2020届云南省昆明市高三上学期第二次双基检测数学(文)试题word版含答案

2020届云南省昆明市高三上学期第二次双基检测
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合{|0,}M x x x R =<∈，2
{|20,}N x x x x R =+-=∈，则M N =I （ ） A ．φ B ．{2}- C ．{1} D ．{2,1}-
2. 已知复数z 满足方程2z i i •=-，则z 在复平面上对应点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.设,x y 满足条件2202x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最小值是（ ）
A ． 4
B ． 6
C ． 10
D ． 14 4. 0000sin 20sin 50cos160sin 40-的值为（ ） A ．32-
B ．12- C. 1
2
D ．32 5.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4
cos 5
A =，2c =，ABC ∆的面积6S =，则a 的值为（ ）
A ． 62
B ． 45 C. 234 D ．72
6. 执行如图所示的程序框图，若输入数据5N =，则输出的s 结果为（ ） A ． -15 B ．-6 C. 10 D ．20
7.设0.43a =，4log 0.3b =，4log 3c =，则（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >> C. c a b >> D ．c b a >> 8. 三棱锥P AB
C -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱PB 的长为（ ）
A ． 5
B ．6 C. 7 D ．22
9. 设12,F F 分别是双曲线M ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双
曲线M 交于,A B 两点，若点2F 满足120F A F B •=u u u r u u u u r
，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ． 2e =
B ． 21e =+ C. 3e = D ．31e =+
10. 已知函数2
1()ln 12
f x x x ax =+
-+，下列结论中错误的是（ ） A ．当2a =时，1x =是()f x 的一个极值点 B ．当22a -<<时，函数()f x 无极值 C. 当2a >时，()f x 的极小值小于0 D ．,()a R f x ∀∈必有零点
11.已知抛物线2
:8C y x =的焦点是F ，点M 是抛物线C 上的动点，点Q 是圆2
2
:(4)(1)1A x y -+-=上的动点，则||||MF MQ +的最小值是（ ） A ． 2 B ． 3 C. 4 D ．5
12.已知函数()()x f x xe k x R =-∈恰有两个零点，其中e 为自然对数的底数，则实数k 的取值范围是（ ） A ． (,0)-∞ B ．21
(,2)e e - C. 1(,0)e
- D ．2
(0,2)e
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(1,1)a =-r ，(2,)b x =r
，若1a b •=r r ，则x = ．
14.先后抛掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为,a b ，那么25a b ≥的概率是 ． 15.将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后与函数cos(2)3
y x π
=-的图象重合，则ϕ的最小
值为 ．
16.三棱锥M ABC -的三侧棱两两垂直，底面ABC 内一点N 到三个侧面的距离分别为22,4,5，则经过点M 和N 的所有球中，体积最小的球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）
已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 是公比为16的等比数列，且2n a
n b =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）设1
2n n n S c n
-=
•，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18. （12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，,E F 分别为,PA BD 的中点，
2PA PD AD ===.
（1）证明：//EF 平面PBC ； （2）若6PB =
，求三棱锥A DEF -的体积.
19.（12分）
某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，
[70,80)，[80,90)，[90,100).
（1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 [50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
X:y
1:1
2:1
3:4
4:5
20. （12分）
已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,P 3
，左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过点F 的直线l 与椭圆Γ相交于,C D 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）记,ABC ABD ∆∆的面积分别为12,S S ，求12||S S -的最大值.
21. 已知函数'ln 2(1)
()1x f f x x x
=-
+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）证明：当01x <<时，(1)()ln x f x x -<.
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ρθθ=+，P 点极坐标为(3,
)2
π
，
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3
π
.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求
11
||||
PA PB +
的值. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
设函数()||f x x m =+.
（1）若不等式(1)(2)5f f -+≥，求实数m 的取值范围； （2）当0x ≠时，若1()()f f x a x
+-≥恒成立，求a 的最大值.
