1_湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)(解析版)

湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)
一、选择题：
1．已知集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，B ＝{（x ，y ）|3x+4y ﹣19＝0}．记集合P ＝A∩B ，则集合P 所表示的轨迹的长度为（ ） A ．8√2
B ．8√3
C ．8√5
D ．8√6
2．已知复数z 满足z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，则z 2019的值为（ ） A ．﹣1
B ．﹣2 2019
C ．1
D ．2 2019
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝5√2sin （B +π4
），c ＝5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ） A ．√2−1
B ．
5√2−56
C ．√2+1
D ．
10−5√2
6
4．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足PA →
+PB →
+PC →
=AB →
，QA →
+QB →
+QC →
=BC →
，RA →
+RB →
+RC →
=CA →
，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．1：5
5．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A ．41π
B ．42π
C ．43π
D ．44π
6．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f （x ）＝a n x n +a n
﹣1
x n ﹣1+…+a 1x+a 0的值的秦九韶算法，即将f （x ）改写成如下形式：f （x ）＝（…（（a n x+a n ﹣1
）x+a n ﹣2）x+…+a 1）x+a 0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一
次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（ ）
A．v＝vx+a i B．v＝v（x+a i）C．v＝a i x+v D．v＝a i（x+v）
7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常
用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）=x(e x−e−x)
x−1
的图象大致是（）A．B．
C．D．
8．中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护．五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）
A ．
√5−14
B ．
(√5−1)2
4
C ．
(√5−1)3
4
D ．
(√5−1)4
4
9．已知函数f （x ）＝e x （x+1）2，令f 1（x ）＝f'（x ），f n+1（x ）＝f n '（x ），若f n （x ）＝e x （a n x 2+b n x+c n ），
记数列{2a n
2c n −b n
}的前n 项和为S n ，则下列选项中与S 2019的值最接近的是（ ）
A ．3
2
B ．5
3
C ．7
4
D ．9
5
10．已知函数f （x ）＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：
①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（π
4，π
2）上单调递减；③当θ∈[2π
3，3π
4]时，有|f （x ）|＜7
5； ④当θ∈[2π
3，3π
4]时，有|f'（x ）|＜145；其中所有真命题的编号是（ ） A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．①④
11．已知双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|．若直线PF 2与双曲线C 只有一个交点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2
B ．√3
C ．√5
D ．√6
12．已知函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7，g （x ）＝lnx ，记h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}，若h （x ）至少有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，−1
10） B ．（1
8，+∞） C ．[−110，1
8）
D ．[−110，1
8]
二、填空题
13．已知x ，y 均为正数，则x+y
2x 2+y 2+6的最大值是 ．
14．在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为 ． 15．已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心．当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为 ．
