江苏各地高考数学模考试题汇编 2部分 函数 苏教版

2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第2部分 函数 苏教版
(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，
时，()f x 的值域恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．如果函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数，则实数m 的取值范围
答案：3(1,)4
--
（2012年兴化）已知实数b a ,分别满足1532
3
=+-a a a ，5532
3
=+-b b b ， 则b a +的值为 ▲ . 答案：2
说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。

将已知等式变形为2)1(2)1(,2)1(2)1(33=-+--=-+-b b a a ，
构造函数x x x f 2)(3
+=，这是一个单调递增的奇函数，因为2)1(,2)1(=--=-b f a f
所以)1()1()1(b f b f a f -=--=-，从而有b a -=-11，2=+b a 。

（2012年泰兴）方程033
=--m x x 在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是 0 ；
析：可考虑,y m =与
3
3y x x =-在[0，1]上有公共点，数形结合。

3(1,)4
--
（南师附中最后一卷）已知函数f(x)＝log a (x 3
－ax)(a ＞0且a≠1)，如果函数f(x)在
区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________． 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，1
（泰州期末）13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+
-2
3
，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 解析：本题考查不等式的解法，数形结合。

当32
a ≤
时，不等式a a x x ≥+-23
，对任意的实数[]2,1∈x
当32a >时，将不等式化为3
2||a x a x
--≥
，作出函数2||,(12)a y x a y x x -=-=≤≤的图像，如图， 不等式a a x x ≥+
-2
3
，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立的条件是，函数||,y x a =-的图像全部落在函数32(12)a y x x -=≤≤的图像的上方，由32223
12
a a a a ⎧
-⎪-≥⎪⎨
⎪-≥-⎪⎩解得52a ≥， 综上所述，实数a 的范围是3
5[1,][,)22
+∞。

（注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件）
（泰州期末）14. 集合{)
(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足
})1()()1(f t f t f +=+，下列函数k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y ；（2）)0(2≠++=a c bx ax y ；（3）)10(<<=a a y x ； （4）)0(≠=
k x
k
y ；（5）x y sin =；属于M 的函数有 . (只须填序号) 解析：本题考查基本初等函数，解方程。

解法一：对函数（1），若(1)()()k t b kt b k b ++=+++，则0b =，与条件矛盾； 对函数（2），若22(1)(1)()()a t b t c at bt c a b c ++++=+++++，解得2c
t a
=； 对函数（3），若1
t t a a a +=+，由于函数(01)x y a a =<<为减函数，故不成立；
对函数（4），若
1k k
k t t
=++，整理得210t t ++=，此方程无实数解； 对函数（5），显然(01)(0)(1)f f f +=+。

综上所述，属于M 的函数有（2）（5）。

解法二：(1)()(1)f t f t f +=+可化为
(1)()(1)0
(1)10
f t f t f t t +--=+--，
此式表示点(1,(1)),(,()),(1,(1)),(0,0)A t f t B t f t C f D ++满足AB CD k k =，
依次作出五个函数的图像，画出线段CD ，作CD 的平行线，判断能否作出弦长为1的平行线
即可。

（注：解法二不是人人都能学会的，没这个智力的人需对自己合理定位）
（南京三模）.若函数222,0
(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩
是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围
是 ▲ ．
答案:(1)-+∞
（南通三模）若函数()|21|f x x =-，则函数()(())ln g x f f x x =+在(0,1)上不同的零点个数为 ▲ .
解析：考查数形结合法的应用、函数图象的作法。

考虑函数1122))((--==x x f f y 与x y ln -=的图象交 点的个数。

而函数⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
<
+-≤≤-≤<+->-=--=41,142141,144321,3443,341122x x x x x x x x x y ，由图象易见结
果为3．
另外，也可按如下步骤做出1122))((--==x x f f y 的图象： 先作1122--=x y 的图象，再作1122--=x y 的图象。

答案：3
（盐城二模）若()y f x =是定义在R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当
[0,1]x ∈时, ()21x f x =-, 则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为 ▲ .
答案：4
解析：数形结合，作出y=f(x)与5log ||y x =在x 轴右边图像，有2个交点，又2个函数为偶函数，根据对称性有4个交点
（2012年常州）对于函数()()y f x x R =∈，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； （2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；
（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0,0）对称。

其中所有正确命题的序号是 。

答案：（3） （4）
（常州期末）11、设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数
(),(),(),().
k f x f x k f x k f x k >⎧=⎨
≤⎩，若函数3()log ||f x x =，则当1
3k =时，函数()k f x 的单调减区间为 。

