壶关县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

壶关县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知集合{}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
3． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．15
B ．
C ．15
D ．15
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 4． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN <<
5． 已知||=3，||=1，与的夹角为
，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
6． 函数f （x ）=21﹣|x|的值域是（ ） A ．（0，+∞）
B ．（﹣∞，2]
C ．（0，2]
D ．[，2]
7． 若当R x ∈时，函数|
|)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =
的图象大致是
（ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．
8． 若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡
⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（ ）
A ．10
B ．11 C.12 D ．13
9． 已知向量
，
，其中
．则“
”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1
||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）
A
． B
C
． D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 11．已知a ＞0，实数x ，y
满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C
．
D
．
12．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ） A ．1 B
． C
． D ．2
13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 14．定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨
>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．,12⎤⎥⎣⎦
D ．1,2⎡-⎢⎣⎦
15．已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
二、填空题
16．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的 零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 18．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
19．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题
20．已知cos （+θ）=﹣，
＜θ＜
，求
的值．
21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．
22．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
23．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
24．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
25．如图，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起至△ACP 位置，并使平面PAC ⊥平面
ABC ．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．
壶关县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0是平行直线， ∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M 到原点的距离的最小值
∵直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0， ∴
两直线的距离为
=
，
∴AB 的中点M
到原点的距离的最小值为
+
=3
，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
2． 【答案】D 【解析】
{
}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
3． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积
为1S =262创
?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
1010
1
1
32
6
E V
D C
B
A
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：取BC 的中点E ，连接,ME NE ，2,3ME NE ==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN <<，故选A ．
考点：点、线、面之间的距离的计算．1
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 5． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
6． 【答案】C
【解析】解：由题意：函数f （x ）=21﹣|x|， ∵令u=1﹣|x|的值域为[1，﹣∞）， 则：f （x ）=2u 是单调增函数，
∴当u=1时，函数f （x ）取得最大值为2， 故得函数f （x ）=21﹣|x|的值域（0，2]． 故选C ．
【点评】本题考查了复合函数的值域求法．需分解成基本函数，再求解．属于基础题．
7． 【答案】C
【解析】由|
|)(x a x f =始终满足1)(≥x f 可知1>a ．由函数3
|
|log x
x y a =
是奇函数，排除B ；当)1,0(∈x 时，
|
|
log<
x
a ，此时0
|
|
log
3
<
=
x
x
y a，排除A；当+∞
→
x时，0
→
y，排除D，因此选C．
8．【答案】B
【解析】
考点：函数值的求解.
9．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．
故选：A．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
13．【答案】C
【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，
可得a2=7c2，
所以cosA===﹣，
∵0＜A＜180°，
∴A=120°． 故选：C ．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．
14．【答案】D 【解析】
考
点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
15．【答案】C
【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02
＞4，
求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C 相交， 故选：C ．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
二、填空题
16．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和
为3[12(1)]n n +++-+=
23122
n n -，故③是真命题；对于④，由
17．【答案】 5 ．
【解析】解：P （1，4）为抛物线C ：y 2
=mx 上一点，
即有42
=m ，即m=16， 抛物线的方程为y 2
=16x ，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
18．【答案】 ①②⑤
【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳
定点，故②正确；
对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2
﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2
+2x ﹣1）=0
还有另外两解
，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；
若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0 即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，
假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾； 假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾； 故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
19．【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
三、解答题
20．【答案】
【解析】解：∵＜θ＜
，∴
+θ∈（
，
），
∵cos （+θ）=﹣，∴sin （+θ）=﹣
=﹣，
∴sin （
+θ）=sin θcos
+cos θsin
=
（cos θ+sin θ）=﹣，
∴sin θ+cos θ=﹣，①
cos （
+θ）=cos
cos θ﹣sin sin θ=（cos θ﹣cos β）=﹣，
∴cos θ﹣sin θ=﹣
，②
联立①②，得cos θ=﹣，sin θ=﹣，
∴
=
=
==．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC …1分 在长方形ABCD 中，AB=BC ，∴BD ⊥AC …2分 又BD ∩D 1D=D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，…3分 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E …4分
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则A （1，0，0），D 1（0，0，2），E （1，1，1），B （1，1，0），
∴
…5分
设平面AD1E的法向量为，则，即
令z=1，则…7分
∴…8分
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分
（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则
∵BP∥平面AD1E
∴，即，
∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．
22．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．
24．【答案】（1）
2
21
2
x
y
+=；（2）证明见解析.
【解析】
试
题解析：
（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴
1c =， 2222
221
121,1a b c b a b
+==+=+， ∴221,2b a ==，
即2
212
x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22
221
,112
2
A B A B kb b x x x x k k --+==++，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()
11
2A B A B A B A B MA MB A B
A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=，
∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 25．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接PO ，BO ，由于四边形ABCD 为菱形，∴PA=PC ，BA=BC ，∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又PO ∩BO=O ，
∴AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥PB ．
（Ⅱ）∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC=AC ，PO ⊂
平面PAC ， PO ⊥AC ，∴PO ⊥面ABC ，∴OB ，OC ，
OP 两两垂直，
故以O 为原点，以
方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD
的边长为2
，
∴
，
，
设平面PBC 的法向量，直线AB 与平面PBC 成角为θ，
∴
，取x=1，则
，于是
，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），
设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．。