2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题八 第二讲

第二讲不等式选讲
1．含有绝对值的不等式的解法
（1）｜f(x)|>a（a>0)⇔f(x）>a或f（x）〈－a；
（2）｜f（x)｜<a(a〉0）⇔－a<f(x）<a。

（3）对形如|x－a|＋|x－b｜≤c，｜x－a｜＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
｜a|－|b｜≤｜a±b｜≤|a|＋｜b｜。

3．柯西不等式
（1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2）(c2＋d2)≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号
成立．
(2)若a i，b i（i∈N＊）为实数，则(错误!a错误!）(错误!b错误!)≥（错误!a i b i)2，当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0,j＝1,2，…,n）时等号成立．
（3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量,则｜α｜·|β｜≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．
1．（2013·重庆）若关于实数x的不等式|x－5｜＋|x＋3｜〈a无解,则实数a的取值范围是____．
答案(－∞，8]
解析∵｜x－5|＋|x＋3|＝｜5－x|＋｜x＋3|
≥|5－x＋x＋3｜＝8，
∴(|x－5｜＋｜x＋3|）min＝8，
要使｜x－5|＋|x＋3｜〈a无解,只需a≤8.
2．(2013·江西)在实数范围内，不等式||x－2｜－1｜≤1的解集为________．
答案[0，4］
解析由|｜x－2｜－1|≤1得－1≤｜x－2｜－1≤1，
解错误!得0≤x≤4。

∴不等式的解集为［0，4]．
3．（2013·陕西）已知a，b,m,n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2,则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
答案2
解析由柯西不等式（a2＋b2）（c2＋d2)≥（ac＋bd)2,当且仅当ad ＝bc时“＝”成立,得
（am＋bn）（bm＋an）≥(错误!·错误!＋错误!错误!)2＝mn(a＋b）2＝2。

4．(2012·山东）若不等式|kx－4｜≤2的解集为｛x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
答案2
解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6。

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3｝,∴k＝2。

5．（2011·湖南)设x,y∈R,且xy≠0，则错误!·错误!的最小值为________．
答案9
解析错误!错误!＝5＋错误!＋4x2y2
≥5＋2 错误!＝9,
当且仅当x2y2＝错误!时“＝”成立．
题型一含绝对值的不等式的解法
例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f（x）＝｜2x－1｜＋|2x＋a｜，g（x）＝x＋3。

(1)当a＝－2时,求不等式f(x)<g（x）的解集；
(2）设a〉－1，且当x∈错误!时，f（x)≤g（x)，求a的取值范围．审题破题（1）可以通过分段讨论去绝对值;（2）在x∈错误!时去绝对值，利用函数最值求a的范围．
解(1）当a＝－2时，不等式f(x)<g（x)化为｜2x－1|＋|2x－2|－x－3〈0.
设函数y＝｜2x－1|＋｜2x－2｜－x－3，
则y＝错误!
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2)时，y<0,所以原不等式的解集是
｛x｜0<x〈2｝．
（2）∵a〉－1，则－错误!<错误!，
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a｜
当x∈错误!时，f(x)＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈错误!上恒成立．
∴a＋1≤－a
2
＋3，即a≤
4
3
，
∴a的取值范围为错误!。

反思归纳这类不等式的解法是高考的热点．
（1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；
④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2）用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观,是一种较好的方法．
变式训练1 已知函数f(x）＝｜x＋1|＋|x－2|－m.
(1）当m＝5时，求f(x）>0的解集;
（2）若关于x的不等式f（x)≥2的解集是R，求m的取值范围．解（1)由题设知｜x＋1|＋|x－2|〉5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
错误!或错误!或错误!
解得函数f （x )的定义域为（－∞,－2)∪(3，＋∞）．
(2）不等式f （x ）≥2即｜x ＋1|＋|x －2｜〉m ＋2，
∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2｜≥|(x ＋1)－（x －2)｜＝3， 不等式|x ＋1|＋|x －2｜≥m ＋2解集是R ，
∴m ＋2≤3，m 的取值范围是（－∞，1］．
题型二 不等式的证明
例2 (2012·福建)已知函数f (x )＝m －｜x －2｜,m ∈R ，且f （x ＋2）≥0的解集为[－1,1］．
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a
＋错误!＋错误!＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9。