16．已知函数f （x ）＝2ax 3+（3a ﹣1）x 2+1，当x ∈[0，1]时，f （x ）仅在x ＝1处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题
17．已知数列{a n }的中a 1＝1，a 2＝2，且满足∑n i=1√a +√a =1+
a ．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
(−1)n a 2n+1a n a n+1
，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若|T n +1|＜1
2020，求n 的最小值．
18．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD 且DF =√3．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）若∠ABC ＝∠BCE ，求二面角A ﹣BF ﹣E 的余弦值．
19．已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x ＝﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足EP →
•EF →
=FP →
•FQ →
．（1）求动点P 的轨迹t 的方程； （2）过点F 作两条互相垂直的直线l 和l ，分别交曲线t 于点AB ，和点C ，D ．设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围．
20．已知函数f （x ）＝a （lnx +2
x +2）−e x−1x 2
−1在定义域（0，2）内有两个极值点．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）设x 1和x 2是f （x ）的两个极值点，求证：lnx 1+lnx 2+lna ＞0．
21．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次． 方式二：混合检验，将其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份
为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+1
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0＜p ＜1）．现取其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E （ξ1）＝E （ξ2），试求关于k 的函数关系式P ＝f （k ）；
（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n （n≥2）是不同的正实数，满足x 1＝1
且∀n ∈N *（n≥2）都有
e
−
1
3
∑ n−1i=1x n
2
x i x
i+1
=x n 2−x i 2
x
22−x 1
2
成立．（i ）求证：数列{x n }为等比数列；
（ii ）当P ＝1√x 3
时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份
检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值． （二）选考题：
22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 2
1−t 2
y =t
1−t 2
（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π
3）=√54
．
（1）求曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1
|PA|+1
|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|，x ∈R ． （Ⅰ）求不等式|f （x ）|≤4的解集；
（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，求证：f(x)≤a
b+c +b
c+a +c
a+b ．
湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)解析
一、选择题：
1．集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，
圆的圆心（3+4cosq ，5+4sinq ），半径为2，圆的圆心的轨迹方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣5）2＝16，集合A 的图形是图形中，两个圆的圆环部分，圆心C （3，5）到直线3x+4y ﹣19＝0的距离为：d =
=2，所以，A∩B 就是|MN|＝2√62−22=2√32=8√2．选：A ．
2．设z ＝a+bi （a ，b ∈R ），由z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，得
{a 2+b 2=42a +2=0
，解得a ＝﹣1，b =±√3．∴z =−1±√3i =2(−12±√3
