高考数学一轮复习 专练34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含解析)文 新人教版-新人教版

专练34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
命题X 围：二元一次不等式(组)简单的线性规划问题
[基础强化]
一、选择题
1．在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3) D ．(0,0)
2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋3≥0，
0≤x ≤3，
所表示的平面区域的面积等于( )
A ．3
B ．9
C ．18
D ．36
3．设P (x ，y )其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个
4．已知点P (1，－2)，Q (a,2)，若直线2x ＋y －4＝0与线段PQ 有公共点，则实数a 的取值X 围是( )
A ．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，1)
5．[2019·某某卷]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≤0，
x －y ＋2≥0，
x ≥－1，
y ≥－1，
则目标函数z ＝－
4x ＋y 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
6．[2020·某某一中高三测试]若以不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，
x －y ＋2a ≥0
的解为坐标的点所表
示的平面区域为三角形，且其面积为4
3
，则实数a 的值可以为( )
A ．－3
B ．1
C ．－3或1
D ．3或－1
7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，
y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )
A ．－15
B ．－9
C ．1
D ．9
8．[2020·某某一中高三测试]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，
x ≥0，
则x 2＋y 2
的最大值是
( )
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
9．[2020·某某一中高三测试]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2
≤4，y ≥－x ，
y ≤x ＋2，
则t ＝
y －2
x －3
的X 围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，125
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－125，0
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅱ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，
2x －y ≤1，
则z ＝x ＋2y 的最大值
是________．
11．[2019·全国卷Ⅱ]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，
y －2≤0，则z ＝3x －y 的
最大值是________．
12．[2020·某某一中高三测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0，x ≤y ，
x ＋4≥3y ，
则
y ＋1
x ＋3
的取值X 围为________．
[能力提升]
13．[2020·全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，
y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大
值为________．
14．[2020·某某一中高三测试]已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x ≤2，
则目标函数z ＝x
＋y 从最小值变化到1时，所有满足条件的点(x ，y )构成的平面区域的面积为( )
A.74
B.3
4 C.3
2
D. 3 15．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ≥0，x －y ≥0，
0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最
大值为________．
16．[2020·某某一中高三测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，
y －4≤0，
存在x ，y 使得
2x ＋y ≤a 成立，则实数a 的取值X 围是________．
专练34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.D
2．C 在平面直角坐标系中画出可行域如图的阴影部分所示，该阴影部分的形状为等腰梯形，其面积S ＝1
2
×(3＋9)×3＝18.
3．A 当x ＝0时，y ＝0,1,2,3，共4个点； 当x ＝1时，y ＝0,1,2，共3个点； 当x ＝2时，y ＝0,1，共2个点； 当x ＝3时，y ＝0，共1个点． ∴共有4＋3＋2＋1＝10个点．
4．A 直线2x ＋y －4＝0与线段PQ 有公共点，说明点P ，Q 不在直线2x ＋y －4＝0的同一侧，∴(2－2－4)(2a ＋2－4)≤0，解得a ≥1，实数a 的取值X 围是[1，＋∞)，故选A.
5．C 本题主要考查简单的线性规划问题．通过求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能力，体现了数学运算的核心素养．
作出可行域(如图阴影部分)，
平移直线－4x ＋y ＝0可知，目标函数z ＝－4x ＋y 在P 点处取最大值，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，x ＝－1，得P (－1,1)．
∴z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
6．B 作出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －2＝0，x ＋2y －2＝0可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝0，即A (2,0)．满足题意时，点A (2,0)位于直线x －y ＋2a ＝
0下方，即2＋2a ＞0，解得a ＞－1，据此可排除A ，C ，D 选项，故选B.
7．A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.
8．C 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x 2
＋y 2
是点(x ，y )到原点距离的
平方，故只需求出三条直线的交点A (3，－1)，B (0,2)C (0，－3)到原点距离的平方，然后再进行比较．经计算点A (3，－1)是最优解，x 2
＋y 2
的最大值是10.故选C.
9．B 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为目标函数t ＝
y －2
x －3
表示区域内的点与点M (3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点M 的连线与圆相切时斜率分别取最大值或最小值．设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，则有|3k －2|1＋k 2
＝2，解得k ＝12
5或k ＝0，所以t ＝
y －2x －3的X 围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，125，故选B.
10．8
解析：作出约束条件表示的可行域，如图所示．由图可知直线z ＝x ＋2y 过点A (2,3)时，
z 取得最大值，最大值为2＋2×3＝8.
11．9
解析：本题考查简单的线性规划问题；以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力；考查数学运算的核心素养．
作出可行域(如图阴影部分所示)．
易得A (3,0)，B (1,2)，C (0,2)．
将z ＝3x －y 化为y ＝3x －z ，由图知，当直线y ＝3x －z 经过点A (3,0)时，截距－z 取得最小值，从而z 取得最大值．z max ＝3×3＝9.
12.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，97 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示点D (－3，－1)与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值
0＋10＋3＝1
3
，联立方程得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝0，x ＋4＝3y ，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－8
5，y ＝4
5，
则在点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85，45处取得最大值4
5＋1－85
＋3＝97，综上可得，y ＋1x ＋3的取值X 围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，97.
13．1
解析：作出可行域如图，由z ＝x ＋7y 得y ＝－x 7＋z 7，易知当直线y ＝－x 7＋z
7经过点A (1,0)
时，z 取得最大值，z max ＝1＋7×0＝1.
14．A 画出⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x ≤2
表示的可行域，如图，平移直线y ＝－x ＋z ，从经过点A 到
与直线BC ：y ＝－x ＋1重合⎝ ⎛⎭
⎪⎫
其中B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32，C
0，1，目标函数z ＝x ＋y 从最小值连续变
化到1，满足条件的点(x ，y )构成的平面区域的面积为四边形ABCO ，面积为12×2×2－12×1×
1
2＝7
4
，故选A.
15．10
解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b
2
.易知在点(a ，a )处
b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.由图可知，b ＝x －2y 在点(2，－4)处b 取最大值，
于是b 的最大值为2＋8＝10.
16．[2，＋∞)
解析：令z ＝2x ＋y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，
y －4≤0
的可行域，由可行域知目标函数
过点B 时取最小值，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －3＝0，y ＝4，
可得x ＝－1，y ＝4，可得B (－1,4)，z 的最小值为
2×(－1)＋4＝2.所以若存在x ，y ，使2x ＋y ≤a 成立，只需使a ≥(2x ＋y )min ，所以a ≥2.。