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数学（文）试题参考答案
1. 解析：集合{}|0M x x =<，{2,1}N =-，所以{}2M N -=I ，选B ．
2. 解析：因为2i
12i i
z -=
=--，所以12i z =-+，选B ． 3. 解析：由y x z 32+=，有3
32z
x y +-
=，作出可行域，由图可知，目标函数经过点)0,2(时取得最小值4，选A ．
4. 解析：o o o o sin 20sin 50cos160sin 40-
o o o o sin 20sin 50cos 20cos50=+o 3
cos30==
选D ． 5. 解析：ABC ∆中，因为4cos 5A =
，所以3sin 5A =，由已知得1
sin 62
S bc A ==，所以10b =，故2222cos 72a b c bc A =+-=，所以2a =A ．
6. 解析：因为2222123410s =-+-+=，选C ．
7. 解析：因为0.431a =>，4log 0.30b =<，而40log 31<<，所以a c b >>，选A ．
8. 解析：取AC 中点D ，连接,BD PD ，由正视图和侧视图得BD ⊥平面PAC ，PC ⊥平面ABC ，则
90BDP ︒∠=，且2,5BD PD ==，所以7PB =C ．
9. 解析：由双曲线的对称性可知2ABF ∆是等腰直角三角形，且2AF B ∠是直角，所以21AF F ∠=
4
π
， 所
以21tan 1AF F ∠=, 即1121AF F F =，又21b AF a =
，所以2
12b ac =，即222c a ac -=，化简得2210e e --=，解出21e =+，选B.
10. 解析： x
ax x a x x x f 1
1)(2+-=-+=' ，)0(>x
当2=a 时，0)1(1221)(2
2≥-=+-=-+='x
x x x x x x x f ，)(x f 单调递增，无极值故A 错误；当
22<<-a 时，12+-ax x 恒大于零，所以0)(>'x f ， )(x f 单调递增，无极值，B 正确；当2>a 时，令0)(='x f ，解得2421--=a a x ，2
4
22-+=a a x ，可知)(x f 在()1,0x 和()+∞,2x 单调
递增，在()21,x x 单调递减，)(x f 在2x x =处取得极小值，而2110x x <<<，所以
02
3
)1()(2<-=
<a f x f ，
C 正确；又当0→x 时，0)(<x f ，当+∞→x 时，0)(>x f ，而且)(x f 的图像连续，所以)(x f 必有零点，
D 正确，选A ．
11. 解析：抛物线C 的准线是:2l x =-，作MD l ⊥于D ，由抛物线的定义知MF MD =，所以要使
MF MQ +最小，即MD +MQ 最小，只要D ，M ，Q 三点共线且M 在D 与Q 之间即可，此时MD +MQ 的最小值是：1615AD -=-=，选D ．
12. 解析：函数)(x f 有两个零点，可转化为函数x
xe x g =)(与k x h =)(恰有两个交点,因为
)1()(+='x e x g x ，当1-<x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当1->x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调
递增，)(x g 在1-=x 处取得极小值e
1
-；而当0<x 时，0)(<x g 恒成立， 利用图像可知，选C ．
二、填空题
13. 解析：因为12=-=⋅x b a ρ
ρ，所以1=x ．
14. 解析：因为25a b ≥．符合条件的(,)a b 为(6,1)，(6,2)，(5,1)，(5,2)，(4,1)， (3,1)，所求的概
率61366
P =
=． 15. 解析： 将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后得sin(22)y x ϕ=+的图象，因为
cos 2sin 2sin 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，所以 226k πϕπ=+()k ∈Z ，所以ϕ的
最小值为
12
π
．
16. 解析：依题意，经过点M 和N 的所有球中，体积最小的球是以MN 为体对角线，棱长分别为22,4,5
的长方体的外接球．直径7MN =，所以其表面积为49π．
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是公比为16的等比数列，且2n a
n b =，
所以
114
221622n n n n
a a a a ++-===，*n N ∈，故14n n a a +-=
即数列{}n a 是首项11a =，公差为4的等差数列，
所以43n a n =-，(21)n S n n =-. ………6分
所以()2323n n T n =-+. ………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，F 为BD 中点，所以F 为AC 中点．
又因为E 为PA 中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，
所以//EF 平面PBC ． ………6分
（Ⅱ）取AD 中点O ，连接,OB OP ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥；因为菱形ABCD 中，AB AD =，
60BAD ︒∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥，
由已知3,3BO PO ==，若6PB =，