审题破题 (1)从解不等式f （x ＋2）≥0出发，将解集和［－1，1］对照求m ；（2)利用柯西不等式证明．
(1)解 因为f （x ＋2）＝m －｜x ｜，
f (x ＋2)≥0等价于｜x ｜≤m .
由｜x ｜≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m ｝．
又f (x ＋2）≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1。

（2)证明 由(1)知错误!＋错误!＋错误!＝1，
又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得
a ＋2
b ＋3
c ＝（a ＋2b ＋3c ）错误!
≥错误!2＝9.
反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．
变式训练2 已知f （x )＝|x ＋1|＋|x －1｜，不等式f (x ）〈4的解集为M 。

(1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2｜a＋b|<｜4＋ab|。

（1)解f(x)＝|x＋1|＋｜x－1|
＝错误!
当x<－1时，由－2x〈4，得－2<x〈－1；
当－1≤x≤1时，f（x)＝2〈4；
当x>1时，由2x<4，得1〈x〈2。

∴M＝（－2,2）．
(2）证明a，b∈M,即－2<a〈2，－2<b〈2，
∴4（a＋b)2－(4＋ab）2＝4（a2＋2ab＋b2）
－(16＋8ab＋a2b2）＝(a2－4）(4－b2)〈0,
∴4（a＋b)2<（4＋ab)2，
∴2｜a＋b|〈｜4＋ab|.
题型三不等式的综合应用
例3 (2012·辽宁)已知f（x）＝|ax＋1|(a∈R），不等式f（x)≤3的解集为｛x｜－2≤x≤1｝．
（1)求a的值；
(2)若错误!≤k恒成立，求k的取值范围．
审题破题(1)|ax＋1｜≤3的解集为[－2，1］，对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立
问题．
解(1）由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2。

又f（x)≤3的解集为{x｜－2≤x≤1},
所以当a≤0时,不合题意．
当a〉0时，－错误!≤x≤错误!，得a＝2。

（2）记h（x)＝f(x)－2f错误!，
则h（x)＝错误!
所以｜h（x）｜≤1,因此k≥1。

反思归纳不等式f（a)≥g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于∀a∈R恒成立，则f（a）的最小值大于等于g（x），再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于∀x∈R不等式恒成立，则g（x)的最大值小于等于f(a),再解关于a的不等式求a的取值范围．
变式训练3 已知函数f（x)＝log2（|x－1|＋|x－5|－a）．（1）当a＝2时，求函数f（x)的最小值；
（2）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
解（1）函数的定义域满足:|x－1|＋｜x－5|－a〉0，
即｜x－1｜＋|x－5｜>a＝2。

设g(x）＝｜x－1｜＋｜x－5|,
则g（x)＝|x－1|＋|x－5｜＝错误!
g(x)min＝4>a＝2，f(x)min＝log2（4－2）＝1.
（2)由（1)知，g(x）＝|x－1|＋|x－5｜的最小值为4,
|x－1｜＋｜x－5|－a>0，
∴a<4，∴a的取值范围是（－∞，4）．
典例（10分）设f(x)＝｜x|＋2|x－a｜(a〉0）．
（1）当a＝1时，解不等式f(x）≤8；
（2)若f（x）≥6恒成立,求正实数a的取值范围．
规范解答
解(1）f(x）＝|x|＋2|x－1|＝错误!
当x<0时,由2－3x≤8，得－2≤x<0；
当0≤x≤1时，由2－x≤8，得0≤x≤1；
当x>1时，由3x－2≤8，解得1〈x≤错误!。

