高中数学：第三章 直线与方程 (23)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案:- 1 4
3-2:与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) (A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0
解析:由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可 设所求直线方程为2x+3y+C=0.在直线2x+3y-6=0上任取一点(3,0), 关于点(1,-1)对称点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(1)+3 ×(-2)+C=0,C=8.所以所求直线方程为2x+3y+8=0.故选D.
③直线l上任意一点M到P,P′的距离相等,即|MP|=|MP'|.
(2)常见的点关于直线的对称点:
①点P(x0,y0)关于x轴的对称点P′(x0,-y0); ②点P(x0,y0)关于y轴的对称点P′(-x0,y0); ③点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P′(y0,x0); ④点P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P′(-y0,-x0); ⑤点P(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点P′(2m-x0,y0); ⑥点P(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点P′(x0,2n-y0).
1 (3) 2
3 (3) 3
则 kAC·kAB=-1,所以 AC⊥AB.
又|AC|= (1 3)2 (7 1)2 =2 13 ,
|AB|= (3 3)2 (3 1)2 =2 13 ,
所以|AC|=|AB|. 所以△ABC 是等腰直角三角形.
题型三 对称问题 【例3】已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
方法技巧 两条直线相交的判定方法
方法一 方法二 方法三
联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交 两直线斜率都存在且斜率不等 两直线的斜率一个存在,另一个不存在
即时训练1-1:(1)已知点A(0,-1),直线AB与直线x-y+1=0垂直,垂足为B,则 点B的坐标是( ) (A)(-1,0) (B)(1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1)
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
课标要求:1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应 关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.3.掌握两点间 距离公式并能灵活应用.
自主学习
知识探究
1.根据方程组的解判断两条直线的位置关系 方程组的解的组数与两条直线的位置关系如下表:
自我检测(教师备用)
1.直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( C ) (A)-24 (B)6 (C)±6 (D)-6 2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P'(x',y'),则线段 PP'的中点 M 在直 线 l 上,且直线 PP'垂直于直线 l,
即
y 2
y x
5
5 4
3 3
x 2
1,
4
3,
解得
x
y
2, 7.
所以 P'的坐标为(-2,7).
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
(1)
5x 2x
4y 2 0, y 2 0;
解:(1)解方程组
5x 2x
4y 2 0, y 2 0,
得该方程组有唯一解
x y
10 3
14 . 3
,
所以两直线相交,且交点坐标为(- 10 , 14 ). 33
2x 6 y 3 0,
(2)
y
1 3
x
1 2
;
(3)
解:法一 因为|AB|= (3 3)2 (3 1)2 =2 13 ,
|AC|= (1 3)2 (7 1)2 =2 13 ,
又|BC|= (1 3)2 (7 3)2 =2 26 , 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, 所以△ABC 是等腰直角三角形.
法二 因为 kAC= 7 1 = 3 ,kAB= 3 1 =- 2 ,
(x 1)2 (0 2)2 = (x 2)2 (0 7)2 ,
即 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1. 所以,所求 P 点坐标为(1,0),
|PA|= (11)2 (0 2)2 =2 2 .
2-2:已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
解:如图,设 BC 的中点为 M(x,y),
则 x= 2 4 =1,y= 1 7 =3,即 M(1,3),
2
2
则 AM= [1 (1)]2 (3 5)2 =2 2 .
lAM: y 3 = x 1 ,即 x+y-4=0. 5 3 11
变式探究:若△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(m,7),当m为何值 时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形?
解析:(1)易得过 A(0,-1)且与 x-y+1=0 垂直的直线方程为 x+y+1=0,
由
x x
y y
1 1
0, 0
得
x
y
1, 0.
故选 A.
答案:(1)A
(2)已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5相交于一点,则k的值
为
.
解析:(2)由
x 2y 1, 2x ky 3
答案:二
变式探究2:本例(1)中的直线改为l1:5x+4y=8+m,l2:3x+2y=6,若l1与l2的交 点在第一象限,求实数m的取值范围.
解:由
5x 3x
4y 2y
8 6
m,
得
x y
4 m, 3m 6
2
.
4 m 0,
由题意知
3m 2
6
0
得
2<m<4.
所以实数 m 的取值范围是(2,4).
