四川省达州市达川中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省达州市达川中学2020-2021学年高二数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0＜FC＜1．将△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD内作DK⊥AB于K，设AK=t，则t的值可能为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】平面与平面垂直的性质．
【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案．
【解答】解：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，
∵长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，
∴计算可得：AG=，DG=，DK=，KG=，
∴t=AK=，
当F接近C点时，可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴，可解得AG=，
可得三角形AKG和三角形ABC相似．∴，解得t=，
∴t的取值范围是（，）．
故选：B．
2. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，
∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．
故选：C．
3. 数列{ a n }的通项公式为，则{ a n }的前8项之和为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. 容量为的样本数据，按从小到大的顺序分为组，如下表：
第三组的频数和频率分别是 ( )
A．和 B．和 C．和 D．和
参考答案：
A
5. 圆与圆的位置关系是（）
A.外离
B.外切
C.相交
D. 内切
参考答案：
D
略
6. 在复平面内，复数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
D
7. 已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. “”是“”的（）．
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：
B
解：设集合，
集合或，∴，
∴是的充分不必要条件．
故选．
9. 设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e﹣1﹣2，e2+e﹣2﹣2）真假的判断，正确的是（）
A．p假q真B．p假q假C．p真q真D．p真q假
参考答案：
C
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案．
【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，
不妨设a＜b＜c＜d，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈（﹣2，﹣1]，
则a，b是x2+2x﹣m﹣1=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=﹣m﹣1，
∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=﹣m，
∴ln（cd）=0，
∴cd=1，
∴abcd∈[0，1），故①正确；
由图可知，c∈（]，
又∵cd=1，a+b=﹣2，
∴a+b+c+d=c+﹣2，在（，]是递减函数，
∴a+b+c+d∈[e+﹣2，e2+﹣2），故②正确．
∴p真q真．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题．
10. 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．（写出所以正确说法的序号）
参考答案：
①③
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】由已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜．结合棱柱的结构特征我们可以判断①②③的真假，进而得到答案．【解答】解：由于底面一边BC固定于底面上，故倾斜过程中，与BC边垂直的两个面始终平行，且其它面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确；
水面形成的四边形EFGH的面积会发生改变，故②错误；
E∈AA1时，AE+BF=AA1，故③正确；
故答案为：①③
12. 化简
．参考答案：
（展开式实部）
（展开式实部）
.
13. 已知等差数列的前项和为，若，则
．
参考答案：
7
14. 已知等比数列{a n}的公比q=，且a1+a3+…+a199=180，则a2+a4+…+a200= ．
参考答案：
60
【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．
【专题】转化思想；整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用a2+a4+…+a200=q（a1+a3+…+a199）即可得出．
【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q=，且a1+a3+…+a199=180，
则a2+a4+…+a200=q（a1+a3+…+a199）=180=60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 对实数和，定义运算“”：＝．设函数，
.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是___________．参考答案：
16. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是．参考答案：
5
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
第一圈 k=3 a=43 b=34
第二圈 k=4 a=44 b=44
第三圈 k=5 a=45 b=54
此时a＞b，退出循环，k值为5
故答案为：5．
17. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离是；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45°；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影的面积最小值为；
④BE与CD1所成角的正弦值为.
其中真命题的编号是_________
（写出所有真命题的编号）
参考答案：
②③④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年
人，结果如下：
（1
（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：
参考答案：
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为---------5分
（2）。

由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.----------------------------------------10分
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．-----------------13分
略
19. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣（x＞0），
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由f′（x）=1﹣=，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x ）＞0，函数f （x ）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
20. 已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与抛物线C2：x2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l 与椭圆C1有一个交点的坐标是 (，－2)．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)若点P是直线l上的动点，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围．
参考答案：
(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以＝2，p＝4，
所以抛物线C2的方程是：x2＝8y，
椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，所以c＝2，
2a＝＋
＝4，
所以a＝2，b＝2，
即椭圆C1的方程是＋＝1.
(2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
E(x3，y3)，F(x4，y4)，
抛物线方程可以化为：y＝x2，
所以y′＝x，
所以AP的方程为：y－y1＝x1(x－x1)，
所以－2－y1＝x1t－2y1，
即y1＝tx1＋2，同理BP的方程为：y2＝tx2＋2，
所以直线AB的方程为：y＝tx＋2，
将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得到：
(t2＋32)x2＋16tx－64＝0，
则Δ＝256t2＋256(t2＋32)>0，
且x3＋x4＝，x3x4＝，
所以·＝x3x4＋y3y4
＝ x3x4＋(x3＋x4)＋4
＝
＝－8.
因为0< ≤10，
所以·的取值范围是(－8,2]．
21. 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点，分别在椭圆和上，，求直线的方程. 参考答案：
解：（1）
（2）
略
22. （本小题满分12分）若二次函数满足，且
.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
(1)由得，.
∴.
又，
∴，
即，
∴，∴.
∴.
(2) 等价于，即，
要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在的最小值大于即可．
∵在上单调递减，
∴，由，得.。