2i)， 而(−1
2−√32
i)3=−18+3×(−1
2)2×(−
√32
i)+3×(−1
2)×(−
√32i)2+(−
√32
i)3=1，
(−1
2+
√32
i)3=−1
8+3×(−1
2)2×
√32
i +3×(−1
2)×(√3
2i)2+(√3
2i)3=1．
∴z 2019=22019⋅(−1
2±
√32
i)2019=22019⋅[(−1
2±
√32
i)3]673=22019．选：D ．
3．a ＝5√2sin （B +π
4），c ＝5，∴a =√2csin （B +π
4）， 由正弦定理可得：sinA =√2sinC•√2
2（sinB+cosB ）， ∴sin （B+C ）＝sinBcosC+cosBsinC ＝sinC•sinB+sinCcosB ， 化为：sinBcosC ＝sinC•sinB ，sinB≠0，
∴cosC ＝sinC ，即tanC ＝1，C ∈（0，π）．∴C =π
4． ∴△ABC 外接圆的半径R =1
2•c
sinC =
5√22
．
如图所示，建立直角坐标系．A （−52
，0），B （52
，0），O （0，5
2
）．
△ABC 外接圆的方程为：x 2+(y −52)2=252
．
设C （5√22
cosθ，52+
5√22sinθ）．θ∈（0，π） 则G (
5√26
cosθ，5
6+
5√26
sinθ)．
|OG|2=(
5√26
cosθ)2+(5
3−
5√26
sinθ)2=
256
−
25√29
sinθ≥
25(6−2√8)
25
， ∴|OG|的最小值为：10−5√2
6
．
故选：D ．
4．由PA →
+PB →
+PC →
=AB →
，得PA →
+PC →
=AB →
−PB →
， 即PA →
+PC →
=AB →
+BP →
，即PA →
+PC →
=AP →
，∴PC →
=2AP →
， P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，
△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1：3；选：B ． 5．由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为1
2×√36+4+1=
√412
，∴该球形容器体积的最小值为：4π×(
√412
)2
=41π．选：A ．
6．秦九韶算法的过程是{v 0=a n
v k =v k−1x +a n−k
（k ＝1，2，…，n ）这个过程用循环结构来实现，
应在题目的空白的执行框内填入v ＝vx+a i ，选：A ． 7．函数的定义域为{x|x≠±1}，f （﹣x ）=
−x(e −x −e x )
x 2−1
=x(e x −e −x )x 2−1
=f （x ），则函数f （x ）是偶函数，
图象关于y 轴对称，排除A ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，排除B ，D ，选：C ． 8．∵sin36°＝cos54°，∴2sin18°cos18°＝4cos 218°﹣3cos18°，化为：4sin 218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°=
√5−14
．不妨设A 2E 2＝1．
根据题意知，△B 1A 1E 2∽△A 1A 2E 2，∴A 2E
2A 1E 2
=A 1E
2A 1B 1
=
√5−12
．∴A 1E 2=
√5+12
，A 1B 1=
3+√52
．
∴S△A
1A2E2=S2=1
2
×1×√5+1
2
×sin72°．
S△A
1A2B1=S2=1
2
⋅A1B1⋅A2B1sin36°．
正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，
S3 S1=(A2E2
A1B1
)2=(√5−1
2
)4．
S△A
1B1E2=S4=1
2
A1B12•sin36°．S3＝5×1
2
(1
2cos54°
)2•sin72°，
∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率=5S2+S3
S1=(√5−1)3
4
．
故选：C．
9．由f（x）＝e x（x+1）2＝e x（x2+2x+1），
得f1（x）＝f′（x）＝e x（x2+4x+3），
f2（x）＝f1'（x）＝e x（x2+6x+7），
f3（x）＝f2'（x）＝e x（x2+8x+13），
…
f n+1（x）＝f n'（x）＝e x[x2+2（n+1）x+（n+1）（n+2）+1]．
又f n（x）＝e x（a n x2+b n x+c n），
∴a n＝1，b n＝2n，c n＝n（n+1）+1．
∴2a n
2c n−b n =2
2n+2
=1
n+1
．
令d n=2a n
2c n−b n =1
n+1
＜1
n
＜1
(n−1)n
=1
n−1
−1
n
（n≥2），
则S2019＝d1+d2+d3+…+d n＜1
2+(1−1
2
)+(1
2
−1
3
)+⋯+(1
n−1
−1
n
)=3
2
−1
n
＜3
2
．
∴与S2019的值最接近的是3
2
．故选：A．
10．①函数的定义域为R，
∵f （﹣x ）＝（cosθ+1）cos2（﹣x ）+cosθ[cos （﹣x ）+1]＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）＝f （x ），
∴f （x ）是偶函数，即①正确；
