第十四章傅里叶光学
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux i y x f v u F )](2exp[),()}y ,x (f {),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)，⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
傅里叶光学复习要点
l rect ，截止频率 f 0 2 di l l
2 2 圆形出瞳： P , circ l/2
l ，截止频率 f 0 2 di
4、 MTF 的物理意义，什么叫光学链？ MTF（调制传递函数）综合反映了镜头的反差和分辨率特性， MTF 是用仪器测量的， 是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。 光学链：实际应用中，光学系统往往只是某个完整系统中的一个环节。完整系统可能包 括图像的产生、传递、摄像（记录） 、显示和处理等环节和因素。这些环节或因素就构 成了一个光学链。 5、 如何求空间带宽积？ 空间带宽积 SW 定义为函数在空域和频域中所占面积之积，
U ( P) a( P)e j ( P ) ， U ( P) 称为单色光场中 P 点的复振幅，它包含了 P 点光振动的振
幅 a( P) 和初相位 p ，与时间 t 无关，而仅仅是空间位置坐标的函数。 对于单色光波，由于频率 恒定，由于时间变量确定的位相因子 e
j 2 t
对于光场中的各
20、
卷积积分的含义是什么？脉冲的响应有什么特点？
g x, y f ( , ) h( x, y)dd f x, y * hx, y 其含义仍旧是指：把输
入函数 f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统
对于每个脉冲的响应叠加在一起就得对于 f(x,y)的整体响应。
h( x, y; , ) L ( x , y )的意义是：输入平面上位于 x =,y = 处的单位脉冲
（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。 21、 对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法是什么？ 一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数； 二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱函数的积。再对该积求逆傅里叶变 换求得输出函数。 22、 标量衍射理论的条件是什么？ 衍射孔径比照明波长大得多； 不在太靠近孔径的地方观察衍射场。 23、 称为单色光场中 P 点的复振幅是如何表示的？单色光场为什么能用复振幅描述？
物理光学A傅里叶光学PPT课件
,
f
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上面的讨论可以说明, 理想夫琅和费衍射系 统起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学对 夫琅和费衍射的新认识。
当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫 琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方 向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼 此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到 分频的目的.
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x
0
G
光 栅
3
1 0
-1
-3
屏
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
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f (x)
2d
d
d d 4
0d 4
d 2
3d 4
x
2d
(x)是周期性函数
f (x) f (x md), (m ,1, 2,)
d是空间周期.将上式用 傅里叶级数展开:
f (x) 1 2 cos(2 1 x) 2 cos(2 3 x)
2
d 3
d
2 cos(2 5 x)
5
d
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令
p0
1 d
,
f
(x)
1 2
2
cos(2p0 x)
2
3
cos(2 3 p0 x)
2
5
