高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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[答案]D
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2.1.2 │ 当堂自测
2．给出下列四个命题，其中正确的是( ) ①若空间中两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另 一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d， 那么 b∥c. A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
第19页
2.1.2 │ 考点类析
► 考点二 证实空间中两直线平行 例 2 如图 2-1-9 所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H
分别是边 AC，CD，BD，AB 的中点，且 AD＝BC，求证：四 边形 EFGH 是菱形．
图 2-1-9
第20页
2.1.2 │ 考点类析
证明：在△ABC 中，E，H 分别是边 AC，AB 的中点， 所以 EH 是△ABC 的中位线，即 EH∥BC，且 EH＝12BC. 同理在△DBC 中，FG∥BC，且 FG＝12BC. 由公理 4 可知，EH FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 同理在△ADB 和△ABC 中可证，HG∥AD，且 HG＝12AD， 又 AD＝BC，所以 HG＝EH，所以四边形 EFGH 是菱形．
2.1.2 空间中直线与直线之间位置关系
第1页
2.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 正确了解空间中直线与直线位置关系，尤其是两直线异面关 系． 【过程与方法】 以公理4和等角定理为基础，正确了解两异面直线所成角概念 以及它们应用． 【情感、态度与价值观】 深入培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严厉 科学态度和品质．
直线，两条直线是异面直线即等价于这两条直线 ___既__不__相__交__也__不__平__行______．
第7页
2.1.2 │ 预习探究
[思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内，则它们是否 一定为异面直线？
解：不一定，当两条直线分别在两个不重合的平面内时， 它们也可能相交或平行，此时共面，只有当它们不相交也不 平行时才是异面直线．
直线，如图(b)．
由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角α
∈0，π2 .
π
π
当 α＝ 2 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 α≠ 2 时，
这样的直线 m 有两条．
第30页
2.1.互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
[解析] 线段A′B所在直线与线段C′C所在直线既不平行也不 相交，所以线段A′B所在直线与线段C′C所在直线为异面直
线．
第6页
2.1.2 │ 预习探究 预习探究
► 知识点一 异面直线的定义 我们把___不__同__在__任__何__一__个__平__面__内__的__两 ___条__直__线____叫作异面
第27页
2.1.2 │ 备课素材
[解析] 如图2123，把展开图中各正方形按图(1)所表示方 式分别作为正方体前、后、左、右、上、下面还原，得到 图(2)所表示直观图，可判断AB与CD异面．
第28页
2.1.2 │ 备课素材
2．作出异面直线所成的角，主要通过三种平移产生：①直接平移法； ②中位线平移；③补形平移．求异面直线所成的角的主要步骤：作(找)、 证、求、答．
第10页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
_相__等__或__互__补_______．
第11页
2.1.2 │ 预习探究
[探究] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试 问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
解：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两 个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向 相反时，这两个角互补．
所以 A∈α，C∈α，B∈α，D∈α，即 A，B，C，D 四点共面， 这与已知 ABCD 是空间四边形矛盾，故 AC 与 BD 不共面，即 AC 与 BD 是导面直线．
第17页
2.1.2 │ 考点类析
【变式】 如图 2-1-8 所示，G，H，M，N 分别是三棱柱的 顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图 形的序号为________．
第15页
2.1.2 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 异面直线判定 例 1 图 2-1-7 是空间四边形 ABCD.求证：它的对角线 AC
和 BD 是异面直线．
图 2-1-7
第16页
2.1.2 │ 考点类析
证明：假设 AC 与 BD 共面，则 AC 与 BD 确定平面 α，即
AC⊂α，BD⊂α，因为 A∈AC，C∈AC，B∈BD，D∈BD，
