高考数学(理)一轮复习课时训练：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)

课时规范训练
A 组 基础演练
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )
A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac
B ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac
C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列
D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列
解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．
3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.当a ＝1时，B ＝{x |－2＜x ＜1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．
4．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题
B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题
解析：选A.A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；
B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；
C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；
D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
5．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x
＜1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.由x ＞1得1x ＜1；反过来，由1x
＜1不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不必要条
件，选A.
6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，
则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题． 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )
A ．m ＝－2
B ．m ＝2
C ．m ＝－1
D ．m ＝1
解析：选A.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.
8．有四个关于三角函数的命题：
p 1：sin x ＝sin y ⇒x ＋y ＝π或x ＝y ；
p 2：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2
＝1； p 3：x ，y ∈R ，cos(x －y )＝cos x －cos y ；
p 4：∀x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， 1＋cos 2x 2
＝cos x . 其中真命题是( )
A ．p 1，p 3
B ．p 2，p 3
C ．p 1，p 4
D ．p 2，p 4 解析：选D.对于命题p 1，若sin x ＝sin y ，则x ＋y ＝π＋2k π，k ∈Z 或者x ＝y ＋2k π，k ∈Z ，所以命题p 1是假命题．对于命题p 2，由同角三角函数基本关系知命题p 2是真命题．对于命题p 3，由两角差的余弦公式可知cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ，所以命题p 3是假命题．对于命题p 4，由余弦的倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1得 1＋cos 2x 2＝1＋2cos 2x －12
＝cos 2x ，又因为x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， 所以cos x ≥0，所以cos 2x ＝cos x ，所以命题p 4是真命题．综上，选D.
9．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________．
解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．
答案：若|a|＝|b|，则a＝－b
10．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
B组能力突破
1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 2．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；
当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，
所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”“a∥b”．
故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则() A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C.由于q⇒p，则p是q的必要条件；而p⇒/q，如f(x)＝x3在x＝0处f′(0)＝0，而
x ＝0不是极值点，故选C.
4．已知p ：x ＞1或x ＜－3，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，1]
C ．[－3，＋∞)
D ．(－∞，－3]
解析：选A.法一：设P ＝{x |x ＞1或x ＜－3}，Q ＝{x |x ＞a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.
法二：令a ＝－3，则q ：x ＞－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.
5．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8＞0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2＜0得3a
＜x ＜a ，由x 2＋2x －8＞0得x ＜－4或x ＞2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，a ≤－4，所以a ≤－4.
答案：(－∞，－4]
6．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．
解析：由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1.又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.
答案：－1。