答案：(,-∞
（南通一模）如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数
y x =，12
y x =
，x
y =
的图象上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()
1124，
第9题 A A D y x x ⇒=；A B B C C D y y x x y y =⇒=⇒=.
（天一）5.已知定义域为R 的函数121
()2x x f x a
+-+=+是奇函数，则a = ▲ .
答案；2
（天一）13.将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一
个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a
b
的取值范围是 ▲ . 答案：)4
5,1(
（天一）（天一）8.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .
答案：0k <或4k =
（南师大信息卷）函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，
(1)'()0x f x -<，设1
(0),(),(3)2
a f
b f
c f ===，则,,a b c 的大小关系为c <a<b.
提示：依题意得，当1x <时，有'()0f x >，()f x 为增函数；
（第9题）
又(3)(1)f f =-，且11012-<<
<，因此有1(1)(0)()2
f f f -<<， 即有1
(3)(0)()2
f f f <<,c a b <<.
（苏锡常一模）写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数
=)(x f .
答案：log 1a x +
（苏锡常一模）已知a ，b 为正实数，函数x
bx ax x f 2)(3
++=在[]1,0上的最大值为4，
则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .
答案：3
2
-
（南师大信息卷）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意 D x ∈，存在常数 0>M ，都有M x f ≤)( 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界.已知函数2
1)(ax x x f ++=.
(1) 当1-=a 时，求函数)(x f 在()0-，
∞上的值域，判断函数)(x f 在()0-，∞上是否为有界函数，并说明理由；
(2) 若函数)(x f 在[]4,1∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.
解：(1)1-=a 时，,4
5)21(1)(2
2+
--=-+=x x x x f )0,()(-∞∈∴x x f 在上单调递增，
,14
5
)210()(2=+--<∴x f
故函数)(x f 在()0-，
∞上的值域为).1,(-∞ 又),0[)(,1)(+∞∈∴<x f x f ,
∴不存在常数0>M ，使M x f ≤)(都成立.
故函数)(x f 在()0-，∞上不是有界函数.
(2) 若函数)(x f 在[]4,1上是以3为上界的有界函数, 则3)(≤x f 在[]4,1上恒成立.
即,313,3)(32≤++≤-∴≤≤-ax x x f
.2422x x
a x x -≤≤-- 即x x a x x 1
21422-≤≤--在[]4,1∈x 上恒成立.
.)1
2()14(min 2max 2x x
a x x -≤≤--∴
令
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈=1,41,1t t x 则， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈-≤≤--∴1,41,)2()4(min 2max 2t t t a t t .
令t t t g --=2
4)(，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∈+
+-=21,5161)8
1(4)(2t t g . 令t t t h -=2
2)(，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-
-=1,8181)4
1
(2)(2t t h . ∴
实数a 的取值范围为.81,21⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--
（盐城二模）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF =50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝, 100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如图所示), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）.
(1) 当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；
(2) 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.
解: (1) 因为40FG =,100AG =,所以由
GC GC AG FG AB +=,即10040GC GC x +=,解得4000
40
GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即100
90GD GD x
+=, 解得
900090
GC x =-…………………………………2分
所
以
2941000(
)5000,[140,180]90401303600
x
y GD GC x x x x x =-=⨯-=⨯∈---+……… 5分
因为2
22
360050000(1303600)
x y x x -'=⨯<-+, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故
当
140
x =㎝时,
y
取得最大值为140
㎝………………………………………………………………8分 另法: 可得5000
,[140,180]3600130
y x x x
=
∈+-, 因为3600130x x +
-在[140,180]上单调递增,
所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时,y 取得最大值为140㎝…………………………8分 (2)由
100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x +=+,得100(50)
50
h GD x h +=--,第17题
A
B
C
D
E F
G A 1 ·
所以由题意知1GC AG AG GD <=≤,即100100(50)
10050
h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立……………………12分
从而2502x h x h ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩对[140,180]x ∈恒成立,解得140702
18050402
h h ⎧
<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩,故h 的取值范围是
[)40,70…14分
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)
（盐城二模） 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.
(1) 若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； (2) 若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (3) 求函数1212()()|()()|
()22
f x f x f x f x
g x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.
20
．
解
:(1)
因
为
2
=a ,且
∈
x [2，3],所
以
3|3|
|2|1
31
()2x x x x
x x e e f x e e e e e e e --+--=+=+=+≥=,
当且仅当x =2时取等号,所以在∈[2，3]上的最小值为3e …………………………………4分
(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|
||1x a x a e
e -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立……………… 6分
所以|21|1x a x a -+≤-+,即2
232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立, 则
由
22
20232a a a a
≥⎧
⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是
02a ≤≤……………………………………………9分
(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.
①当1216a ≤-≤,即7
12
a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为
01(21)1f a e -==……10分
②当a <1时,可知2a －1<a ,所以
(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为
221(1)a f e -=…11分
(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为
22(1)a f e -=………12分
③当7
2
a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->,
(ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即7
42
a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为
271(6)a f e -=…13分
(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e == ………14分
(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小
值
为
52(6)a f e -=…………………………………………………………………………………………
15分
综上所述, 函数
()g x 在∈x [1，6]上的最小值为
2222750
01
7
112
7
42
466
a a a a e a e a a e a e a a e
----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤
⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩………………………………16分
（天一）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境
综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]2
2
2,0,2413
x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1
[0,]2
a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污
染指数，并记作()M a ．
（1）令2
1
x
t x =
+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围； （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射
性
污染指数是否超标？
17. 解：（1）当0x =时，t ＝0； 当024x <≤时，1
2x x
+
≥（当1x =时取等号）， ∴2
110,112x t x x x ⎛⎤
==∈ ⎥+⎝⎦
+， 即t 的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． ……………………4分
（2）当10,2a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，记()223g t t a a =-++
则()23,03
21,32t a t a g t t a a t ⎧
-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩
……………………6分
∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增，
且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨
⎪⎪+<≤
<≤⎪
⎪⎩⎩. ……………………12分 ∴当且仅当4
9a ≤时，()2M a ≤.
故当409a ≤≤时不超标，当41
92
a <≤时超标． ……………………14分
（南京三模）17．（本小题满分14分）
在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2
cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2
v
(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;
(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少
.
（南通三模）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为 的方向射到边BC 上点1P 后，
依次反射（入射角与反射角相 A
B
C
D P 1
P 2
P 3
4
（第18题）
等）到边CD 、DA 和AB 上的2P 、3P 、4P 处。