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a，b 的相互位置来确定，与 O 的选择__无__关____，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条直线 上；
(2)两条异面直线所成的角的范围是(0°，90°]； (3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面 直线互相垂直，记作___a_⊥__b____．
第14页
2.1.2 │ 备课素材
备课素材
1．异面直线概念了解： (1)既不平行也不相交． (2)“不一样在任何一个平面内两条直线”是指这两条直线 “不能确定一个平面”，其中“任何”二字必不可少． (3)若一条直线与平面相交，与该平面内不过交点直线为异 面直线． 2．空间等角定理中，当两个角两边分别平行且方向相同或 相反时时，则这两个角相等；当两个角两边分别平行，有 一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，则这两 个角互补． 3．两条直线垂直，既包含相交垂直，也包含异面垂直．
第2页
2.1.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 异面直线概念；公理4及其应用 【难点】 两直线异面判定方法，以及两异面直线所成角求法．
第3页
2.1.2 │ 教学提议
教学提议
(1)异面直线教学，应遵照由详细例子到抽象概念标准， 除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生辨析．尤其是要让 学生了解，“不一样在任何一个平面内两条直线”，是指这两 条直线不能同在任何一个平面内，即这两条直线即不平行也不 相交． (2)对于折叠问题中异面直线判断，能够先引导学生把图画在 纸上，复原成几何体来观察，也能够直接画出几何体直观图， 再依据定义来判断． (3)公理4是空间等角定理基础，而等角定理又是定义两异面直 线所成角基础，请注意知识之间相互关系，准确把握两异面直 线所成角概念．
第25页
2.1.2 │ 考点类析
【拓展】已知正方体的表面展开图如图 2112 所示，A， B，C 为其上的三个顶点，则在原正方体中，∠ABC 的大小为 ________．
图 2-1-12 60° [解析] 借助图形可知，∠ABC 为正方体相邻两面对 角线所成的角，因为正方体相邻三面的对角线可构成正三角 形，所以∠ABC＝60°.
α∈0，π2 ，这样的直线有几条？应该如何作图？
解：(1)连接 B1D1，BD，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 l∥B1D1， 则 l 即为所求作的直线，如图(a)．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1， ∴l∥直线 BD.
第29页
2.1.2 │ 备课素材
(a)
(b)
图 2-1-24
(2)∵BD∥B1D1，过 P 作直线 m 与 B1D1 成 α 角， ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角，即直线 m 为所求作的
图 2-1-8
第18页
2.1.2 │ 考点类析
②④ [解析] ①中，GH∥MN，所以 G，M，N，H 四点共 面，从而直线 GH 与 MN 共面；③中，连接 GM，易知 GM∥HN， 所以四边形 GMNH 为梯形，所以直线 GH 与 MN 共面；
②④中，根据异面直线的定义，易知直线 GH 与 MN 是异 面直线．
第4页
2.1.2 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 在浩瀚夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们轨迹为直线)， 请同学们讨论这两条直线位置关系． 解：有可能平行，有可能相交，还有一个位置关系是不平 行也不相交．
第5页
2.1.2 │ 新课导入
【导入二】 (事例导入)
观察长方体，你能发觉长方体ABCDA′B′C′D′中，线段A′B 所在直线与线段C′C所在直线位置关系怎样？
图 2-1-11
第24页
2.1.2 │ 考点类析
解：∵P，Q，R 分别为 AB，BC，CD 的中点， ∴PQ∥AC，QR∥BD， ∴∠PQR 是异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角． ∵PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， ∴PQ2＋QR2＝PR2，∴∠PQR＝90°， ∴异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°.
(1)直线 AB1 和 CC1 所成的角为____4_5_°____； (2)直线 AB1 和 EF 所成的角为____6_0_°____．
图 2-1-10
第23页
2.1.2 │ 考点类析
【变式】 如图 2-1-11 所示，在空间四边形 ABCD 中，AB， BC，CD 的中点分别是 P，Q，R，且 PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， 求异面直线 AC 与 BD 所成的角．
第8页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点二 空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
共面直线相 平交 行直 直线 线： ：
同一平面内，有且只有一个公共点 同一平面内，没有公共点 ；
；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 .