cos(2 5 p0 x)
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
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光栅的像是一 条条直条纹
• •
x
•
•
•
•
•
傅里叶光学简介
L1
O
F S+1
A B
S0
C
S-1
阿贝成象原理
I’
1
C’
通过衍射屏的光发生夫
琅禾费衍射，在透镜后
B’
焦平面上得到傅里叶频
A’
2
谱 (S+1, S0, S-1)
虚物
2 频谱图上各发光点发出的球面波在象平面上相干叠
加而形成象A’，B’，C’ 。
第一步是信息分解 第二步是信息合成
频 ❖ 第一步夫琅禾费衍射起分频作用将各 谱 语 种空间频率的平面波分开在L后焦面上形 言 成频谱 描 述 ❖ 第二步干涉起综合作用
傅里叶光学的应用
（1）光学信息处理的特点
✓ 高速 处理 并行传输 并行处理 响应 光开关 10-15s 光传输速度 3×108 m/s 电开关 10-9s 电传输速度 105 m/s
✓ 抗干扰能力强 ✓ 大容量 传输容量大 光纤
存储容量大 全息存储
（2）信息光学的应用
✓ 新型成像系统
✓ 图像处理、图像识别
傅里叶变换+线性系统理论
➢空间频率
照片的二维平面 上光振幅有一定 的强弱分布
➢空间频率
空间频率：单位长度光振幅变化的次数。 反映了光强分布随空间变量作周期性变化的频繁程 度，它同光振动本身的时间频率完全是两回事。时 间是一维的，空间可以是一维、二维、三维。
➢ 数学上的傅立叶变换
数学上可以将一个复杂的周期性函数作 傅立叶级数展开，这一点在光学中体现 为：一幅复杂的图像可以被分解为一系 列不同空间频率的单频信息的合成，即， 一个复杂的图像可以看作是一系列不同 频率不同取向的余弦光栅之和。
✓透镜的发明 ✓望远镜、显微镜的发明 ✓Snell折射定律、费马原理 ✓微粒说、波动说
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
matlab 傅里叶光学
matlab 傅里叶光学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶光学是一种利用傅里叶变换理论研究光传播和光信息处理的方法。
它将光学现象和傅里叶分析有机地结合在一起，通过对光学系统中光场随时间和空间的变化进行频域分析，揭示了光学系统的特性和行为。
傅里叶光学在光学设计、成像系统、数字图像处理等领域具有重要的应用价值，对于提升光学系统的性能和实现更复杂的光学功能具有重要意义。
傅里叶光学的基本原理是将光场视为波动，利用傅里叶变换将光场表示为频谱分解的形式。
在傅里叶光学中，光场的传播和变换可以用傅里叶变换公式描述，通过傅里叶变换可以将一个任意时间或空间变化的光场分解成一系列频率不同的平面波，这些平面波之间的相位和幅度关系代表了原始光场的性质。
通过傅里叶变换，可以实现光场的频域分析，理解光场的传播规律和特性。
在数字图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波处理。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像表示为频域上的频谱分布，通过分析频谱特性可以实现图像的去噪、增强、压缩等处理，提高图像质量和清晰度。
傅里叶变换还可以应用于图像配准、图像拼接、图像分割等图像处理任务，为数字图像处理提供了一种有效的工具和方法。
在实际应用中，matlab是一种常用的工具软件，可以实现傅里叶光学的理论研究和数值计算。
matlab软件提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于对光场进行傅里叶变换、光学系统的仿真模拟、图像处理和分析等任务。
通过matlab软件，研究者可以方便地进行傅里叶光学的数值计算和模拟，探索光学系统的特性和行为，实现光学功能的设计和优化。
第二篇示例：傅里叶光学是光学领域中一个重要的分支，它利用傅里叶变换的原理来研究光的传播、衍射、干涉等现象。
在傅里叶光学中，光被视为一种波动现象，能够通过数学方法描述和分析光的传播和相互作用。
让我们来了解一下傅里叶光学的基本概念。
在光学中，光波可以被表示为一个复数函数，具有振幅和相位两个要素。
第十四章傅里叶光学-文档资料
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
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傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
第十四章傅里叶光学
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅立叶光学基本原理