②f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1， 设t ＝cosx ，则f （t ）＝2（cosθ+1）t 2+tcosθ﹣1， ∵2（cosθ+1）＞0，∴二次函数的开口向上，
函数的对称轴为t =−cosθ
4(cosθ+1)，且t 的正负与cosθ的取值有关， ∴f （x ）在（π4，π
2）上不一定单调递减，即②错误； ③当θ∈[2π
3，3π
4]时，cosθ∈[−
√2
2，−12
]，f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1有|f （x ）|＜7
5；
④当θ∈[2π
3，3π4]时，有|f （x ）|＜145
；
故选：C ．
11．双曲线C ：x 2a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，
且满足|F 1F 2|＝2|OP|．可得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与双曲线C 只有一个交点， 可得PF 2的斜率：−b
a ，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，可得m
n =b
a ，m ﹣n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2， 消去m ，n ，可得：a 2(b−a)2=1，解得
b ＝2a ，即
c 2﹣a 2＝4a 2， 所以双曲线的离心率为：e =c
a =√5． 故选：C ．
12．当a ＝0时，函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7， 化为：f （x ）＝2x 2﹣8x+7，函数的对称轴为x ＝2，
f （2）＝﹣1＜0，f （1）＝1＞0，结合已知条件可知：h （x ）＝min{f （x ），
g （x ）}，若
h （x ）有三个零点，满足题意，排除A 、B 选项， 当a =1
8时，f （x ）=
18x 3﹣（3
8
−2）x 2﹣8x +
3
2+7，f′（x ）=
3x 2+26x−64
8
，
令3x 2+26x ﹣64＝0，解得x ＝2或x =−32
3
，x ∈（﹣∞，−323
），x ∈（2，+∞），f′（x ）＞0，
函数是增函数， x ∈（−
323
，2），f′（x ）＜0，函数是减函数，
所以x ＝2时函数取得极小值，f （2）＝0，所以函数由3个零点，满足题意，排除C ，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）
13．x+y
2x2+y2+6=x+y
2x2+2+y2+4
≤
√22
=x+y
4(x+y)
=1
4
，
当且仅当x＝1，y＝2时，等号成立．
故函数的最大值为1
4
．
故答案为：1
4
14．因为索菲娅特殊，所以优先安排他，分为三类：
i）索菲娅由3个陶俑时，有C43，还有2个彩陶再排列，即共有C43⋅A22=4×2＝8；
ii）索菲娅由2个陶俑时，有C42=6，还有3个彩陶，有2个人，C32⋅A22=3×2＝6，共有6×6＝36；
iv）索菲娅由1个陶俑时有C41=4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有C43⋅A22=4×2＝8，
或2，2分组时，平均分组问题有顺序时C42=6，所以这种情况共有4×（8+6）＝56，综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100．
故答案为：100．
15．当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，
则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（x0
3，y0
3
）所以I的横坐标也为x0
3
，|ON|=x0
3
，
由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，
所以PF1﹣PF2＝（PG+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON=2x0
3
，
而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+x0
3，PF2＝a−x0
3
，
由角平分线的性质可得PF1
PF2=F1M
MF2
=a+
x0
3
a−x0
3
=c+OM
c−OM
，所以可得OM=cx0
3a
，
所以可得MN＝ON﹣OM=x0
3−cx0
3a
=(a−c)x0
3a
，
所以ME＝OE﹣OM＝x0−cx0
3a =(3a−c)x0
3a
，
所以IN
PE =MN
OE
=a−c
3a−c
，即IN=a−c
3a−c
•PE=a−c
3a−c
•y0，
s△PF
1F2=1
2
（PF1+F1F2+PF2）•IN=1
2
F1F2⋅PE，即1
2
（2a+2c）⋅a−c
3a−c
⋅y0=1
2
⋅2c⋅y0，
所以整理为：c
a =1
3
，
故答案为：1
3
．
16．由题意可得，f（1）＞f（0），
所以a＞1
5
，
∵f′（x）＝6ax2+2（3a﹣1）x＝6ax（x−1−3a
3a
）
①当≥1
3
时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[0，1]上单调递增，满足题意；
②1
5＜a＜1
3
时，易得函数在[0，1−3a
3a
