《高考真题》专题17 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题17 解三角形综合
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =
【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 故由正弦定理得222b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==．
因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，
(
)
sin 1202sin A C C ︒
+-=，
即
1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602
C ︒+=-
．
由于0120C ︒︒<<，所以()
sin 602
C ︒+=
，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-
()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+
=
．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，
5BD =.
（1）求cos ADB ∠；
（2）若DC =BC .
【答案】（1）
5
；（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠. 由题设知，
52
sin 45sin ADB
=︒∠，
所以sin ADB ∠=
. 由题设知，90ADB ∠<︒，
所以cos ADB ∠==
（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠
25825=+-⨯⨯25=.
所以5BC =.
【名师点睛】求解此类问题的突破口：
一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；
二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC
△的面积为
2
3sin a A
. （1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.
【答案】（1）
2
3
；（2）3+【解析】（1）由题设得2
1sin 23sin a ac B A
=，即1sin 23sin a c B A =
. 由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A
C B A =
. 故2
sin sin 3
B C =.
（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2
B C +=-. 所以2π
3
B C +=， 故π3
A =
. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=，即8bc =.
由余弦定理得229b c bc +-=，即2
()39b c bc +-=，得b c +=.
故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
【命题意图】
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
（3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象. 【命题规律】
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 常见的命题角度有：
（1）直接利用正、余弦定理解三角形； （2）与三角形面积有关的问题； （3）三角形形状的判断；
（4）解三角形与三角恒等变换相结合． 【答题模板】
解答此类题目，一般考虑如下四步：
第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向. 第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步，求结果.
第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【方法总结】
（一）利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222
A B C
+=-等．
（2）三角形中的三角函数关系：
i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；
sin
cos 22A B C +=； cos sin 22
A B C
+=. （二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. （三）求三角形面积的方法
（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． （四）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． （五）三角形中的综合问题
（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正
弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22
,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过
基本不等式考查相关范围问题.
（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
1．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】已知△ABC 中，π
4
A =，3cos 5
B =，8A
C =.
（1）求△ABC 的面积； （2）求AB 边上的中线CD 的长. 【答案】（1）28；（2
）2
CD =
. 【解析】（1）
3
cos ,5B =且(0,π)B ∈，
∴4sin 5
B ==．
sin sin(π)sin()C A B A B ∴=--=
+34sin cos cos sin 252510
A B A B =+=
+⨯=
. 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB
B C
=
，即84510
=
解得AB = 所以△ABC
的面积为11sin 82822S AB AC A =
⋅⋅=⨯=. （2）在△ACD
中，2
AD =， 所以由余弦定理得
22265
8282
CD =+-⨯⨯=
，
所以CD =
． 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查了同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题.
（1）由3cos 5B =
即可求得4sin 5B =，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得sin C =
利用正弦定理即可求得AB =. （2）在△ACD 中，由余弦定理列方程即可得解.
2．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学试题】已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别
为,,a b c ，且sin cos sin cos b A C c A B +=. （1）求sin A ；
（2）若a =，4b =，求c .
【答案】（1）sin A =
；（2）1c =.
【解析】（1）因为sin cos sin cos 4
b A C
c A B +=
，
所以由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=， 因为sin 0A ≠，
所以sin cos sin cos B C C B +=
所以sin()B C +=
，
所以sin(π)A -=
，
所以sin A =
． （2）解法一：
因为V ABC 为锐角三角形，
所以A 为锐角，
因为sin A =， 所以1cos 4
A =
．
因为a =，4b =，
所以由余弦定理得(2
221
4244
c c =+-⨯⨯⨯，
所以2220c c --=，
所以1c =. 解法二：
因为V ABC 为锐角三角形， 所以A ，B 为锐角，
因为a =，4b =，
所以由正弦定理得4sin sin 6b A B a ⨯
===，
所以cos B =
因为sin A =， 所以1cos 4
A =
． 所以sin sin[π()]C A B =-+sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=
+=，
由正弦定理得sin 1sin a C
c A
=
=. 【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题. （1
）由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=
，进而sin()B C +=，则sin A 可求；
（2）解法一：由余弦定理得c 的方程求解即可；解法二：由正弦定理得sin sin b A B a =
=
得sin sin[π()]C A B =-+1)
24
=
，再利用正弦定理得c 即可.
3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学试题】在V ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos sin sin sin .C B A A C -=- （1）求角B 的大小；
（2）若V ABC 的面积为b =，求a c +的值. 【答案】（1）
π
3
；（2）7. 【解析】（1）2222222c cos 1sin 1sin sin si os n sin sin sin C B C B B C A A C -=--+=-=-， 由正弦定理得：222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，
2221cos 22
a c
b B a
c +-∴==，
()0,πB ∈，
π3B ∴=
.