傅立叶光学基本原理实验目的：在4f 系统中，观察不同的衍射物通过两个凸透镜后的傅立叶变换，计算栅格常数实验原理：傅立叶变换，惠更斯原理，多缝衍射，阿贝成像原理该实验使用当中，在进行相干光学处理时，采用了如下图所示的双透镜系统（即4f 系统）。
这时输入图像（物）被置于透镜L1的前焦面，若透镜足够大，在L1的后焦面上即得到图像准确的傅立叶变换（频谱）。
并且，因为输入图像在L1的前焦面，需要利用透镜L2使像形成在有限远处。
在4f 系统中，L1的后焦面正好是L2的前焦面，因此系统的像面位于L2的后焦面，并且像面的复振幅分布是图像频谱准确的傅立叶变换。
物面L1 频谱面 L2 像面从几何光学看，4f 系统是两个透镜成共焦组合且放大倍数为1的成像系统。
在单色平面波照明下（相干照明），当输入图像置于透镜L1的前焦面时，在L1的后焦面上得到图像函数E *（x,y ）准确的傅立叶变换：E *（x,y ）=⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-⨯dadb e b a E f y x A b f y a f x B B B )(2),(),,(λλπ其中，x,y 是L1后焦面（频谱面）的坐标。
由于L1的后焦面与L2的前焦面重合，所以在L2的后焦面又得到频谱函数E *（x,y ）的傅立叶变换，略去常数因子：⨯=)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ)ˆ,ˆ(ˆB f y x A y x E ⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-dadb e b a E b f y a f x B B )ˆˆ(2),(λλπ通过两次傅立叶变换，像函数与物函数成正比，只是自变量改变符号，这意味着输出图像与输入图像相同，只是变成了一个倒像。
第一次傅立叶变换把物面光场的空间分布变为频谱面上的空间频率分布，第二次傅立叶变换又将其还原到空间分布。
相干光学信息处理在频谱面上进行，通过在频谱面上加入各种空间滤波器可以达到改变频谱而达到处理图像信息的目的。
通过在物面处加上光栅，通过光的多缝干涉，使得不同空间频率的图像信息叠加在一起（空间频率是在空间呈现周期性分布的几何图形或物理量在某个方向上单位长度内重复的次数）。
傅里叶光学
菲涅耳衍射
e jkz U ( x, y ) j z
U( x
0
, y0 )e
j
k x xo 2 y yo 2 2z
dx0 dy0
k 衍射场是透射函数 j x 2 y2 e jkz U 0 ( x, y ) e 2z 和球面波的卷积 j z k 2 2 j x0 y0 e jkz j 2kz x 2 y 2 e F uin ( x0 , y0 )e 2 z j z
1，夫琅和费衍射-圆孔衍射
0
的夫琅和费衍射场的复振幅分布为（利用傅里叶-贝塞尔变换）：
2 J kar kr 1 ka z U r exp jkz exp j kar j2z 2 z z 中央亮斑（爱里斑）的半径为：
2 2
强度分布为：
r 0.61
m z m z z d d L
光栅的分辨本领为（m为光栅级次，N为光栅缝数）：
若光栅的大小限制为边长为L的正方形，则其透过率为：
x 1 x x y t x0 rect 0 * comb 0 rect 0 rect 0 a d d L L
cos cos cos cos A , exp j 2 x
Information Optics
cos cos y d d
x y t ( x0 , y0 ) rect 0 rect 0 e jkz jk x y a b e 2 z ab sin cafx sin cbf y 求夫琅和费衍射观察面光场
傅里叶光学
补充读物傅里叶光学和数字图象处理光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。
傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。
一、空间频率和复振幅设一维简谐波以相速度u 沿x 轴正方向传播，)(cos ),(0ϕωξ+−=x k t A t x简谐振动的时间周期性：时间周期T ，时间频率ν，时间角频率ω .简谐波还具有空间周期性？波速u ：(单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速)πλωλνλ2===T u . 空间周期性：空间周期：波长λ (表示振动在一个周期T 内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。
)空间频率：1/λ空间角频率：波数2π/λ若两个单色波沿其传播方向有不同的空间频率，意味着它们有不同的波长。
