上海市闵行区高三数学4月质量调研考试(二模)试卷(含解析)

2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）数学一、填空题：共12题
1．方程的解是.
【答案】
【解析】本题考查对数函数.,即,解得.即方程的解是.
2．已知集合则. 【答案】
【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得;而,所以.
3．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= . 【答案】
【解析】本题考查复数的概念与运算.=,其为纯虚数,所以,解得=1.
4．直线(为参数)对应的普通方程是.
【答案】
【解析】本题考查直线的参数方程.削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.
5．若，且，则的值
为.
【答案】16
【解析】本题考查二项式定理.展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即展开式的通项公式,令,可得.
【备注】二项展开式的通项公式：.
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是.
【答案】
【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.由三视图可得该空间几何体为圆锥;该几何体的侧面积.
7．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围
是.
【答案】
【解析】本题考查函数与方程.因为函数在区间上有零点,则
=,解得.即实数的取值范围是.
8．在约束条件下，目标函数的最大值
为.
【答案】
【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图四边形所
示;,,,.当过点时,目标函数取得最大值
.
9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率
是.
【答案】
【解析】本题考查互斥事件的概率.由题意得所求的概率=.
10．已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值
为.
【答案】
【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,等差数列.由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.
【备注】椭圆,,焦点..
11．已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是.
【答案】
【解析】本题考查平面向量的数量积、平面向量的线性运算.令,而点关于直线
的对称点为，所以,;而,所以;而,所以
;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.
12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和___.
【答案】
【解析】本题考数列的概念与求和.由题意得若,则,所以,且上述每项均在数列中;所以,,,,即=====1;所以,所以.
二、选择题：共4题
13．设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】本题考查充要条件,两直线的位置关系.由题意得，;所以
“”是“”的必要不充分条件.选C.
14．将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则
A.的最小值为
B.的最小值为
C.的最小值为
D.的最小值为
【答案】A
【解析】本题考查三角函数的图象与性质.由题意得,排除B,D;平移后,而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.选A.
15．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示(收支差额车票收入
支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则
A.①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)
B.①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)
C.②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)
D.④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)
【答案】B
【解析】本题考查函数的图像与性质.令车票价格为,支出费用为,则收支差额();若按建议(Ⅰ),令减少后的支出费用为,,则,则其对应的为图①;若按建议(Ⅱ),令提高后的车票价格为,,则,则其对应的为图③;所以①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ).选B.
16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：
(1)若是奇函数，则也是奇函数；
(2)若是周期函数，则也是周期函数；
(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；
(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数
也有零点.
其中正确的命题共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【解析】本题考查函数的性质,函数与方程.
(1)因为是奇函数,所以;则==,所以
也是奇函数,即(1)正确；
(2)因为是周期函数,所以;则=,所以也是周期函数,即(2)正确；
(3)因为是单调递减函数,所以是单调递增函数,即(3)错误；
(4)若函数存在反函数，且函数有零点，即与
有交点,则交点一定在上,所以与亦有交点,即函数
也有零点.(4)正确;
所以正确的命题有(1)(2)(4),共有3个.选C.
三、解答题：共5题
17．直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，
,是侧棱上一点，设.
(1)若，求的值；
(2)若，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴,
建立空间直角坐标系，如图所示，则,
由得，即
解得.
(2) 解法一：此时;
设平面的一个法向量为
由得,所以
设直线与平面所成的角为,则,所以
所以直线与平面所成的角为
解法二：联结，则，
平面,
，平面，所以是直线与平面所成的角；
在中，，所以
所以
所以直线与平面所成的角为
【解析】本题考查线面垂直,空间向量的应用.(1)建立恰当的空间直角坐标
系,，而，所以,解得.(2),求得平面的法向量,求得,所以直线与平面所成的角为.
18．设函数，函数的图象与函数的图象关于轴对称.
(1)若，求的值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)由得
，所以(舍)或，
所以.
(2)由得，
而，当且仅当时取等号
所以，所以.
【解析】本题考查指数函数、反函数.(1)由得,解得.(2)由得;而,所以，即.
19．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道(平台大小忽略不计)，水上通道的造价是元/米.
(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和AC 的长度分别为多少米？
(2)在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
【答案】(1)设长为米，长为米；
依题意得，即，
=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
(2)在(1)的条件下，因为.
由
得=
，元
所以，建水上通道还需要万元.
解法二：在中，
在中，=
在中，
元
所以，建水上通道还需要万元.
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则
,即，设
由，求得，所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元.
【解析】本题考查解三角形,正余弦定理,三角形的面积公式.(1)设长为米，长为米；依题意得,=，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米;(2)由余弦定理得,,在中，
,元,所以建水上通道还需要万元.
20．设直线与抛物线相交于不同两点，与圆相切于点，且为线段的中点.
(1)若是正三角形(为坐标原点)，求此三角形的边长；
(2)若，求直线的方程；
(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数(只需直接写出结果). 【答案】(1)设的边长为，则的坐标为
所以所以
此三角形的边长为.
(2)设直线
当时，符合题意
当时，
=
，
，，舍去
综上所述，直线的方程为：
(3)时，共2条；时，共4条；时，共1条.
【解析】本题考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)设的边长为,由题意得解得.(2)当时，符合题意;当时，联立方程,套用根与系数的关系求得:,舍去;综上所述,直线的方程为.(3)时,共2条;时,共4条;时,共1条.
21．已知是上的奇函数，，且对任意都成立.
(1)求、的值；
(2)设，求数列的递推公式和通项公式；
(3)记，求的值.
【答案】(1)对等式，令,所以
令,
所以
(2)取，可得，即，所以
而
所以数列的递推公式为
故
所以数列的通项公式为.
(3)由(2)代入得
++
++
=
则
【解析】本题考查函数的性质,数列的通项与求和.(1)令;令,求得;(2)取得,而累乘得.(3)由(2)代入得,,所以.。