得
x y
k k
k
1
6 4
4
, 将
，
x y
k k
k
1
6 4
4
,
代入
3kx+4y=5,
得 3k· k 6 +4· 1 =5,得 k=1 或 k=- 16 .
k4
k4
3
答案:(2)1 或- 16 3
题型二 两点间距离公式的应用 【例2】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的 中线AM的长和AM所在的直线方程.
x0 , y0 ,
即点
P'(2a-x0,2b-y0).
2
特别地,点 P 关于坐标原点 O 的对称点为 P'(-x0,-y0).
6.点关于直线对称
(1)若点P关于直线l的对称点为P′,则直线l为线段PP′的垂直平分线,于
是有
①kPP'·kl=-1(直线l的斜率存在且不为零); ②线段PP'的中点在直线l上;
3.直线y=3x-4关于点P(2,-1)对称的直线l的方程是( A ) (A)y=3x-10 (B)y=3x-18 (C)y=3x+4 (D)y=4x+3
解析:在直线上任取两点A(1,-1),B(0,-4),则其关于点P的对称点A',B' 可由 中点坐标公 式求得为 A'(3,-1),B'(4,2).由两点式 可求得方程 为 y=3x-10.故选A.
方程组无解,所以两直线无公共点,即两直线平行.
变式探究1:本例(1)改为:当m>4时,直线5x+4y=8+m和3x+2y=6的交点在第 象限.
解析:由
5x 3x
4y 2y
8 m, 6，
得
x
y
4 m, 3m 6
2
.
当
m>4
时,4-m<0,
3m 6 >0,所以 2
两直线的交点在第二象限.
即时训练3-1:若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b= .
解析:kAB= 3 1 = 2 , 1 (2) 3
故 k=- 3 ,AB 的中点 ( 1 , 2) 在 y=kx+b 上.
2
2
所以 2=- 3 × ( 1 ) +b,b= 5 .
2
2
4
故 k+b= 5 - 3 =- 1 . 42 4
平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2 y2 . 4.对两点间的距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关,即公式可以改写为|P1P2|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . (2)公式的特殊形式:①当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|y1-y2|;②当P1P2⊥y轴时,|P1P2|= |x1-x2|.
方法技巧 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条 件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的 方程或方程组求解. (2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长 相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.
即时训练2-1:已知点A(-1,2),B(2, 7 ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并 求|PA|的值. 解:设所求点 P(x,0), 于是由|PA|=|PB|得
解:要使△ABC是以A为直角顶点的直角三角形, 则有AB2+AC2=BC2. AB2=(-2+1)2+(-1-5)2=37, AC2=(m+1)2+4=m2+2m+5, BC2=(m+2)2+64=m2+4m+68, 所以m2+2m+5+37=m2+4m+68, 从而m=-13. 即当m=-13时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
解:(2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l1 上任一点 P1(x1,y1) 关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立.
即
y1
y1 x1
2
y2
y2 x2
3 x1 2
3 1,
x2
3,
解得x1y14 5x23 5
y2
9 5
5.点关于点对称 点关于点对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础,一般用 中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 设点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P′(x,y),则点 M 为线段 PP′的中点,于
是有
x0 y0
2
x y
a, b,
所以
x y
2a 2b
点击进入 课时作业 点击进入 周练卷
,
3 5
x2
4 5
y2
3 5
,
把(x1,y1)代入 y=x-2,整理得 7x2+y2+22=0, 所以 l2 的方程为 7x+y+22=0.
方法技巧 在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的 对称,处理这类问题要抓住两点:一是过已知点与对称点的直线与对称轴 垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.
4.不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐
标为
.
答案:(3,4)
5.已知点A(5,12),若P点在x轴上,且|PA|=13,则P到原点的距离为
.
答案:10或0
课堂探究
题型一 两条直线的交点问题
【例1】判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标.
方程组
A1x A2 x
B1y C1=0，的解 B2 y C2 =0
直线 l1 和 l2 的公共点个数
直线 l1 和 l2 的位置关系
一组
一个 相交
无数组
无数个 重合
无解
零个 平行
2.过两条直线交点的直线系方程 过两条直线l1,l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ为参数. 在这个方程中,不论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,即它不能表示直线l2. 3.两点间的距离公式
2x 6 y 0,
y
1 3
x
1 2
.
2x 6 y 3 0,①
解:(2)解方程组
y
1 3
x
1 2
,
②
②×6 得 2x-6y+3=0,因此①和②可以化成同一个方程,即①和②有无数组
解,所以两直线重合.
2x 6 y 0,①
(3)解方程组
y
1 3
x
1 2
,②
②×6-①得
3=0,矛盾.