时间周期性和空间周期性的联系(对单色光)：λ ＝ uT 沿空间任意k 方向传播的单色平面波，复振幅 )(i 00e )(~ϕ−⋅=r k r A E ])cos cos cos ([i 0e ϕγβα−++=z y x k A ,其中α , β 和γ 为传播矢量k 的方位角。
在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。
二、空间频率概念的推广（二维）通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。
沿k 方向传播的单色平面波，0z z =平面的复振幅分布为 γcos i 000e ),(~z k A y x E =)cos cos (i e βαy x k +对于沿一定方向传播的平面波，γcos i 0e z k ＝常数，则A y x E =),(~0)cos cos (i e βαy x k +x, y 平面上各点复振幅的差别仅来源于不同的(x, y )处有不同的相位差。
x y 平面上的相位分布？k 方向传播的平面波的波面如上图示，0z z =平面与任一波面的交线(虚线)上，各点的位相＝该波面的相位值；交线族 ＝ 等相位线族，其方程为 =+)cos cos (2βαλπy x 常数 故，0z z =平面上复振幅分布的特点：等位相线是一组平行线, 呈周期分布(周期为π2)。
(物理光学)第十四章__傅立叶光学_3
E( , ) C0 E( x1 , y1 ) exp[ i 2( x1u y1v )] dx1dy1
位相弯曲消失，E()是E(x1,y1) 准确的傅里叶变换。
其中，C0 是光束走过 2f 距离产生的 位相延迟。
EL (x' , y ' ) E ( x1 , y 1 )
EL (x' , y ' ) E ( x1 , y 1 )
' EL (x' , y ' )
E ( x, y ) E (, )
E ( x1' , y1' )
d0 P
f F
f
f P'
同样，从 F 面P´到也是准确的傅里叶变换，但坐标方向相反。
E ( x , y ) C0 E (, ) exp i 2[( x1' ) ( y1' )]dd
E ( x, y )
e
x2 y 2 ik [ f ] 2f
i f
E L ( x, y) exp[
ik ( xx yy )]dxdy f
(2)
§14－4 傅里叶变换与光学信息处理
一、傅里叶变换光学系统 1. 4f 光学变换系统
EL (x' , y ' ) E ( x1 , y 1 )
(7 )
§14－4 傅里叶变换与光学信息处理
一、傅里叶变换光学系统——1. 4f 光学变换系统
将（6）式代入（4）式
d0 x2 y 2 1 E ( x, y ) exp[ ik ( f d 0 )] exp[ ik (1 ) ] if f 2f
E ( x1 , y1 ) exp[ i
《傅立叶变换光学》课件
光学设计：傅立叶光学在光学设计 领域也有着广泛的应用，如光学系 统设计、光学器件设计等。
傅立叶变换光学的发展历程
1807年，傅立叶提出傅立 叶变换理论
19世纪末，傅立叶变换在 光学领域得到应用
20世纪初，傅立叶光学理 论逐渐成熟
20世纪中叶，傅立叶光学 在成像、通信等领域得到 广泛应用
21世纪初，傅立叶光学在 生物医学、遥感等领域得 到进一步发展
傅立叶变换光学的应用领域
光学成像：傅立叶光学在光学成像 领域有着广泛的应用，如光学显微 镜、光学望远镜等。
光学测量：傅立叶光学在光学测量 领域也有着广泛的应用，如光学干 涉测量、光学衍射测量等。
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光学通信：傅立叶光学在光学通信 领域也有着广泛的应用，如光纤通 信、光波导通信等。
傅立叶变换在调制和解调中的应用
傅立叶变换在调制中的应用：将信 号从时域转换为频域，便于传输和 处理
傅立叶变换在信号处理中的应用： 通过傅立叶变换，可以对信号进行 滤波、压缩、加密等处理
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傅立叶变换在解调中的应用：将接 收到的信号从频域转换回时域，恢 复原始信号
傅立叶变换在通信系统中的应用： 傅立叶变换在通信系统中广泛应用， 如数字通信、无线通信、卫星通信 等
频谱分析：分析信 号的频率成分和能 量分布
滤波处理：通过傅 立叶变换进行滤波 处理，去除噪声或 提取特定频率成分
信号重构：将处理 后的频谱通过傅立 叶逆变换重构为时 域信号
图像的频谱分析和处理
傅立叶变换：将 图像从空间域转 换到频域
频谱分析：分析 图像的频率成分 和分布
频谱处理：对图 像的频率成分进 行修改和调整
南理工物理光学04-01
重要内容 1、 波前变换和相因子分析 2、 余弦光栅的衍射场 3、 傅立叶变换光学大意 4、 阿贝成像原理与空间滤波 5、 泽尼克的相衬法
概要：