（2）
11πsin sin 2234
S ac B ac ac =
===， 12ac ∴=，
由余弦定理可得：()()2
2
2
2
2
π2cos 22cos
36133
b a
c ac B a c ac ac a c =+-=+--=+-=， 即()2
49a c +=，
7a c ∴+=.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型. （1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为222a c b ac +-=；利用余弦定理可求得
cos B ，从而得到B ；
（2）利用三角形面积公式可求得ac ；利用余弦定理可构造关于a c +的方程，解方程求得结果. 4．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos B
C B
=
-．
（1）求证：△ABC 为等腰三角形；
（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2
b ac
的值．
【答案】（1）见解析；（2）2+. 【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =
-得：sin sin cos 1cos C B C B
=-，
则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，
πA B C ++=，
()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=， sin sin C A ∴=，
由正弦定理可知：c a =，
∴△ABC 为等腰三角形.
（2）由题意得：2
211sin sin 224
a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，
△ABC 为钝角三角形，且a c =，
B ∴为钝角，
cos 2
B ∴=-
由余弦定理得：(2
2
2
2
2
2
2cos 22b a c ac B a a =+-==+，
22
22b b ac a
∴==+【名师点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及两角和正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.
（1）将正切化弦，结合两角和正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为
sin sin C A =，再由正弦定理可得到结论；
（2）利用三角形面积公式可求得1
sin 2
B =
；根据三角形为钝角三角形且（1）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果.
5．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】在△ABC 中，角,,A B C 所对
的边分别为,,a b c ，满足cos cos cos cos C A B A B +=． （1）求cos B 的值；
（2）若2a c +=，求b 的取值范围.
【答案】（1）1
3；（2）23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
.
【解析】（1）因为cos cos cos cos C A B A B +=，
所以cos()cos cos cos A B A B A B -++=，即sin sin cos A B A B =， 因为sin 0A ≠，
所以sin 0B B =>， 又因为22sin cos 1B B +=， 解得：1
cos 3
B =
. （2）∵2a c +=，可得2c a =-，
由余弦定理可得：
22222
22cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-222284
(2)(2)(1)333
a a a a a =+---=-+，
∵02a <<，
2b ≤<，
∴b 的取值范围为2⎫
⎪⎪⎣⎭
. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，
可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值． （2）由（1）可求1cos 3B =
，又由2a c +=，利用余弦定理可得22
84(1)33
b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围．
6．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】在△ABC 中，A
B C ，，的对边分别为a b c ，，，
60,cos A B ︒==
（1）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求
DC
BD
的值； （2）若 cos cos 2c B b C +=，求△ABC 的面积. 【答案】（1
）4；（2
【解析】（1
）因为cos 3
B =
，
所以sin B =
， (
)13sin sin sin cos cos sin 23236
C A B A B A B =+=+=
+⨯=
， 由正弦定理得
sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC
CAD
∠， 因为AD 平分BAC ∠，
所以
sin 4sin DC B
BD C ===. （2）由cos cos 2c B b C +=，得222222
cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab
+-+-+=⋅+⋅==，
所以由
sin sin a b A B =
，得sin sin 3
a B
b A ==
故11sin 2223△ABC S ab C =
=⨯⨯=
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题. （1）根据正弦定理可得
sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD ∠，从而sin sin DC B
BD C
=，根据条件求出sin ,sin B C 即可；
（2）由余弦定理化简条件 cos cos 2c B b C +=可得2a =，利用正弦定理及三角形面积公式
1
sin 2
△ABC S ab C =
即可求解. 7．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，
C 的对应边，点
D 为边BC 的中点，△ABC 的面积为
2
2sin AD B
. （1）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；
（2）若2BD AB =，AD =b .
【答案】（1）
1
2
；（2）b =【解析】（1）由△ABC 的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：△ABD 的面积为2
4sin AD B ，
由三角形的面积公式可知2
1sin 24sin AD AB BD B B
⋅⋅=，
由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=， 所以1
sin sin 2
BAD BDA ∠⋅∠=. （2）因为2BD AB =，
所以在△ABD 中，由正弦定理可得sin sin BD AB
BAD BDA
=∠∠，
所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠， 由（1）可知1sin sin 2
BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2
BDA ∠=， 因为(0,π)BAD ∠∈， 所以π2
BAD ∠=
，
在直角△ABD 中，AD =1sin 2
BDA ∠=
， 所以2BD =，1AB =. 因为2BC BD =， 所以4BC =，
在△ABC 中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1
116214132
=+-⨯⨯⨯
=，
所以b =.