第9页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点三 公理 4 文字语言：平行于同一条直线的两条直线___互__相__平___行___． 符号语言：设 a，b，c 是三条直线，则 ac∥∥bb⇒___a_∥__c____． 公理 4 的作用：判断空间两条直线是否平行．
第21页
2.1.2 │ 考点类析
► 考点三 求异面直线所成角 [导入] 作异面直线所成的角的关键是平移法(作空间平行
线)，那么推导直线平行的方法有哪些？ 解：空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、公理
4、比例线段得到．
第22页
2.1.2 │ 考点类析
例 3 如图 2-1-10 所示，已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E，F 分别是 AD，AA1 的中点．
图 2-1-13 2 [解析] 有 2 条，即 A1B 和 A1C1.
第33页
2.1.2 │ 当堂自测
4．如图 2-114 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中． (1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角 的大小．
第26页
2.1.2 │ 备课素材
备课素材
1. 判定或证实异面直线方法有两种．(1)定义法：由定义 法判定两直线不可能在同一平面内，惯用反证法．(2)判定 定理：过平面外一点与平面内一点直线，和平面内不经过 该点直线是异面直线． [例][·长春一模] 一个正方体展开图如图2122所表示，A， B，C，D为原正方体顶点，则在原来正方体中，AB与CD位置 关系是________． [答案] 异面
[例]在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图 2-1-24 所 示，其中 P 点不在对角线 B1D1 上)．
(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l∥直线 BD，应该如何作图？并说明 理由；
(2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 α 角，其中
第12页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，
b′∥b，我们把 a′与 b′所成的_锐__角__(_或__直__角__) 叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，如图 2-1-6 所示．
图 2-1-6
第13页
2.1.2 │ 预习探究
B [解析] ①错，两直线还可能是异面；由公理 4 可知 ②正确；③错误，和另一条可能异面；由平行直线的传递性 可知④正确．
第32页
2.1.2 │ 当堂自测
3．如图 2-1-13 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，过顶 点 A1 和正方体其他顶点且与直线 BC1 成 60°角的直线的条数 有______条．
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2.1.2 │ 当堂自测
2．给出下列四个命题，其中正确的是( ) ①若空间中两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另 一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d， 那么 b∥c. A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
第19页
2.1.2 │ 考点类析
► 考点二 证实空间中两直线平行 例 2 如图 2-1-9 所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H
分别是边 AC，CD，BD，AB 的中点，且 AD＝BC，求证：四 边形 EFGH 是菱形．
图 2-1-9
第20页
2.1.2 │ 考点类析
证明：在△ABC 中，E，H 分别是边 AC，AB 的中点， 所以 EH 是△ABC 的中位线，即 EH∥BC，且 EH＝12BC. 同理在△DBC 中，FG∥BC，且 FG＝12BC. 由公理 4 可知，EH FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 同理在△ADB 和△ABC 中可证，HG∥AD，且 HG＝12AD， 又 AD＝BC，所以 HG＝EH，所以四边形 EFGH 是菱形．
2.1.2 空间中直线与直线之间位置关系
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2.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 正确了解空间中直线与直线位置关系，尤其是两直线异面关 系． 【过程与方法】 以公理4和等角定理为基础，正确了解两异面直线所成角概念 以及它们应用． 【情感、态度与价值观】 深入培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严厉 科学态度和品质．
直线，两条直线是异面直线即等价于这两条直线 ___既__不__相__交__也__不__平__行______．
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2.1.2 │ 预习探究
[思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内，则它们是否 一定为异面直线？
解：不一定，当两条直线分别在两个不重合的平面内时， 它们也可能相交或平行，此时共面，只有当它们不相交也不 平行时才是异面直线．
直线，如图(b)．
由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角α
∈0，π2 .