（1）若4P 与0P 重合，求
tan θ的值； （2）若4P 落在A 、0P 两点之间，且02AP =。

设tan t θ=，将五边形01234P PP P P 的面积S 表示为t 的函数，并求S 的最大值。

分析：为了刻画点43210,,,,P P P P P 位置，设00x B P =，通过四个相似的直角三角形结合角θ表示A P A P D P D P C P C P B P 4332211,,,,,,,再由题意分别推算3
2
tan =θ和多边形的面积，在得出多边形面积时用矩形面积减去四个直角三角形的面积. 解 ：（1）设00P B x =，则10tan PB x θ=，1
02tan PC x θ=-． 01
22tan tan tan x PC P C θθθ-=
==02tan x θ-，2023tan P D x θ
=+-
． 30(3)tan 2P D x θ=+-，304(3)tan P A x θ=-+，
404(3)tan AP x θ=
-+．由于4P 与0P 重合，403AP P B +=，所以46tan θ
=，即2
tan 3
θ=
． （2）由（1），可知44
4tan AP θ
=
-． 因为P 4落在A 、P 0两点之间，所以
2tan 13θ<<，即2
13
t <<． S =S 四边形ABCD -0
1
P BP S ∆1
2
2
3
3
4
PCP P DP P AP S S S ∆∆∆---
1126tan (2tan )122tan θθθ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭12144(4tan 2)(44tan )42tan 2tan θθθθ⎛⎫⎛⎫
------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
245834tan tan θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 123217t t ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
由于
213t <<，所以123217t t ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
32-≤=32-
故S 的最大值为32-．
（南通一模）将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树
苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25
小时，种植一捆沙棘树苗用
时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25
小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23
小时，于是从A 组抽调6名志愿者加
入B 组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，
则A 组活动所需时间2
150605()f x x x ⨯==； B 组活动所需时间1
2001002()5252g x x x ⨯=
=--． 令()()f x g x =，即6010052x x
=-，解得392x =．
所以两组同时开始的植树活动所需时间 **6019()10020.
52x x x
F x x x x
⎧∈⎪=⎨
⎪∈-⎩N N ≤， ，，
，≥， 而60(19)19F =，25(20)8
F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，
时，使植树活动持续时间最短． （2）A 组所需时间为1+2150201
6532067
⨯-⨯=-（小时） B 组所需时间为220032123133263
⨯-⨯+=+（小时），
（南京一模） 对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b
x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.
(1)判断函数()4x f x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；
(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当
[0,1]x ∈时,
2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.
19．解: (1)函数()4x f x =是“(b a ,)型函数”
因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16a
b =,所以存在这样的实数对,如1,16a b == (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4
()(2)
g x g x =
-,其中
2[0,1]x -∈,
而[0,1]x ∈时,22
()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为
2m x =
, ① 当12
m
>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()
g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13
411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解
②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2m g g ,即2
[1,1]4
m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为22
44[1,1][,]41
14
m m m m m m +-+++-
,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩
且2
114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤
③ 当1022m <
≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2m g g ,即2
[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为
224
[1,2][2,
]4
14m m m m +-+-=224
[1,]414
m m m m +-+-
,
则2
2
1144
314
m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,
解得21m -≤≤. 综上所述,所求m
的取值范围是223
m -≤≤
（苏州期末）已知函数()||f x x m =-和函数2
()||7g x x x m m m =-+-.
(1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;
(2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值范
围.。