）上单调递减，在[1−3a
3a
，1]上单调递增且f（1）＞f（0），
符合题意；
综上，a＞1
5
故答案为：（1
5
，+∞）．三、解答题
17．（1）∵数列{a n}的中a1＝1，a2＝2，且满足∑n i=1
√a+√a =
1+a
．
∴当n≥2时，∑n−1
i=1√a+√a =
√a+√a
，
两式作差整理得a n＝a1+（n﹣1）（a2﹣a1），n≥2，
∴a n ＝n ，n≥2，
当n ＝1时，a 1＝1满足上式，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ．（n ∈N *）． （2）b n =
(−1)n a 2n+1a n a n+1
=
(−1)n (2n+1)n(n+1)
=（﹣1）n （
1
n
+1
n+1）=
(−1)n n
−
(−1)n+1n+1
，
∴数列{b n }的前n 项和： T n ＝（−1
1−1
2）+（1
2−
−1
3
）+（−13−1
4）+…+[(−1)n n
−
(−1)n+1n+1
]＝﹣1−
(−1)n+1n+1
，n ∈N *，
∵|T n +1|＜1
2020，∴|T n +1|=1
n+1＜1
2020，解得n ＞2019． ∴n 的最小值为2020．
18．（1）过点E 作EH ⊥BC ，连接HD ，EH =√3， 因为平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD∩平面BCE ＝BC ， 所以EH ⊥平面ABCD ， 因为FD ⊥ABCD ，FD =√3，
所以FD ∥EH ，FD ＝EH ，故平行四边形EHDF ， 所以EF ∥HD ，
由EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ；
（2）连接HA ，根据题意，AH ⊥BC ，
以H 为原点，HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，√3，0），B （1，0，0），E （0，√3，√3），F （2，√3，√3）， 则BA →
=（﹣1，√3，0），BE →
=（﹣1，0，√3），BF →
=（﹣3，√3，√3）， 设平面BAF 的法向量为m →
=（x ，y ，z ），
{m →
⋅BA →
=−3x +√3y +√3z =0m →⋅BF →=−x +√3y =0，得m →=（√3，1，2）， 设平面BEF 的法向量为n →
=(a ，b ，c)，
由{n →
⋅BE →
=−a +√3c =0
n →⋅BF →=−3a +√3b +√3c =0，得n →=(√3，2，1)，
由cos ＜m →，n →
＞=
3+2+28
=7
8
，
所以二面角A ﹣FB ﹣E 的余弦值为−7
8．
19．（1）根据条件可知EP →=（x+1，y ），EF →=（2，0），FP →=（x ﹣1，y ），FQ →
=（﹣2，y ）， 因为EP →•EF →=FP →•FQ →
．所以2x+2＝﹣2x+2+y 2，即y 2＝4x ， 所以P 的轨迹方程为y 2＝4x ；
（1）设直线AB ：x ＝my+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立{y 2=4x x =my +1，整理得y 2﹣4my ﹣4＝0，且y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，△＝16（m 2+1），
所以M （2m 2+1，2m ），同理，N （2m 2+1，−2m ），所以K （m 2+1m 2+1，m −1
m ）， 所以当k =
m−
1
m m 2+1m
2+1=
m−
1m (m−1m
)2+3
=
1
m−1m +3m−
1
m
，
令t ＝m −1m ≠0，则k =
1t+
3t
，
当t ＜0时，t +3t =−（﹣t −3
t ）≤﹣2√3，当且仅当t =−√3时取等号， 当t ＞0时，t +3
t ≥2√3，当且仅当t =√3时取等号， 则k =
1
t+3t
∈[−
√36，0）∪（0，√36
]． 20．（1）函数f （x ）的定义域为（0，2），f′(x)=(e x−1−ax)(2−x)
x 3
，记g （x ）＝e x ﹣1﹣ax ，则g′
（x ）＝e x ﹣1﹣a ，
①当a ≤1
e 时，g′（x ）＞0，
故g （x ）在（0，2）上单增，则g （x ）至多有一个零点，不合题意； ②当a ＞1
e 时，令g′（x ）＝0得x ＝1+lna ， （i ）当1+lna ＜2且g （2）＞0，即1
e ＜a ＜e
2时，
g （x ）在（0，1+lna ）上单减，在（1+lna ，2）上单增， 此时需g （x ）min ＝g （1+lna ）＝﹣alna ＜0，解得a ＞1， 注意到g （0）＞0，
故由零点存在性定理可知，g （x ）在（0，1+lna ）及（1+lna ，2）上各有一个零点； （iii ）当1+lna≥2，即a≥e 时，g （x ）在（0，2）上单减，则g （x ）至多有一个零点，不合题意；
综上，实数a 的取值范围为(1，e
2)； （2）证明：不妨设0＜x 1＜1+lna ＜x 2＜2，
由题意得，{e x 1−1−ax 1=0e x 2−1−ax 2=0，两边同时取自然对数得{x 1−lnx 1=1+lna
x 2−lnx 2=1+lna ，
要证lnx 1+lnx 2+lna ＞0，只需证x 1+x 2＞2+lna ，即证x 1＞1﹣lnx 2，
由上可知，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，则证明g （1﹣lnx 2）＞g （x 1）＝0即可， 有e −lnx 2−