3-2:与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) (A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0
解析:由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可 设所求直线方程为2x+3y+C=0.在直线2x+3y-6=0上任取一点(3,0), 关于点(1,-1)对称点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(1)+3 ×(-2)+C=0,C=8.所以所求直线方程为2x+3y+8=0.故选D.
③直线l上任意一点M到P,P′的距离相等,即|MP|=|MP'|.
(2)常见的点关于直线的对称点:
①点P(x0,y0)关于x轴的对称点P′(x0,-y0); ②点P(x0,y0)关于y轴的对称点P′(-x0,y0); ③点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P′(y0,x0); ④点P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P′(-y0,-x0); ⑤点P(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点P′(2m-x0,y0); ⑥点P(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点P′(x0,2n-y0).
1 (3) 2
3 (3) 3
则 kAC·kAB=-1,所以 AC⊥AB.
又|AC|= (1 3)2 (7 1)2 =2 13 ,
|AB|= (3 3)2 (3 1)2 =2 13 ,
所以|AC|=|AB|. 所以△ABC 是等腰直角三角形.
题型三 对称问题 【例3】已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
方法技巧 两条直线相交的判定方法
方法一 方法二 方法三
联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交 两直线斜率都存在且斜率不等 两直线的斜率一个存在,另一个不存在
即时训练1-1:(1)已知点A(0,-1),直线AB与直线x-y+1=0垂直,垂足为B,则 点B的坐标是( ) (A)(-1,0) (B)(1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1)
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
课标要求:1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应 关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.3.掌握两点间 距离公式并能灵活应用.
自主学习
知识探究
1.根据方程组的解判断两条直线的位置关系 方程组的解的组数与两条直线的位置关系如下表:
自我检测(教师备用)
1.直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( C ) (A)-24 (B)6 (C)±6 (D)-6 2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P'(x',y'),则线段 PP'的中点 M 在直 线 l 上,且直线 PP'垂直于直线 l,
即
y 2
y x
5
5 4
3 3
x 2
1,
4
3,
解得
x
y
2, 7.
所以 P'的坐标为(-2,7).
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
(1)
5x 2x
4y 2 0, y 2 0;
解:(1)解方程组
5x 2x
4y 2 0, y 2 0,
得该方程组有唯一解
x y
10 3
14 . 3
,
所以两直线相交,且交点坐标为(- 10 , 14 ). 33
2x 6 y 3 0,
(2)
y
1 3
x
1 2
;
(3)
解:法一 因为|AB|= (3 3)2 (3 1)2 =2 13 ,
|AC|= (1 3)2 (7 1)2 =2 13 ,
又|BC|= (1 3)2 (7 3)2 =2 26 , 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, 所以△ABC 是等腰直角三角形.
法二 因为 kAC= 7 1 = 3 ,kAB= 3 1 =- 2 ,
(x 1)2 (0 2)2 = (x 2)2 (0 7)2 ,
即 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1. 所以,所求 P 点坐标为(1,0),
|PA|= (11)2 (0 2)2 =2 2 .
2-2:已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
解:如图,设 BC 的中点为 M(x,y),
则 x= 2 4 =1,y= 1 7 =3,即 M(1,3),
2
2
则 AM= [1 (1)]2 (3 5)2 =2 2 .
lAM: y 3 = x 1 ,即 x+y-4=0. 5 3 11
变式探究:若△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(m,7),当m为何值 时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形?
解析:(1)易得过 A(0,-1)且与 x-y+1=0 垂直的直线方程为 x+y+1=0,
由
x x
y y
1 1
0, 0
得
x
y
1, 0.
故选 A.
答案:(1)A
(2)已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5相交于一点,则k的值
为
.
解析:(2)由
x 2y 1, 2x ky 3
答案:二
变式探究2:本例(1)中的直线改为l1:5x+4y=8+m,l2:3x+2y=6,若l1与l2的交 点在第一象限,求实数m的取值范围.
解:由
5x 3x
4y 2y
8 6
m,
得
x y
4 m, 3m 6
2
.
4 m 0,
由题意知
3m 2
6
0
得
2<m<4.
所以实数 m 的取值范围是(2,4).
得
x y
k k
k
1
6 4
4
, 将
，
x y
k k
k
1
6 4
4
,
代入
3kx+4y=5,
得 3k· k 6 +4· 1 =5,得 k=1 或 k=- 16 .
k4
k4
3
答案:(2)1 或- 16 3
题型二 两点间距离公式的应用 【例2】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的 中线AM的长和AM所在的直线方程.
x0 , y0 ,
即点
P'(2a-x0,2b-y0).
