【专业资料】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测 含解析

第三章检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1函数f (x )=√2x -1的定义域是( )
A .(-∞,0]
B .[0,+∞)
C .(-∞,0)
D .(-∞,+∞)
解析:要使f (x )=√2x -1有意义,需2x -1≥0,故x ∈[0,+∞). 答案:B
2若a>1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像必不经过 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
解析:y=a x +b (a>1,b<-1)的图像如图.
故选B . 答案:B
3设集合M={y |y =(12)x
,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )
A.(-∞,0)∪[1,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,1]
D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C
4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x
C.y=2x +1
2
D.y=x+e x
解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +1
2为偶函数,y=x+1
x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D
5函数y=log 2(1-x )的图像是( )
解析:∵1-x>0,∴x<1.
这样可排除选项A,D .
∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B
6log 89
log 2
3的值为( )
A.2
3
B.3
2
C.2
D.3
解析:log 89
log 2
3=lg9
lg8·lg2
lg3=2lg3
3lg2·lg2
lg3=2
3. 答案:A
7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,
2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221
=122
=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.
答案:C
8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22
)等于( )
A.2
B.1
C.1
2
D.log a2
解析:f(x12)-f(x22)=log a x12-log a x22
=2log a x1-2log a x2=2[f(x1)-f(x2)]=2.
答案:A
9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()
A.1.14a
B.1.15a
C.1.16a
D.(1+1.15)a
答案:B
10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()
A.f(x)=3x
B.f(x)=log2x
C.f(x)=xα(α≠1)
D.f(x)=kx(k≠0)
解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.
答案:C
11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()
A.1
4B.1
2
C.2
D.4
解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.
因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)
=a+log a2+1+0=a,解得a=1
2
.
答案:B
12设偶函数f(x)=log a|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为()
A.f(b-2)=f(a+1)
B.f(b-2)>f(a+1)
C.f(b-2)<f(a+1)
D.不能确定
解析:∵函数f (x )是偶函数,
∴b=0,此时f (x )=log a |x|.
当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的, ∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);
当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的, ∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 5
2+2lg 2-(12)-1
= .
解析:根据对数的运算法则知,lg 5
2+2lg 2-(12)-1
=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-1
14若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).
又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln
√a+1+1
a ,f (1)=ln(1+√a +1),
因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:1
15若a=log 43,则2a +2-a = . 解析:由a=log 43,知2a
+2-a
=2log 43
+2
-log 43
=2
log 2√3
+2
log 2
√33
=√3+
√33
=
4√3
3
. 答案:
4√3
3
16设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182
)的值等
于 . 答案:16
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值: (1)2(√23
×√3)6+(√2√2)
43
-4(1649)
-1
2−√24
×80.25+(-2 016)0;
(2)
lg5·lg8 000+(lg2√3)2
lg600-12
lg0.36
.
解(1)原式=2(213
×312)6
+(212
×214)43
-4×7
4−21
4×234
+1=2×22×33+2-7-2+1=210.
(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-1
2lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36
100=lg 6+2-lg 6
10=3,
∴原式=3
3=1.
18(12分)已知函数f (x )=1
4x -1-a. (1)求函数f (x )的定义域;
(2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,
∴4x ≠1.∴x ≠0.
∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数, ∴f (-x )=-f (x ).
∴14-x -1-a=-1
4-1+a. ∴2a=4x
1-4x +1
4x -1=1-4x
4x -1=-1. ∴a=-1
2.
19(12分)(1)已知x+x -1
=3(x>0),求x 32
+x -
32
的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12
+x -
12)2
=x+x -1+2=5,
∴x 12
+x -
12
=√5.
∴x 32
+x -
32=(x 12
+x -
12
)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.
(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ), ∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.
20(12分)已知函数f (x )={
(12)
x -1
,x >1,
x 2,x ≤1.
(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>1
4的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,
函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=1
4,解得x=±1
2或x=3, 结合图像可知,f (x )>1
4的解集为 {x |x <-1
2或1
2<x <3}.
21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?
解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为
f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益
g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),
则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2,
则k 1=0.125=1
8,k 2=0.5=1
2, 故f (x )=1
8x (x ≥0),g (x )=1
2√x (x ≥0).
(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x
8+1
2√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=
20-t 28
+12t=-1
8(t-2)2+3,
当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.
所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.
22(12分)已知函数f (x )=a x -1
a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;
(3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,
f (-x )+f (x )=a -x -1
a -x +1+a x -1
a x +1 =1-a x
1+a +a x -1a +1=0,
∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1
a +1=1-2
a +1(a>1),
设t=a x ,则t>0,y=1-2
t+1的值域为(-1,1),
∴该函数的值域为(-1,1). (3)证明任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,
则f (x 1)-f (x 2)=a x 1-1
a 1+1−a x 2-1
a 2+1 =2(a x 1-a x 2)
(a x 1+1)(a x 2+1).
∵a>1,x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,
∴a x 1−a x 2<0,a x 1+1>0,a x 2+1>0. ∴2(a x 1-a x 2)
(a x 1+1)(a x 2+1)<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )是R 上的增函数.。