π
π
当 α＝ 2 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 α≠ 2 时，
这样的直线 m 有两条．
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2.1.互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
[解析] 线段A′B所在直线与线段C′C所在直线既不平行也不 相交，所以线段A′B所在直线与线段C′C所在直线为异面直
线．
第6页
2.1.2 │ 预习探究 预习探究
► 知识点一 异面直线的定义 我们把___不__同__在__任__何__一__个__平__面__内__的__两 ___条__直__线____叫作异面
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2.1.2 │ 备课素材
[解析] 如图2123，把展开图中各正方形按图(1)所表示方 式分别作为正方体前、后、左、右、上、下面还原，得到 图(2)所表示直观图，可判断AB与CD异面．
第28页
2.1.2 │ 备课素材
2．作出异面直线所成的角，主要通过三种平移产生：①直接平移法； ②中位线平移；③补形平移．求异面直线所成的角的主要步骤：作(找)、 证、求、答．
第10页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
_相__等__或__互__补_______．
第11页
2.1.2 │ 预习探究
[探究] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试 问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
解：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两 个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向 相反时，这两个角互补．
所以 A∈α，C∈α，B∈α，D∈α，即 A，B，C，D 四点共面， 这与已知 ABCD 是空间四边形矛盾，故 AC 与 BD 不共面，即 AC 与 BD 是导面直线．
第17页
2.1.2 │ 考点类析
【变式】 如图 2-1-8 所示，G，H，M，N 分别是三棱柱的 顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图 形的序号为________．
第15页
2.1.2 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 异面直线判定 例 1 图 2-1-7 是空间四边形 ABCD.求证：它的对角线 AC
和 BD 是异面直线．
图 2-1-7
第16页
2.1.2 │ 考点类析
证明：假设 AC 与 BD 共面，则 AC 与 BD 确定平面 α，即
AC⊂α，BD⊂α，因为 A∈AC，C∈AC，B∈BD，D∈BD，
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a，b 的相互位置来确定，与 O 的选择__无__关____，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条直线 上；
(2)两条异面直线所成的角的范围是(0°，90°]； (3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面 直线互相垂直，记作___a_⊥__b____．
第14页
2.1.2 │ 备课素材
备课素材
1．异面直线概念了解： (1)既不平行也不相交． (2)“不一样在任何一个平面内两条直线”是指这两条直线 “不能确定一个平面”，其中“任何”二字必不可少． (3)若一条直线与平面相交，与该平面内不过交点直线为异 面直线． 2．空间等角定理中，当两个角两边分别平行且方向相同或 相反时时，则这两个角相等；当两个角两边分别平行，有 一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，则这两 个角互补． 3．两条直线垂直，既包含相交垂直，也包含异面垂直．
第2页
2.1.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 异面直线概念；公理4及其应用 【难点】 两直线异面判定方法，以及两异面直线所成角求法．
第3页
2.1.2 │ 教学提议
教学提议
(1)异面直线教学，应遵照由详细例子到抽象概念标准， 除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生辨析．尤其是要让 学生了解，“不一样在任何一个平面内两条直线”，是指这两 条直线不能同在任何一个平面内，即这两条直线即不平行也不 相交． (2)对于折叠问题中异面直线判断，能够先引导学生把图画在 纸上，复原成几何体来观察，也能够直接画出几何体直观图， 再依据定义来判断． (3)公理4是空间等角定理基础，而等角定理又是定义两异面直 线所成角基础，请注意知识之间相互关系，准确把握两异面直 线所成角概念．
第25页
2.1.2 │ 考点类析
【拓展】已知正方体的表面展开图如图 2112 所示，A， B，C 为其上的三个顶点，则在原正方体中，∠ABC 的大小为 ________．
图 2-1-12 60° [解析] 借助图形可知，∠ABC 为正方体相邻两面对 角线所成的角，因为正方体相邻三面的对角线可构成正三角 形，所以∠ABC＝60°.
α∈0，π2 ，这样的直线有几条？应该如何作图？
解：(1)连接 B1D1，BD，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 l∥B1D1， 则 l 即为所求作的直线，如图(a)．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1， ∴l∥直线 BD.
