工商线代10-11B(2)

浙江工商大学 2010 / 2011 学年第 2 学期考试试卷B
课程名称： 线性代数(理) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .
一、单项选择题（每小题2分，共10分）
1、设A 是n 阶实对称矩阵，则下列说法正确的是（ ）.
(A)．A 一定有n 个线性无关的特征向量 (B)．A 的特征值一定为正 (C)．A 的任意两个不同的特征向量一定是正交的 (D)．A 一定有n 个不同的特征值
2、设矩阵n m A ⨯的秩为n m A r <=)(,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ). (A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意m 阶子式不等于零
(C) 若矩阵B 满足O BA =,则O B = (D) A 通过初等行变换,必可以化为),(O E m 的形式
3、设3
214214314324321=
D , 4i A 是D 中元素)4,3,2,1(4=i a i 的代数余子式,则
=+++44342414432A A A A ( ).
(A)0 (B)1 ( C)-1 (D)D 4、若n 阶矩阵B A ~,则以下各项不正确的是( )
（A ）)()(B r A r = (B)B A 与有相同的特征值 (C)B A = ( D)B A 与有相同的特征向量
5、齐次线性方程组AX= 0的系数矩阵为n m A ⨯，若n m r A r <<=)(，则下述结论正确的是（ ）.
(A)方程组中独立方程的个数为r n - (B)方程组的通解中自由未知量的个数为r (C)基础解系含有r 个解向量 (D)此方程组有无穷多解 二、填空题（每小题3分，共18分）
1、已知033
32
312322
211312
11
≠=m a a a a a a a a a ,则=+++---23
1322
1221
11133312
32113123
222123323525252a a a a a a a a a a a a a a a . 2、若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k = ____. 3、设A ,B 为3阶方阵,且2=A ,3-=B ,则12-*B A = . 4、设03=A ，则=+-1)(E A _________.
5、设A 为6阶方阵,()5r A =,则=)(*A r ________.
6、二次型32212
3222132122),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定的，
则t 的取值范围是 . 三、计算n 阶行列式 1
1
11111
11111
a a a
a
D ----=. (8分)
四、设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=340012132A ， 且知AX －A=3X ，求矩阵X . (10分)
五、已知向量组⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛--==137********
043
21),,,(4321ααααA
求向量组A 的秩和一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示. (12分)
六、、设 向量组:)3,1,7,2()2,0,4,1(21==αα ),,1,1,0(3a -=α )4,,10,3(b =β . 问: 当b a ,为何值时? (1)β不能被321,,ααα线性表出 .(2)β可被321,,ααα线性表出,
并且表示法唯一.(3)β可被321,,ααα线性表出,且表示法不唯一.并求一般表达式 .(12分)
七、设有二次型
3231212
322213218444),,(x x x x x x bx x ax x x x f +-+++=
经过正交变换化为2
3
222166y y y -+,求b a ,的值和正交变换矩阵P .(14分)
八、设矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---=5334111y x
A ,已知A 有三个线性无关的特征向量,且2=λ是A 的2重特征值. (1)求x,y 的值; (2)求可逆矩阵P,使得AP P 1-为对角矩阵. (10分)
九、证明题 设A 是n m ⨯阶实矩阵,且n A r =)(,证明A A T 是正定矩阵. （6分）。