【精品提分练习】同步优化探究文数(北师大版)练习：第五章 第三节 等比数列及其前n项和

课时作业 A 组——基础对点练
1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B
2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13
C.19
D ．－19
解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝1
9，
故选C. 答案：C
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10
S 5等于( )
A ．－3
B ．5
C ．－31
D ．33
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218
，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 10
1－q
5＝1＋q 5
＝33，故选D. 答案：D
4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ． 10 C ．9
D ．8
解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m ，所以m ＝10，故选B.
答案：B
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图像上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T n
B ．T n ＝2b n ＋1
C ．T n ＞a n
D ．T n ＜b n ＋1
解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图像上，所以S n ＝3·2n －3，所以a n ＝3·2n
－1
，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －
1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q
＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －
1，T n ＝2n －1，所以T n ＜b n ＋1，故选D. 答案：D
6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．
解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5
，∴q ＝2，∴S 5
＝a 1(1－25
)
1－2
＝－62，
a 1＝－2. 答案：－2
7．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1
3，而0<q <1，所以q
＝13. 答案：13
8．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，
∴a n ＋1－a n ＝3n －
1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋...＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋ (3)
－2
＝1－3n －
11－3
，
∵a 1＝1，∴a n ＝3n －
1＋1
2
.
答案：3n －
1＋12
9．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0，
设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．
解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，
所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列． 故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n ＋1.
(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2n ＋1，n 为偶数，
2n －1，n 为奇数，
设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.
10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝1
2，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.
(1)求证：数列{a n
n }为等比数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a n
n ，
∴{a n n }是以12为首项、1
2为公比的等比数列．
(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为1
2的等比数列，
∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n
2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n
2n ，①
则12S n ＝122＋223＋…＋n
2
n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，
∴S n ＝2－n ＋2
2
n .
B 组——能力提升练
1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12
C ．1或－12
D ．－1或－1
2
解析：当公比q ＝1时， a 1＝a 2＝a 3＝9， ∴S 3＝3×9＝27.
当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q
1－q ，
∴27＝a 1－9q 1－q
∴a 1＝27－18q ，
∴a 3＝a 1q 2， ∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12
.
综上q ＝1或q ＝－1
2.选C.
答案：C
2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12
D ．2
解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 答案：D
3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝( )
A ．(2n －1)2 B.1
3(2n －1) C ．4n －1
D.1
3
(4n －1) 解析：∵S n ＝2n －a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，
∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1.
∴公比q ＝2，a n ＝2n －
1，a 2
n ＝22n －
2＝4n －
1.
则
a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n
－14－1＝13
(4n －1)．
答案：D
4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q ＝( ) A.3
2 B ．－43
C ．－32
D ．－52
解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，
则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中，
∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，
等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项
∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81， 相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，
∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－3
2.
答案：C
5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.
解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－2
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3
2a n －1(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1
b n －1b n .
解析：(1)当n ＝1时，a 1＝3
2a 1－1，∴a 1＝2，
当n ≥2时，∵S n ＝3
2a n －1，①
∴S n －1＝3
2a n －1－1(n ≥2)，②
①－②得a n ＝(32a n －1)－(3
2a n －1－1)，
即a n ＝3a n －1，
∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －
1.
(2)由(1)得b n ＝2log 3a n
2＋1＝2n －1，
∴
1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3
－1
2n －1)＝n －12n －1
. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝
n ＋1
2n a n
(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n
4n －a n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.
解析：(1)由题设得
a n ＋1n ＋1＝12·a n n
，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为1
2的等比数列，
所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n
＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)证明：b n ＝a n 4n －a n
＝4n
2n 4n －4n 2n
＝1
2n －1，
因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －
1，所以b n ≤12n －1.
所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋1
2n －1
＝2⎝⎛⎭⎫1－1
2n <2.。