2020年高考数学第47讲 空间几何体的结构及三视图、直观图

名称
结构特征
棱 两底面相互平行，其余各面都是 平行
四边形 ，侧棱平行且 相等 柱
棱 底面是多边形，各侧面均是 三角形 ，
各侧面有一个公共顶点 锥
图例
名称
结构特征
棱 两底面相互平行；是用一个 平行 于
棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面
台 之间的部分
两底面相互平行；侧面的母线 平行 于 圆
圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为
考点二·空间几何体的三视图
【例 2】 如图,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的பைடு நூலகம்四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体 ABCD 的三视图分别是(①②③④⑤⑥代表图形)( )
A.①④③ B.①②③ C.⑤④③ D.①④⑥
解：由四面体 ABCD 四个顶点是长方体的四个顶点, 可得四面体 ABCD 的正视图为①,侧视图为②,俯视图为③.
故四面体 ABCD 的三视图分别为①②③. 答案：B
点评：(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握： ①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧 视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同． ②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则． ③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中 的特点． ④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可 视的画成虚线． (2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联 系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等， 有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的 三视图．
答案:C
空间几何体的结构特征 空间几何体的三视图 由三视图得到空间几何体的直观图
考点一·空间几何体的结构特征
【例 1】 (2015·广东卷)若空间中 n 个不同的点两两距
离都相等，则正整数 n 的取值( )
A．至多等于 3
B．至多等于 4
C．等于 5
D．大于 5
解：根据 n 的取值构造相应的几何图形或几何体求解． n＝2 时，可以；n＝3 时，为正三角形，可以；n＝4 时， 为正四面体，可以；n＝5 时，为四棱锥，侧面为正三角形， 底面为菱形且对角线长与边长不可能相等． 答案：B
齐”得侧视图的高为 3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度
和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为
1×sin
60°＝
3 2.
所以侧视图的面积为 S＝21× 23× 3＝34. 答案:C
考点三·由三视图得到空间几何体的直观图
【例 3】 (2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则 该四棱锥的最长棱的长度为( )
第47讲 空间几何体的结构及 三视图、直观图
1．了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的 关系．
2．掌握柱、锥、台、球的结构特征． 3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表 示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
1．柱、锥、台、球的结构特征
3．直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测法 来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点
O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相 交于O′点，且使∠x′O′y′＝ 45°(或135°).
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，
分别画成 平行于x′轴或y′轴
1．与柱、锥、台、球有关的概念题，要结合其定义和 结构特征，作出准确的判断，若说明命题是假命题，只需 要举出一个反例即可．
2．画三视图要注意“长对正、高平齐、宽相等”． 3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式， 空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的 性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图 可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
①
②
答案:B
5．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一 个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面
图形的面积是( )
A．1＋
2 2
B．1＋ 2
C．2＋ 2
D.12＋
2 2
解：先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)， 可知平面图形是一个直角梯形，其中 AD＝2，DC＝1， AB＝ 2＋1，所以其面积 S＝1＋ 22＋1×2＝2＋ 2.
A．3 2 C．2 2
B．2 3 D．2
解：在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知 SD 为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知正方体的棱长为 2， 故 SD＝ 22＋22＋22＝2 3. 答案：B
点评：将三视图还原为直观图时，若能将其放置到 “正方体”或“长方体”中去研究，不仅能较易得到直观 图，同时还能发现各元素之间的数量关系与位置关系， 便 于问题的解决．
线为旋转轴，半圆面旋转一周形
成的几何体
图例
2.三视图 (1)正视图是光线自物体的 前面向后面 正投影所得 的投影图．俯视图是光线自物体的 上面向下面 正投影 所得的投影图．侧视图是光线自物体的 左面向右面 正
投影所得的投影图．
(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视 图的 下方 ，长度与正视图 相等 ，侧视图则安排 在正视图的 正右方 ，高度与正视图 相同 .
【变式探究】
3．(2017·新课标卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中 正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形 的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 C．14
B．12 D．16
解：将三视图还原为直观图，如图： 可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组 合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底 面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2. 因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等， 梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2. 故这些梯形的面积之和为 2×21×(2＋4)×2＝12. 答案：B
的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解：作出正方体 ABCD-A′B′C′D′.
①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱， 连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的 两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如 B′-ACD′；⑤取 D-B′BC 时各面均为直角三角形． 答案: ①③④⑤
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轴 ，其余三边旋转形成的面所围成的 柱
几何体
圆 底面是 圆 ；是以直角三角形的一条 直角边 所在的直线为旋转轴，其余两
锥 边旋转形成的面所围成的几何体
图例
名称
结构特征
圆 两底面互相平行；是用一个平行
于圆锥底面的平面去截圆锥，底
台 面和截面之间的部分
球心到球面上各点的距离 相
等 ；是以半圆的直径所在的直 球
解：A 是错误的，以直角三角形的直．角．边．为轴旋转所得 到的旋转体才是圆锥；B 是错误的．以直角梯形的垂．直．于．底． 的．腰．为轴旋转所得的旋转体是圆台；C 是正确；D 是错误的， 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥 的母线长．故选 C.
答案：C
3．下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的 是( )
解：①假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边 形；
由图 1 至图 3 可知②、③、④都是错误的．
答案：A
2．下列说法正确的是( ) A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆 锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径 等于圆锥底面圆的半径
设 A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则 ABCD
即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②. 答案：D
(2)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，其正视图 与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
3 A. 4
B.
3 2
C.43 D．1
解:(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
解：圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰 三角形．
答案：C
4． (2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面 的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与 俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )
A
B
C
D
解：由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①, 故其侧(左)视图为图②.
的线段．
③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为 原来的一半.
(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图 中对应的z′轴也垂直x′O′y′平面，已知图形中平行于z 轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度 相等 . (3)成图 根据实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅 助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观 图．
点评：本题考查了空间想象能力和推理论证能力，试 题有较大的难度．根据题目特点善于构造几何图形和空间 几何体是解决这类问题的关键．
【变式探究】
1．在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种
几何形体的 4 个顶点，这些几何体是
(写出所有
正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形
【变式探究】
2．(1)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面 体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2). 给出编 号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图 分别为( )
A．①和② C．④和③
B．③和① D．④和②
解：(1)在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体，
面积是原图形面积的
2 4.
1．下列四个命题：
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是
棱台；
④两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是
棱台．
其中正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
1．根据三视图确定直观图的常用结论
(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；
(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；
(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．
2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的