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力. 8．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin 2sin 3sin A B C +=，3sin a A =. （1）求△ABC 外接圆的面积； （2）求边c 的最大值.
【答案】（1）
9
π4
；（2. 【解析】（1）设△ABC 外接圆的半径为R ， 由3sin a A =，利用正弦定理可得23sin a R A ==，解得3
2
R =， 所以外接圆的面积为2
9ππ4
S R ==
. （2）由222sin 2sin 3sin A B C +=及正弦定理可得22223a b c +=，
由余弦定理，得2
2
2
2
23(2cos )a b a b ab C +=+-，
整理得226cos 2ab C a b =+，即cos 363
a b C b a =
+≥=
，
则sin 3
C ==
，当且仅当
b =时取等号，
由正弦定理得2sin 3sin c R C C ==≤
所以边长c .
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. （1）由题意，利用正弦定理可得23sin a R A =
=，解得3
2
R =，即可求解外接圆的面积；
（2）由2
22
23a b c
+=及余弦定理，整理得226cos 2ab C a b =+，利用基本不等式求得cos 3
C ≥
，
进而得到sin C ≤
，再由正弦定理，即可求解边长c 的最大值. 9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题】如图，△ABC 中，D 为BC 的
中点，AB =4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求△BCE 的面积. 【答案】（1）10；（2）
60
7
. 【解析】（1）因为D 在边BC 上， 所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，
在△ADB 和△ADC 中，由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⨯⨯，
因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =， 所以229529160BD BD +-++-=， 所以225BD =，即5BD =. 所以边BC 的长为10.
（2）由（1）知△ADC 为直角三角形， 所以1
4362
△ADC S =
⨯⨯=，212△△ABC ADC S S ==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，
所以
1
sin 21sin 2
△△ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ⨯⨯∠=⨯⨯∠42
105
AC BC ===. 所以25△△△△△ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S =+=+7
125△BCE S ==，
所以60
7
△BCE S =，即△BCE 的面积为607. 【名师点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，
角平分线的性质在解三角形中的综合应用，
考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
（1）由题意可得cos ∠ADB ＝﹣cos ∠ADC ，由已知利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2
﹣16＝0，进
而解得BC 的值．
（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1
432
=
⨯⨯=6，S △ABC ＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得
2
5
△△ACE BCE S S =，根据S △ABC ＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值． 10．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知△ABC 中
2π
3
ACB ∠=
，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 周长的最大值． 【答案】（1）7c =；（2
）2. 【解析】（1）
,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，
2b a c b ∴-=-=， 2b c ∴=-，4a c =-，
2π
3
ACB ∠=
， ∴由余弦定理得：
()()()()
22
2
222
422π1
cos
322242
c c c a b c ab
c c -+--+-===---，
整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c =， 又40a c =->，则4c >，
7c ∴=.
（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2ππR =，解得：1R =， 由正弦定理可得：
22sin sin sin a b c
R A B C
====， 2
2ππsin sin sin 33b
a c
∴
===⎛⎫- ⎪
⎝⎭
θ
θ， 可得：2sin b θ=，2sin π3a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
θ
，c =，
∴△ABC 的周长()π2sin 2sin 3f a b c ⎛⎫
=++=+-+
⎪⎝⎭
θθθππ
2sin 2sin cos 2cos sin 33=+-θθθ
sin =++θθπ
2sin 3⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭θ又π0,
3⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
θ， ππ2π333
∴<+<θ， ∴
当ππ32+=θ，即6
π
=θ时，()f θ取得最大值2.
∴△ABC 周长的最大值为2.
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；
（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()f
θ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.
11．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知向量()sin ,cos ,x x =a =
b )
,cos x x (),f x =⋅a b .
（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；
（2）在△ABC 中，3sin BC B C =
=，若()1f A =，求△ABC 的周长.
【答案】（1）π；（2）4+
【解析】（1）()2
cos cos f x x x x =+11
cos222
x x =
++，
所以()π1sin 262
f x x ⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T ==. （2）由题意可得π1sin 262
A ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， 又0πA <<，
所以
ππ13π2666
A <+<， 所以π5π
2=66A +，
故π3
A =.
设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则2222cos a b c bc A =+-. 所以2227a b c bc =+-=， 又sin 3sin B C =， 所以3b c =，
故222793c c c =+-，解得1c =. 所以3,b =
故△ABC 的周长为4【名师点睛】本题考查正余弦定理、辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查计算化简的能力，属基础题.
（1）由向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得()π1
sin 262
f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，代入公式即可求得最小正周期. （2）由()1f A =，可得π
3
A =，结合正弦、余弦定理，可求得b ，c 的值，即可求解周长.。