第十四章傅里叶光学

F E ~ x 2 , y T 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 是描述菲涅耳衍射在频
根据教材P375公式(13-118)知观察面上菲 域效应的传递函数。
涅的其E ~ 耳物中u , 衍频的v 射谱相T 光，移 u 场即因, v 的子e 频就 谱是j 是这 x e k 经个历传 j 了递x p z 一函z 个数u 2 相 v 移p 2 后 E~xu1,y1xd10E~xv2,y2yd10
E~x1,y1 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布E~x2,y2
面上的复振幅分布 E~x,y 。
和后焦
用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率
为 tx1,y1 ，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为
E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为
F E ~ x 2 , T y 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 中得到
u x1 v y1
F E ~ x 2 , T y 2 A T u , v e j x d 0 u 2 p v 2 d0
d0
不考虑透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物 体的傅里叶变换。有
晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物
体频谱。
二、透镜的成像性质
E~x1,y1 E~x1,y1
在此只考虑点物成像问题：
F
1、点物距透镜无穷远
如图，在紧靠透镜前平面上的
f
光场分布为一常数，设为1，则
光波透过透镜后，若不考虑透
镜的有限孔径，在紧靠透镜后
平面上的光场分布为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12会聚球面波
即
E x ,y j1 fe x 2 jfk p x 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 ifk p x 1 2 y 1 2 u x 1 f v y f 1
将
E
x,E ~ yx 1 ,y j1 1f eA xtpx 1 2,jy kf1e x2x yjp 22 k f x 1 2y 1 2E~ x1,代y1入E~上x1,y式1 得到
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12
所以，透镜的成像本领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的 结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使得 入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平 面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上 得到物体（或物体平面场分布）的频谱。 E~x1,y1 E~x1,y1
E ~ x ,y j1 fe x 2 jfk x p 2 y 2 FE ~ T x 2 ,y 2 u x f v y f
所以
E ~ x,y jA fe x 2 jfk p 1 d f0 x2 y2 T x f,y f
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到
有一个位相弯曲。当 d0 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，
当
d0 时f，式子变为
E~x,y
A
jf
Txf
y ,
f
上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限
大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物
体的较高频率成分（对应于与z轴夹角较大的平面波）的传播，
这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐
E~x, y
H u , v e x jd 0 p u 2 v 2
而 FTE ~x1,y1 AFTtx1,y1ATu,v
tx1,y1 d 0
tlx2,y2
f
将 H u , v e x jd 0 p u 2 v 2 和 F E ~ T x 1 ,y 1 A T u ,v 代入
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为 E~x1,y1 E~x1,y1
Ex1,y1tlx1,y1Ex1,y1
Atx1,y1expj2kf
x12y12
E~x, y
tx1,y1 tlx1,y1 f
光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据 菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算
E ~ x ,y eii z x 1 1 k e p z x 2 iz 1 k x p 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 iz 1 k x p 1 2 y 1 2 u x z 1v y z 1
Ifx,y
A
f
2
Txf,yf
2
2、物体放置在透镜前方
设面物已体导的出复紧振靠幅透透镜过之率前为的平t面x1,上y1场，分它布与透E~镜x2之,y2间 与的透距镜离后为焦d 0 面，上前
场分布 E ~x2,y2 之间的关系，所以这里只需要计算如下三个特定 平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布
FTE~ x1, y1 ux1 vy1 f f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于
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衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx1,y1 tlx1,y1 f
E~x, y
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
e一xp样2jfk，x但2 他y2对 观，察后平焦面面上上的的强位度相分分布布没与有物影体响频，谱其的光位强相为分布不
2、点物在距透镜有限远的光轴上
设点物S位于距透镜为 l 的光轴上，S
S
则投射到透镜上的光波就是从S点
l
l
发出的发散球面波。在傍轴近似下，
它在透镜前平面上的场分布为
E ~x1,y1Aexpikx122ly12
通过透镜后场分布变为
第十四章傅里叶光学
2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E~x1,y1 3）后焦面上的复振幅分布 E~x, y
物体的复振幅透过率为tx1,y1 ，则物体与透镜之间的平面上的
复振幅分布为 E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
tlx1,y1expikx122fy12