24.4.4 解直角三角形的应用—坡度与坡角(课件)九年级数学上册(华东师大版)

第24章 解直角三角形
与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1， 2 1.414
3 1.732 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F． 由题意可知 DE＝CF＝4 (米)，
12 米
D
C
4米
45°
30°
A
E
F
B
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
第24章 解直角三角形
=
9.28
(m)，DF
=
2.5×5.A8
=
14.5
E (m).
β i2 = 1 : 2.5 5.8
F
D
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
∵ tan
=
i1
1 ，tan 1.6
=
i2=
1， 2.5
∴ 32°， 21° .
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
第24章 解直角三角形
典例讲解
例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 （精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
第24章 解直角三角形
课堂练习
1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角 α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 1__:_1__. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_1__: __3__.
h α
l
第24章 解直角三角形
4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面
第24章 解直角三角形
5. 铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求： 底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)；
9.8
i1 = 1 : 1.6 B
坡面
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l . i= h : l
h
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
α l
水平面
第24章 解直角三角形
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
∵i DE 4 tan 45， AE AE
∴ AE 4 4 (米). tan 45
在 Rt△BCF 中，同理可得 BF 4 6.93 (米).
tan 30
12 米
D
C
4米
45°
30°
A
E
F
B
因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
C
α
β i2 = 1 : 2.5 5.8
A
EF
D
第24章 解直角三角形
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF =
BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β.
9.8
i1 = 1 : 1.6 B
C
∵ BE 5.8m，BE 1 ，CF 1 ， AE 1.6 DF 2.5
α
∴AE
=
1.6×5.8
第24章 解直角三角形
坡度与坡角
| 24.4 解直角三角形 第4课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章 解直角三角形第24章解直角三角形解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分
别为点 E、 F，由题意可知 BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
第24章 解直角三角形
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
A bc Ca B
新知探究
活动一 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
B
A
C
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
第24章 解直角三角形
新知探究
1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的
(2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4， 由计算器可算得 α = 22°. 答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
第24章 解直角三角形
课堂小结
解决实际问题的一般过程 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形 的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．