北京2014届高三数学一轮复习 不等式单元训练

北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知120,0m a a >>>，则使得21
|2|(1,2)i m a x i m
+≥-=恒成立的x 的取值范围是( ) A ．1
2[0,]a B ．2
2[0,
]a C ．1
4[0,
]a D ．2
4[0,
]a 【答案】C
2．已知点p(x,y)的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点P 到直线3x-4y-9=0的距离的最小
值为( ) A ．2 B ． 1
C ．
5
14 D ．
5
6 【答案】A
3．已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为( )
A ． 3-
B ． 32
-
C ．
32
D ． 3
【答案】D
4．若变量x,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+011x y x y x ，则z=x+2y 的最大值与最小值分别为( )
A ． 1，﹣1
B ．2，﹣2
C ．1，﹣2
D ．2，﹣1
【答案】B
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，
[,,(0,1)]a b c ∈，已知他投篮一次得分的期望是2，则
b
a 31
2+的最小值为（ ） A ．
3
32 B ．
3
28 C ．
314 D ．
3
16 【答案】D
6．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有( )
A ．3,12min max ==z z
B ．z z ,3min =无最大值
C ．,12max
=z z 无最小值
D ．z 既无最大值，也无最小值
【答案】B
7．给出下列四个命题：①若0>>b a ，则b
b a a 1
1->-
；②已知0>h ，R b a ∈,则h b a 2<-是h a <-1且h b <-1的必要不充分条件③若0>>b a ，则
b a b a b a >++22；④若+∈R x ，则x
x y 8
22+=的最小值为8；真命题的个数为( )
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
8．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )
A ．b>c>a
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．c>b>a 【答案】A
9．△ABC 满足23AB AC ⋅=︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中,,x y z 分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若
)2
1
,,()(y x M f =，则14x y +的最小值为( )
A ．8
B ．9
C ．16
D ．18
【答案】D
10．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列命题成立的是( )
A ．22a b >
B ．
1b
a < C ．lg()0a
b ->
D ．11()()22
a b <
【答案】D
11．已知实数a 、b 满足“a ＞b ”，则下列不等式中正确的是( )
A ．|a|＞|b |
B ．a 2＞b 2
C ．a 3＞b 3
D ．
b
a
＞1 【答案】C
12．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( )
A ．若b a >,则2
2
b a > B ．若b a >,则22b a >
C ．若b a >,则2
2
b a >
D ．若b a ≠,则22b
a ≠
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知平面区域如图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值时的最优解有无
数多个，则=m
O
C
A(5,3)
B(1,1)
y
x
【答案】0.5
14．在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+-≤⎩
表示的区域为M ，1t x t ≤≤+表示的区
域为N ，若12t <<，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ． 【答案】
56
15．在a 克糖水中含有b 克塘（a>b>0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了。

试根据这个事实提炼出一个不等式： 。

【答案】
16．设,a b 为正实数, 现有下列命题:
① 若221a b -=, 则1a b -<；② 若11
1b a
-=, 则1a b -<；
③ 若||1a b -=, 则||1a b -<；④ 若33||1a b -=, 则||1a b -<.
其中的真命题有 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?
【答案】设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P=6x+8y ，由题意有
y O M
10
15x
1020
由图知直线y=－
43x+8
1
P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.
18．解关于x 的不等式组：解关于x 的不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧
->+<2)2(log 112
1x x .
【答案】由
11
<x
得0<x 或1>x 由)2,2(2)2(log 2
1-∈⇒->+x x
∴原不等式组的解集为{}
21,02<<<<-x x x 或.
19．设不等式
402
x
x ->-的解集为集合A ，关于x 的不等式22(23)320x a x a a +-+-+<的解集为集合B 。

(I ）若A B ⊃，求实数a 的取值范围；
(II ）若A B =∅，求实数a 的取值范围。

【答案】由题意，集合{|(4)(2)0}{|24}A x x x x x =-->=<< 集合{|(2)(1)0}B x x a x a =+-+-<{|12}x a x a =-<<-
(Ⅰ）若A B ⊃，则12
24a a -≥⎧⎨-≤⎩
可得 21a -≤≤-．
所以21a -≤≤-时，关系式A B ⊃ 成立 ．
(Ⅱ）要满足A B =∅，应满足22a -≤或14a -≥，所以0a ≥或3a ≤- 综上所述，0a ≥或3a ≤- 时，A B =∅
20．某车间生产一种机器的两种配件A 和B ，已知生产配件A 的成本费用与该车间的工人人数成反比，而生产配件B 的成本费用又与该车间的工人人数成正比；且当该车间的工人人数为10人时，这两项费用分别为2万元和8万元。

现在要使这两项费用之和最小，则该车间的工人人数应为多少？
【答案】由题意可得x
y 20
1=，542x y = 设两项费用之和为y,则
y=y 1+y 2=
20485x x +≥=当且仅当204,55
x
x x ==时,等号成立即 答：当车间的工人人数为5人时，两项费用之和最少。

21．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产
量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为8000485
2
+-=x x y ，已知此生产线年产量最大为210吨。

(1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本； (2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）生产每吨产品的平均成本为
==
x y x f )()2100(488000
5≤<-+x x
x ， 由于
48800052488005-⋅≥-+x
x x x 3248402=-⨯=， 当且仅当
x
x 8000
5=
时，即200=x 时等号成立。

答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；
(2）设年利润为s ，则)8000485(
402+--=x x x s 80008852
-+-=x x )2100(≤<x 1680)220(5
1
2+--=x ，
由于s 在]210,0(上为增函数，故当
210=x 时，s 的最大值为1660。

答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

22．关于x 的不等式2680kx kx k -++<的解集为空集，求实数k 的取值范围. 【答案】 (1)当0=k 时，原不等式化为8<0，显然符合题意。

(2)当0≠k 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：
⎩⎨⎧≤+⨯-=∆>0
)8(4)6(0
2
k k k k 解得10≤<k 综合(1)(2)得k 的取值范围为[]1,0。