2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第九章第5讲 椭 圆 Word版含解析

第5讲 椭 圆
一、选择题
1.椭圆x 2m ＋y 2
4＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5
B.3
C.5或3
D.8
解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 C
2.“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 2
6－m ＝1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x 2m －2＋y 2
6－m ＝1表示椭圆.
则有⎩⎪⎨⎪
⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，
∴2<m <6且m ≠4.
故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件.
答案 B
3.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36
B.13
C.12
D.33
解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c
2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|
＝3
3.故选D.
答案 D
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1
2，E 的右焦点与抛
物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A.3
B.6
C.9
D.12
解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×12
4＝6.故选B.
答案 B
5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b
a 的值为( ) A.32
B.233
C.932
D.2327
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 2
2＝1，
即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 2
2)，by 21－by 2
2
ax 21－ax 2
2
＝－1， b （y 1－y 2）（y 1＋y 2）a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－1，∴b a ×(－1)×3
2＝－1，
∴b a ＝23
3，故选B. 答案 B 二、填空题
6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.
解析
由题意知⎩⎨⎧2c ＝8，c a ＝0.8，解得⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝5，
c ＝4，
又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.
当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 2
9＝1，
当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 2
9＝1. 答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2
9＝1
7.(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.
则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22
＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3，0)或(3，0). 答案 (－3，0)或(3，0)
8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝
c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________.
解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2
＝b 2
－b 2a 2x 2
代入①式解得
x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，
又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
33，22.
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
33，22
三、解答题
9.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c ，b 2a ，2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去).故C 的离心率为1
2. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2
a ＝4，即
b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2（－
c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－32c .y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.②
将①及c ＝a 2
－b 2
代入②得9（a 2－4a ）4a 2
＋1
4a ＝1.
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.
10.(2017·兴义月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.
解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧6a 2＋2
b 2＝1，
c a ＝63，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.
故椭圆C 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，
则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3
4m ，14m . 因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，
即PD 的斜率k ＝
2－m
4
－3＋3m 4
＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，
则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32
， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝9
2.
11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥45
5，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，55
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，
255 C.⎝
⎛⎦⎥⎤0，
355
D.⎝
⎛⎦⎥⎤0，
455 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥45
5， 解得d 2≤16
5.又因为d ＝
21＋k 2
，所以
11＋k 2≤45
，
解得k 2≥1
4.
于是e 2
＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k
2，所以0＜e 2
≤45，解得0＜e ≤255.故选B. 答案 B
12.椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________. 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①
∵y 2
＝1－x 24，代入①得x 2
－3＋1－x 24<0，
即34x 2<2，∴x 2<83.
解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
263，263. 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
263，263 13.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b
2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.
解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，∴BF
→＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
c －32a ，－b 2，
由∠BFC ＝90°，可得BF
→·CF →＝0，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22
＝0，
c 2－34a 2＋1
4b 2＝0， 即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0， ∴3c 2＝2a 2.
所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63. 答案 6
3
14.(2017·沈阳质监)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点. (1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k ＝2
4，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；
(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围.
解 (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝25，b 2＝16.
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，
y ＝24x ，
得⎝ ⎛
⎭
⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2＋18a 2
，
由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2， 因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，
所以F 2A →·F 2B →
＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，
所以有－a 2b 2
b 2＋18a 2＝－8，
结合b 2＋9＝a 2， 解得a 2＝12，∴e ＝3
2.
法二 设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，
所以x 21＋y 2
1＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 2
1＝9，
y 1
＝24x 1
，
x 2
1a 2
＋y 21b 2
＝1.
由前两个方程解得x 21＝8，y 2
1＝1，
将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝3
2.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 2
3＝1，
由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 2
1
x 20－x 21，
又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
012－3⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21
＝－14. 即k 2＝－14k 1
，
由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜1
4. 故直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
18，14.。