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射
衍 射 分 析 结 构
夫琅禾费衍射
x2 y2 ik 2f
，忽略透镜表面反射， A1 A2
是一种相位型衍射屏函数
注意对于凹透镜和凸透镜的情况相同，只是焦距一个为正，一个为负。
例题：利用相因子法求薄透镜傍轴成像公式：
s
ik ~ 在傍轴条件下： U1 ( x, y ) A1e x2 y2 2f
x y 2s
2
2
s’
透镜函数： ~ tL ( x, y ) e
1 2
U1 U2U3
U
~ U2 ~ ~ ~ t1 t2 U1
衍射的再说明：
i ~ U ( x' , y ' )
ikr ikr e i e ~ ~ ~ t ( x, y ) U1 ( x, y) dxdy U1 ( x, y) dxdy (0 ) r ( 0 ) r
ik x2 y2 2 z0
1 A1t1e 2
ik
x2 y2 2 z0
~ ~ ~ U 0 U 1 U 1
0级为正出射的平面波 ~ 1级U 1代表发散球面波，发散 点为(0， 0， z0 ) ~ 1级U 1代表汇聚球面波，汇聚 点为(0， 0，z0 )
i ~ U ( x' , y ' )
~ U ~ 2 ( x, y ) 衍射屏函数的定义： t ( x, y) ~ U1 ( x, y)
傅里叶光学全
傅里叶光学全复习资料1 傅里叶变换F f _ , f y f _, y e2i f_ _ fy y d_dy F{f (_, y )}式中H 0 (f_,fy)f_ 和 fy 称为空间频率，F f_ , f yF f_ , f y出瞳重叠面积 (f_, fy) 出瞳总面积 0称为 F(_,y)的傅里叶谱或空间频谱。
F (f_,fy)和 F(_,y)分别称为函数 f(_,y)的振幅谱和相位谱，而称为 f(_,y)的功率谱。
2 逆傅里叶变换f ( _, y )F ( f_ , fy )e[ 2 i ( f _ _ f y y )f_fy F 1 {F ( f_ , fy )}3 函数 f(_,y)存在傅里叶变换的充分条件是： f(_,y)必须在 _y 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点 f(_,y)在 _y 平面域内绝对可积 f(_,y)必须没有无穷大间短点4 物函数 f(_,y)可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术” 9 δ函数表示某种极限状态。
可用来描述高度集中的物理量。
如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。
δ函数只有通过积分才有定值 10 在光学上，单位光通量间隔为 1 个单位的点光源线阵之亮度可用一个一维梳状函数表示：42 非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍 43 具有像差的系统其调制传递函数只可能下降而绝不会增大，结果会使像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论 44 在相干照明条件下，光学成像系统对光场的复振幅变换而言，是线性不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。
傅立叶光学.ppt
2. 理论推导
Object plane 物面
(x1,y1)
Focal surface Image plane
焦平面－谱面
像面
（，）
f
z
(-x1',-y1' )
s
s'
1) 从物面到谱面，是一次傅里叶变换过程。 2) 从频谱面到像面，是一次菲涅尔衍射过程。
7
结论
Object plane 物面
(x1,y1)
E(x , y )
E(u , v )
E( x', y' )
f
f
f
f
E*(u,v)
23
二、 非相干光学处理系统
非相干光学处理指采用扩展的非相干光源照明系统， 系统传递和处理的基本物理量是光场的强度分布。
P( , )
O (x0 , y0 )
X( , )
aD/(d-a)
D
f
dD/(d-a)
z
13-1&2 内容回顾
1、基本概念（傅立叶光学、研究方法、 研究内容等）
2、空间频率
E~ ( x,
y,
z)
=
E~0
exp[i
2p l
(x cosa
+
y cos
b
+
z cosg
)]
= E~0 exp[i2p (ux + vy + wz)]
1
13-1&2 内容回顾
3、透镜的性质（傅立叶变换、成像）
– 透镜函数
2) A subsequent transformation converts the first Fourier transform into the (intermediate) image, which is seen through the eyepiece.