2
特别地,点 P 关于坐标原点 O 的对称点为 P'(-x0,-y0).
6.点关于直线对称
(1)若点P关于直线l的对称点为P′,则直线l为线段PP′的垂直平分线,于
是有
①kPP'·kl=-1(直线l的斜率存在且不为零); ②线段PP'的中点在直线l上;
3.直线y=3x-4关于点P(2,-1)对称的直线l的方程是( A ) (A)y=3x-10 (B)y=3x-18 (C)y=3x+4 (D)y=4x+3
解析:在直线上任取两点A(1,-1),B(0,-4),则其关于点P的对称点A',B' 可由 中点坐标公 式求得为 A'(3,-1),B'(4,2).由两点式 可求得方程 为 y=3x-10.故选A.
方程组无解,所以两直线无公共点,即两直线平行.
变式探究1:本例(1)改为:当m>4时,直线5x+4y=8+m和3x+2y=6的交点在第 象限.
解析:由
5x 3x
4y 2y
8 m, 6，
得
x
y
4 m, 3m 6
2
.
当
m>4
时,4-m<0,
3m 6 >0,所以 2
两直线的交点在第二象限.
即时训练3-1:若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b= .
解析:kAB= 3 1 = 2 , 1 (2) 3
故 k=- 3 ,AB 的中点 ( 1 , 2) 在 y=kx+b 上.
2
2
所以 2=- 3 × ( 1 ) +b,b= 5 .
2
2
4
故 k+b= 5 - 3 =- 1 . 42 4
平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2 y2 . 4.对两点间的距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关,即公式可以改写为|P1P2|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . (2)公式的特殊形式:①当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|y1-y2|;②当P1P2⊥y轴时,|P1P2|= |x1-x2|.
方法技巧 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条 件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的 方程或方程组求解. (2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长 相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.
即时训练2-1:已知点A(-1,2),B(2, 7 ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并 求|PA|的值. 解:设所求点 P(x,0), 于是由|PA|=|PB|得
解:要使△ABC是以A为直角顶点的直角三角形, 则有AB2+AC2=BC2. AB2=(-2+1)2+(-1-5)2=37, AC2=(m+1)2+4=m2+2m+5, BC2=(m+2)2+64=m2+4m+68, 所以m2+2m+5+37=m2+4m+68, 从而m=-13. 即当m=-13时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
解:(2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l1 上任一点 P1(x1,y1) 关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立.
即
y1
y1 x1
2
y2
y2 x2
3 x1 2
3 1,
x2
3,
解得x1y14 5x23 5
y2
9 5
5.点关于点对称 点关于点对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础,一般用 中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 设点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P′(x,y),则点 M 为线段 PP′的中点,于
是有
x0 y0
2
x y
a, b,
所以
x y
2a 2b
点击进入 课时作业 点击进入 周练卷
,
3 5
x2
4 5
y2
3 5
,
把(x1,y1)代入 y=x-2,整理得 7x2+y2+22=0, 所以 l2 的方程为 7x+y+22=0.
方法技巧 在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的 对称,处理这类问题要抓住两点:一是过已知点与对称点的直线与对称轴 垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.
4.不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐
标为
.
答案:(3,4)
5.已知点A(5,12),若P点在x轴上,且|PA|=13,则P到原点的距离为
.
答案:10或0
课堂探究
题型一 两条直线的交点问题
【例1】判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标.
方程组
A1x A2 x
B1y C1=0，的解 B2 y C2 =0
直线 l1 和 l2 的公共点个数
直线 l1 和 l2 的位置关系
一组
一个 相交
无数组
无数个 重合
无解
零个 平行
2.过两条直线交点的直线系方程 过两条直线l1,l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ为参数. 在这个方程中,不论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,即它不能表示直线l2. 3.两点间的距离公式
2x 6 y 0,
y
1 3
x
1 2
.
2x 6 y 3 0,①
解:(2)解方程组
y
1 3
x
1 2
,
②
②×6 得 2x-6y+3=0,因此①和②可以化成同一个方程,即①和②有无数组
解,所以两直线重合.
2x 6 y 0,①
(3)解方程组
y
1 3
x
1 2
,②
②×6-①得
3=0,矛盾.