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充分必要条件是曲线(C)为平面曲线。

(XTP 1294)
75 证明正螺面 {cos ,sin ,}(,)r u v u v av b u v =+-∞<<+∞不是可展曲面。

(XTP 1294)
76 证明每一条空间挠曲线(C)的密切平面所构成的单参数平面族的包络是(C)的切线曲面. （KWD181）
77 证明挠曲线(C)的副法线曲面不是可展曲面。

(XTP 1304)
78 证明曲面{cos ()sin ,sin ()cos ,2}r v u v v v u v v u v =-++++是可展曲面。

(XTP 1304)
79 证明：曲面S 上的曲线(C)：()r r s =是曲率线的充分必要条件是曲面S 沿曲线(C)的法线曲面∑可展。

(TH 教P 126)
80 求平面族cos sin sin 1x y z ααα+-=的包络。

(XTP 1304)
81．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。

(XTP 1304)
82.证明0uu uv r r ==的曲面(S):r=r(u,v)是柱面。

(XTP 1304)
83．求证第一基本形式为22
2
222()du dv ds u v c +=++的曲面有常高斯曲率 。

(XTP 144) 84．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1. (XTP 145)
85．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udv ds ds θκ=
- 其中θ表示曲线与经线的交角。

(XTP 169)
86．求位于正螺面r
={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率。

(XTP 170)
87．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。

(XTP 170)
88．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面。

(XTP 170)
89．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零。

(XTP 170)
90．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线。

(XTP 170)
91．求半径为R 的球面上测地三角形三内角之和。

(XTP 170)
92证明：曲面上的曲线如果是测地线，又是曲率线，则它必是平面曲线。

(XTP 170) 93 证明：如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线。

(XTP 170) 94 证明：（1）如果测地线同时是渐近线，则它是直线；（2）如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线。

(XTP 170)
95 求证旋转曲面{()cos ,()sin ,()}r u u u ϕθϕθψ=的经线是测地线。

（其中()0u ϕ>）。

(XTP 170)
96 证明：如果两曲面沿一条曲线Γ相切，则Γ在这两个曲面上或者都是测地线或者都
不是。

(ZN)
97曲面的第一基本形式为22
()()E u du G u dv I =+。

求证（1）u-线是测地线；
（2）v-线是测地线()0u G u ⇔= 。

(LTP 150)
98 求曲面2{cos ,sin ,}r v u v u v = 上U-线的测地曲率。

（自拟 ？）。