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E~x, y
H u , v e x jd 0 p u 2 v 2
而 FTE ~x1,y1 AFTtx1,y1ATu,v
tx1,y1 d 0
tlx2,y2
f
将 H u , v e x jd 0 p u 2 v 2 和 F E ~ T x 1 ,y 1 A T u ,v 代入
晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物
体频谱。
二、透镜的成像性质
E~x1,y1 E~x1,y1
在此只考虑点物成像问题：
F
1、点物距透镜无穷远
如图，在紧靠透镜前平面上的
f
光场分布为一常数，设为1，则
光波透过透镜后，若不考虑透
镜的有限孔径，在紧靠透镜后
平面上的光场分布为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12会聚球面波
E~x1,y1 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布E~x2,y2
面上的复振幅分布 E~x,y 。
和后焦
用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率
为 tx1,y1 ，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为
E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为 E~x1,y1 E~x1,y1
Ex1,y1tlx1,y1Ex1,y1
Atx1,y1expj2kf
x12y12
E~x, y
tx1,y1 tlx1,y1 f
光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据 菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算
E ~ x ,y eii z x 1 1 k e p z x 2 iz 1 k x p 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 iz 1 k x p 1 2 y 1 2 u x z 1v y z 1
即
E x ,y j1 fe x 2 jfk p x 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 ifk p x 1 2 y 1 2 u x 1 f v y f 1
将
E
x,E ~ yx 1 ,y j1 1f eA xtpx 1 2,jy kf1e x2x yjp 22 k f x 1 2y 1 2E~ x1,代y1入E~上x1,y式1 得到
第十四章傅里叶光学
2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E~x1,y1 3）后焦面上的复振幅分布 E~x, y
物体的复振幅透过率为tx1,y1 ，则物体与透镜之间的平面上的
复振幅分布为 E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
tlx1,y1expikx122fy12
FTE~ x1, y1 ux1 vy1 f f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于
衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx1,y1 tlx1,y1 f
E~x, y
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
e一xp样2jfk，x但2 他y2对 观，察后平焦面面上上的的强位度相分分布布没与有物影体响频，谱其的光位强相为分布不
2、点物在距透镜有限远的光轴上
设点物S位于距透镜为 l 的光轴上，S
S
则投射到透镜上的光波就是从S点
l
l
发出的发散球面波。在傍轴近似下，
它在透镜前平面上的场分布为
E ~x1,y1Aexpikx122ly12
通过透镜后场分布变为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12
所以，透镜的成像本领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的 结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使得 入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平 面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上 得到物体（或物体平面场分布）的频谱。 E~x1,y1 E~x1,y1
E ~ x ,y j1 fe x 2 jfk x p 2 y 2 FE ~ T x 2 ,y 2 u x f v y f
所以
E ~ x,y jA fe x 2 jfk p 1 d f0 x2 y2 T x f,y f
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到
有一个位相弯曲。当 d0 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，
当
d0 时f，式子变为
E~x,y
A
jf
Txf
y ,
f
上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限
大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物
体的较高频率成分（对应于与z轴夹角较大的平面波）的传播，
这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐
F E ~ x 2 , y T 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 是描述菲涅耳衍射在频
根据教材P375公式(13-118)知观察面上菲 域效应的传递函数。
涅的其E ~ 耳物中u , 衍频的v 射谱相T 光，移 u 场即因, v 的子e 频就 谱是j 是这 x e k 经个历传 j 了递x p z 一函z 个数u 2 相 v 移p 2 后 E~xu1,y1xd10E~xv2,y2yd10
Ifx,y
A
f
2
Txf,yf
2
2、物体放置在透镜前方
设面物已体导的出复紧振靠幅透透镜过之率前为的平t面x1,上y1场，分它布与透E~镜x2之,y2间 与的透距镜离后为焦d 0 面，上前
场分布 E ~x2,y2 之间的关系，所以这里只需要计算如下三个特定 平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布
F E ~ x 2 , T y 2 F E ~ x 1 , y T 1 H u , v 中得到
u x1 v y1
F E ~ x 2 , T y 2 A T u , v e j x d 0 u 2 p v 2 d0
d比于物 体的傅里叶变换。有