e x 2−1x 2
(1−lnx 2)＞0，化简后即证明lnx 2+e 1−x 2＞1即可，
构造函数h （x ）＝lnx+e 1﹣x ，x ∈（1+lna ，2），则h′(x)=1
x −1
e ，注意到不等式e x ﹣1＞x （x ＞0），
则h′（x ）＞0在（1+lna ，2）恒成立，
即h （x ＞h （1+lna ）＞h （1）＝1，故求证成立．
21．（1）由已知可得E （ξ1）＝k ，ξ2的所有取值为1，k+1，P （ξ2＝1）＝（1﹣p ）k ，P （ξ2
＝k+1）＝1﹣（1﹣p ）k ，
E （ξ2）＝（1﹣p ）k +（k+1）[1﹣（1﹣p ）k ]＝k+1﹣k （1﹣p ）k ， 由E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＝k+1﹣k （1﹣p ）k ，即（1﹣p ）k =1
k
，即
1﹣p ＝（1
k ）
1k
，
即p ＝1﹣（1
k ）
1
k
，
可得f （k ）＝1﹣（1
k ）
1k
，k ∈N*，k≥2；
（2）（i ）证明：当n ＝2时，e −
13
•x 22
x
1x 2
=x 22−x 12
x
22−x 1
2
=1，即x 2
x 1
=e
13
，
可令q =x 2
x 1
=e
13
＞0，则q≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝e
n−13
，
①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13
，下面证明n ＝k+1时，x k+1
＝e
k 3
，
由题意可得e −
13
•∑
k
i=1x k+12x i x
i+1
=
x k+12−x 12x 2−x 1，则e
−
13
•x k+12（
1x 1x 2
+
1x 2x 3
+⋯+
1x k−1x k
+
1x k x k+1
）
=
x k+12−1
e 23−1
，
则e −
13
•x k+12{e −1
3[1−(e −2
3)
k−1]1−e −2
3+
1
e k−1
3⋅x k+1}=
x k+12−1
e 23−1
，
x k+12(1−e
−
2(k−1)3)
e 23−1
+e
−
k 3
•x k+1=
x k+12−1
e 23−1
，
e
−
2(k−1)3
•x k+12{+（e
−
k 3
−e
−k 3+
23
）x k+1﹣1＝0，即（e
−
k 3
•x k+1﹣1）（e −k 3+
23
•x k+1+1）＝0，
可得x k+1＝e k 3
或x k+1＝﹣e k−23
（舍去），即x k+1＝e
k 3
成立，
由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝e n−1
3
；
（ii ）由（i ）可知p ＝1√x 3=1√e
3，E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＞k+1﹣k （1﹣p ）k ，即1
k ＜（1
﹣p ）k ＝（√e 3）k ，
所以lnk ＞13k ，设f （x ）＝lnx −13x ，x ＞0，f′（x ）=3−x 3x
，当x≥3时，f′（x ）＜0，f （x ）
递减，又ln 4≈1.3863，4
3≈1.3333，则ln4＞4
3；
ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5＜5
3，可得k 的最大值为4．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（1）曲线C 的参数方程为{x =1+t 2
1−t 2
y =t
1−t 2
（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π
3）=
√5
4
．转化为直角坐标方程为：1
2x −√32y =
√54
．
（2）由于直线与x 轴的交点坐标为（√52，0），所以直线的参数方程为{x =√52
+
√3
2
t y =1
2t
（t
为参数），
代入x 2﹣4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1•t 2＝﹣1， 则：1
|PA|+1
|PB|=
|t 1−t 2||t 1t 2|
=
√(t 1+t 2)2−4t 1t 2
|t 1t 2|
=8．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|={
x +2，x ≤−1
2−3x ，−12＜x ＜1−x −2，x ≥1，画出f （x ）的图象如图所示；
所以f （x ）在区间（﹣∞，−1
2）内单调递增，在区间（−1
2，+∞）内单调递减； 对应f （x ）的最大值为f （−1
2）=3
2≤4， 且f （﹣6）＝﹣4，f （2）＝4，
所以不等式|f （x ）|≤4的解集为{x|﹣6≤x≤2}； （Ⅱ）证明：因为a ，b ，c 为正数，则
a
b+c
+b
a+c +c
a+b =（a+b+c ）（1
b+c +1
c+a +1
a+b ）﹣3 =1
2[（b+c ）+（c+a ）+（a+b ）]（1
b+c +1
c+a +1
a+b ）﹣3 ≥12（1+1+1）2﹣3
=32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”； 又f （x ）的最大值为3
2， 所以f(x)≤
a b+c
+
b c+a
+
c
a+b
．。