第29页
2.1.2 │ 备课素材
(a)
(b)
图 2-1-24
(2)∵BD∥B1D1，过 P 作直线 m 与 B1D1 成 α 角， ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角，即直线 m 为所求作的
图 2-1-8
第18页
2.1.2 │ 考点类析
②④ [解析] ①中，GH∥MN，所以 G，M，N，H 四点共 面，从而直线 GH 与 MN 共面；③中，连接 GM，易知 GM∥HN， 所以四边形 GMNH 为梯形，所以直线 GH 与 MN 共面；
②④中，根据异面直线的定义，易知直线 GH 与 MN 是异 面直线．
第4页
2.1.2 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 在浩瀚夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们轨迹为直线)， 请同学们讨论这两条直线位置关系． 解：有可能平行，有可能相交，还有一个位置关系是不平 行也不相交．
第5页
2.1.2 │ 新课导入
【导入二】 (事例导入)
观察长方体，你能发觉长方体ABCDA′B′C′D′中，线段A′B 所在直线与线段C′C所在直线位置关系怎样？
图 2-1-11
第24页
2.1.2 │ 考点类析
解：∵P，Q，R 分别为 AB，BC，CD 的中点， ∴PQ∥AC，QR∥BD， ∴∠PQR 是异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角． ∵PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， ∴PQ2＋QR2＝PR2，∴∠PQR＝90°， ∴异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°.
(1)直线 AB1 和 CC1 所成的角为____4_5_°____； (2)直线 AB1 和 EF 所成的角为____6_0_°____．
图 2-1-10
第23页
2.1.2 │ 考点类析
【变式】 如图 2-1-11 所示，在空间四边形 ABCD 中，AB， BC，CD 的中点分别是 P，Q，R，且 PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， 求异面直线 AC 与 BD 所成的角．
第8页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点二 空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
共面直线相 平交 行直 直线 线： ：
同一平面内，有且只有一个公共点 同一平面内，没有公共点 ；
；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 .
第9页
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点三 公理 4 文字语言：平行于同一条直线的两条直线___互__相__平___行___． 符号语言：设 a，b，c 是三条直线，则 ac∥∥bb⇒___a_∥__c____． 公理 4 的作用：判断空间两条直线是否平行．
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2.1.2 │ 考点类析
► 考点三 求异面直线所成角 [导入] 作异面直线所成的角的关键是平移法(作空间平行
线)，那么推导直线平行的方法有哪些？ 解：空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、公理
4、比例线段得到．
第22页
2.1.2 │ 考点类析
例 3 如图 2-1-10 所示，已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E，F 分别是 AD，AA1 的中点．
图 2-1-13 2 [解析] 有 2 条，即 A1B 和 A1C1.
第33页
2.1.2 │ 当堂自测
4．如图 2-114 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中． (1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角 的大小．
第26页
2.1.2 │ 备课素材
备课素材
1. 判定或证实异面直线方法有两种．(1)定义法：由定义 法判定两直线不可能在同一平面内，惯用反证法．(2)判定 定理：过平面外一点与平面内一点直线，和平面内不经过 该点直线是异面直线． [例][·长春一模] 一个正方体展开图如图2122所表示，A， B，C，D为原正方体顶点，则在原来正方体中，AB与CD位置 关系是________． [答案] 异面
[例]在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图 2-1-24 所 示，其中 P 点不在对角线 B1D1 上)．
(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l∥直线 BD，应该如何作图？并说明 理由；
(2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 α 角，其中
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2.1.2 │ 预习探究
► 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，
b′∥b，我们把 a′与 b′所成的_锐__角__(_或__直__角__) 叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，如图 2-1-6 所示．
图 2-1-6
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2.1.2 │ 预习探究
B [解析] ①错，两直线还可能是异面；由公理 4 可知 ②正确；③错误，和另一条可能异面；由平行直线的传递性 可知④正确．
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2.1.2 │ 当堂自测
3．如图 2-1-13 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，过顶 点 A1 和正方体其他顶点且与直线 BC1 成 60°角的直线的条数 有______条．