线面平行、垂直综合练习

1.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面
α平面β=b ，求证//a b ．
2．已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD
的中点，求证：//EF BCD 平面． 证明：连结BD ，在ABD ∆中， ∵,E F 分别是,AB AD 的中点，
∴//EF BD ，EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面，
∴//EF BCD 平面．
3、如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD
的中点.
（I ）求证：AF//平面PEC ；
．解：（I ）如图，设PC 中点为G ，连结FG ， 则FG//CD//AE ，且FG=
2
1
CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，
∴AF//平面PEC
4 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.
证法一：如图9-3-4（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN,因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM ∥AB ∥QN, ∴
AE PE AB PM =,BD BQ DC QN =.∴DC
QN
AB PM =
. ∴PM ∥QN.即四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.
又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ，∴PQ ∥面BCE.
证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC,∴
QK
AQ
QB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，
F
E
D C
B
A
∴
PE
AP
QK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE.∴PQ ∥面BCE.
点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 5 如图1，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
2
1
AP=2，D 为AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、 PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影为点D ，如图2. （I ）求证：AP ∥平面EFG ；
解：由题意，△PCD 折起后PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD=2. （I ）∵E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.
∴EF ∥CD ，EG ∥PB.
又CD ∥AB ∴EF ∥AB ，PB ∩AB = B ，∴平面EFG ∥平面PAB. ∴PA ∥平面EFG .
6.P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 的中点.求证：PC ∥面BDQ.
.证明：如答图9-3-2，连结AC 交BD 于点O .
∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内， 且O Q 是△APC 的中位线，∴PC ∥O Q. ∵PC 在平面BDQ 外，∴PC ∥平面
BDQ.
7.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD.
.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如答图9-3-3， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD.
∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点，
∴EF ∥21
B 1D 1. ∴EF ∥
2
1
BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.
（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,
∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.
而O Q ⊂
平面EFBD ，
∴PA ∥面EFBD.
且PA∩MN =P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.
8 βα//，线段GH 、GD 、HE 交α、β于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若GA=9，AB=12，BH=16，72=∆AEC S ，求BFD S ∆。

α
β
H
C
E
A
G
B
D
F
证明：
FBD
EAC BF AE H HA HE BD AC G GH GD ∠=∠⇒⎭⎬⎫
⇒=⋂⇒=⋂////
AC ∥BD
219==⇒
GB GA BD AC AE ∥
BF 2816
==⇒HA HB AE BF
434773sin 21sin 21
=
⋅=⋅⋅⋅⋅=∆∆B BD BF A
AE AC S S BFD
AEC
∴ 96=BFD S
9 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

求证：MN //平面BCE
证：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作MQ//AB 交BC 于Q
AB QM
AC CM =
MQ NP EF NP BF BN =⇒=
又 ∵ ⇒MQ AB NP //// MQPN
B C E
MN BCE PQ PQ MN 面面////⇒⎭⎬⎫
⊂
10. P 为 ABCD 所在平面外一点，PB E ∈，AC F ∈，且
FA CF
EB PE =
求证：PCD EF 面//
. 证：连BF 交CD 于H ，连PH AB//CD ∴ ABF ∆∽CFH ∆ ∴ FB HF
FA
CF =
在BPH ∆中 FB HF
FA CF EB
PE =
= ∴ PCD
EF PCD PH PCD EF PH EF 面面////⇒⎪⎭⎪
⎬⎫⊂⊄
A
B
F
C
H
D
P E
11三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知：平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c . 求证：a 、b 、c 相交于同一点，或a ∥b ∥c . 证明：∵α∩β＝a ，β∩γ＝b ∴a 、b ⊂β
∴a 、b 相交或a ∥b .
(1)a 、b 相交时，不妨设a ∩b ＝P ，即P ∈a ，P ∈b 而a 、b ⊂β，a ⊂α
∴P ∈β，P ∈α，故P 为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c 由公理2知P ∈c
∴a 、b 、c 都经过点P ，即a 、b 、c 三线共点. (2)当a ∥b 时
∵α∩γ＝c 且a ⊂α，a ⊄γ ∴a ∥c 且a ∥b ∴a ∥b ∥c
故a 、b 、c 两两平行.
12如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF .
求证：EF ∥平面BB 1C 1C.
证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M . ∵AD ∥BC
∴△AFD ∽△MFB
∴
BF
DF
FM AF = 又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ∴DF ＝AE ∴
E
B AE
FM AF 1= ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C
∴EF ∥平面BB 1C 1C.
证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE ∵AD ∥BC
∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得
BA
BH
BD BF = 又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1 ∴
BA
BH
AB E B =
11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ， EH ∩FH ＝H
∴平面FHE ∥平面BB 1C 1C EF ⊂平面FHE ∴EF ∥平面BB 1C 1C
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END 的面积为
m
n (m +p )2
平方单位. 13如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM =DN . 求证:MN ∥平面AA 1B 1B.
分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB 1A 1内找一条直线与MN 平行，除上面的证法外，还可以连CN 并延长交直线BA 于点P ，连B 1P ，就是所找直线，然后再设法证明MN ∥B 1P .
分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN 作一个平面，使此平面与平面ABB 1A 1平行，从而证得MN ∥平面ABB 1A 1.
（本题证明请读者自己完成，本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.）
线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1
AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．
设正方体棱长为a ，则2
2132A O a =，223
4
MO a =． 在Rt △11
AC M 中，2
2194
A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO O M ⊥． ∵OM ∩D
B =O ，∴ 1AO ⊥平面MBD ．
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．
证明：在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．
因为平面P AC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，
AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．
∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ． ∵AD ∩P A =A ，∴BC ⊥平面P AC ．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质
线面垂直−−−→←−−−
判定
性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：
AE SB ⊥，AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ，
∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥．
又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =，
∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，
∴ AH ⊥平面BCD ．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，Array⊥．∴BC⊥平面APC．
∴PA BC
∵BC⊂平面PBC，
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
10如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90︒, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。

求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM
分析:
①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。

要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。

证明:
①∵SA⊥平面ABC
∴SA⊥BC
又∵BC⊥AB, 且AB SA = A
∴BC⊥平面SAB
∵AN⊂平面SAB
∴AN⊥BC
②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB BC = B
∴AN⊥平面SBC
∵SCC平面SBC
∴AN⊥SC
又∵AM⊥SC, 且AM AN = A
∴SC⊥平面ANM
［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
图9—40
（1）求证：AB⊥BC；
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD （1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ， ∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CD
AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ．
∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ． 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．
图9—42
（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值． （1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11
∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ⊂平面MNF ，
∴平面MNF ⊥平面ENF ． （2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影，
∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求得MN=22a ，
NH=33a ，
∴tan ∠MHN=26=
NH
MN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26
．
4．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．
图9—45
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，
又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，
∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，
又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF
21
CD 又AE 21
CD ，
∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD ． （2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC ∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PF
CD
FH =
，设AD=2，∴PF=2，
PC=32482
2
=+=+CD PD ，
∴FH=3623
22=
⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．
【拓展练习】 一、备选题
1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．
2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝21
a ，EC ＝a ．
（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．
（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′
∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，
∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a
．
又DB ＝21
a ，∴PN ＝BD ．
∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′． （2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23a ，
AE ＝2a ．
∴S △ADE ＝21
×AE ×PD ＝21×2
46232a a a =⨯．。