由222BO PO PB +=得PO BO ⊥，
所以平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ． 因为E 为PA 中点，所以13
2EG OP =
=
， 所以11131133324
A DEF E ADF ADF V V S EG --∆==
⋅=⨯⨯=． ………12分
19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知()20.02+0.03+0.04101a +⨯=，解得0.005a =． ………4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为
550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(分) ………7分
（Ⅲ）由频率分布直方图知语文成绩在[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90各分数段的人数依次为0.005101005⨯⨯=；0.041010040⨯⨯=；0.031010030⨯⨯=；0.021010020⨯⨯=． 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；140202⨯
=；4
30403
⨯=；5
20254
⨯
=．故数学成绩在[)50,90之外的人数为()100520402510-+++=． ………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知得22
13
14a b
+= ① 又 2231
4
c b a a =⇒= ②
联立①、②解出24a =，21b =
所以椭圆的方程是 2
214
x y += ………4分
（Ⅱ）当l 的斜率不存在时，1
1(3,),(3,)22
C D --，此时120S S -=；
当l 的斜率存在时，设:l (3)(0)y k x k =+≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立直线方程与椭圆方程消y 得2222(41)83(124)0k x k x k +++-=，
所以2
1283k x x +=，212212414k x x k -=+.
所以12121222S S y y y y -=-=+122()23k x x k =++43k =
，由于0k ≠，
所以12S S
-=
，当且仅当4k =
1k 时，即1
2
k =±时，上式取等号 所以12
S S -
max
=………12分.
21. 解: (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞ ………1分
因为22
1
ln 2(1)
()(1)x x
f x f x x x +-''=+
+， ………2分 所以1(1)2(1)2f f ''=
+，即1
(1)2
f '=-， ………3分 所以ln 1
()1x f x x x
=++，221
ln 1()(1)x x
x
f x x x +-'=-+， ………4分 令1x =，得(1)1f =， 所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1
1(1)2
y x -=-
-，即230x y +-=. ………6分
(Ⅱ) 因为01x <<，所以不等式等价于：
2
2ln 1
01x x x
+>-, ………7分 因为2
22
2ln 111(2ln )11x x x x x x x
-+=+--， 令21()2ln x g x x x -=+，则22
22
21(1)()x x x g x x x -+--'==-
， ………9分 因为01x <<，所以()0g x '<，所以()g x 在()0,1上为减函数. 又因为(1)0g =，所以， 当01x <<时，()(1)0g x g >=， 此时，
21()01g x x ⋅>-， 即22ln 101x x x
+>-， ………11分
所以，当01x <<时，(1)()ln x f x x -⋅<. ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2
2
240x y x y +--=，
化为标准方程为：2
2
(1)(2)5x y -+-=，
P (3,)2π
化为直角坐标为P (0,3)， 直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．
………5分 (Ⅱ) 将l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，得221(1)1)52t -++=，
整理得：21)30t t +--=，
显然有0∆>，则 123t t ⋅=-
，121t t += 121233PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=-=，
1212PA PB t t t t +=+=-==
所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅． ………10分
23. 解：（Ⅰ）由(1)(2)5f f -+≥得，125m m -++≥，
2,125,m m m <-⎧⇔⎨---≥⎩或21,125,m m m -≤<⎧⎨-++≥⎩或1,125,
m m m ≥⎧⎨-++≥⎩ 3m ⇔≤-，或2m ≥，
所以m 的取值范围是(,3][2,)-∞-+∞U ． ………5分
（Ⅱ）当0x ≠时，11111()()2f f x m x m m x m x x x x x x x
+-=++-+≥++-=+=+≥． (当且仅当1x =±时“=”成立) ，所以a 的最大值为2． ………10分。