综上，不等式f（x）≤8的解集为错误!.［5分]
（2)因为f(x)＝|x｜＋2|x－a｜＝
学必求其心得，业必贵于专精
｛2a－3x，x<0，，2a－x，0≤x≤a
，3x－2a，x〉a.
可见f(x)在(－∞，a）上单调递减，在（a,＋∞）上单调递增，所以当x＝a时，f（x)取最小值a,所以a的取值范围是[6，＋∞）．[10分]
评分细则(1）f（x）去绝对值得分段函数给2分；三种情况下的解集错一种扣1分,没有最后结论扣1分；(2)求出f(x)的单调性给至8分．
阅卷老师提醒(1）含有绝对值式子的函数，实质上就是一个分段函数，根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即可．
(2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论．
1．（2012·湖南)不等式|2x＋1|－2｜x－1|>0的解集为________．答案错误!
解析原不等式等价于|2x＋1｜>2｜x－1｜⇔(2x＋1）2>4(x－1)2⇔x>错误!.
2．（2012·湖北改编)设a,b，c，x，y，z是正数,且a2＋b2＋c2＝10,x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则错误!＝________.
答案错误!
解析通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．
由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得
（x－a)2＋（y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令错误!错误!，
则x＋y＋z＝2（a＋b＋c），即错误!＝错误!。

3．若a,b，c∈（0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最大值为________．
答案错误!
解析(错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2
≤（12＋12＋12)（a＋b＋c)＝3。

当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．
∴(错误!＋错误!＋错误!)2≤3。

故错误!＋错误!＋错误!的最大值为错误!。

4．不等式错误!≥1的实数解为__________．
答案错误!。

解析∵|x＋1｜
｜x＋2｜≥1,∴|
x＋1｜≥｜x＋2｜。

∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4,∴2x＋3≤0。

∴x≤－错误!且x≠－2。

5．若不等式x＋｜x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是______．答案[1，＋∞)
解析设f（x）＝x＋｜x－1｜,则f(x)＝错误!
f（x）的最小值为1.所以当a≥1时，f(x)≤a有解．
6．对于任意的实数a（a≠0)和b,不等式|a＋b｜＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值
是m，则m的值为________．
答案2
解析不等式｜a＋b|＋|a－b|≥M·|a｜恒成立，
即M≤错误!对于任意的实数a(a≠0）和b恒成立，
只要左边恒小于或等于右边的最小值．
因为｜a＋b|＋|a－b|≥｜(a＋b)＋（a－b)｜＝2|a|，当且仅当(a －b）(a＋b）≥0时等号成立,即｜a|≥｜b|时，错误!≥2成立,也就是错误!的最小值是2。

专题限时规范训练
一、填空题
1．不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
答案｛x｜x≥1｝
解析原不等式可化为：
错误!或错误!或错误!
∴x∈∅或1≤x<2或x≥2。

∴不等式的解集为{x|x≥1｝．2．设x〉0，y〉0，M＝错误!，N＝错误!＋错误!，则M、N的大小关系为__________．
答案M<N
解析N＝错误!＋错误!〉错误!＋错误!＝错误!＝M。

3．对于实数x，y,若｜x－1｜≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1｜的最大值为________．
答案5
解析∵|x－1｜≤1,∴－1≤x－1≤1,∴0≤x≤2。

又∵|y－2｜≤1，∴－1≤y－2≤1,∴1≤y≤3，
从而－6≤－2y≤－2.
由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，
∴－5≤x－2y＋1≤1，∴｜x－2y＋1｜的最大值为5.
4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．
答案（－∞，－3]∪［3,＋∞)
解析∵f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－2|＝错误!
∴f(x）≥3.要使|a｜≥｜x＋1｜＋｜x－2｜有解，
需满足｜a|≥3，即a≤－3或a≥3.
二、解答题
5．设不等式|2x－1｜〈1的解集为M。

（1）求集合M；
(2)若a，b∈M,试比较ab＋1与a＋b的大小．
解 (1)由|2x －1|〈1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，
所以M ＝｛x |0<x <1}．
(2)由(1)和a ,b ∈M 可知0<a <1，0〈b <1.
所以(ab ＋1）－(a ＋b ）＝(a －1)(b －1)>0，
故ab ＋1〉a ＋b 。

6． 若不等式错误!>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，求实数a 的取值范围．
解 ∵错误!≥2，∴｜a －2｜＋1〈2,
∴1〈a 〈3.
7． （2012·江苏）已知实数x ，y 满足：|x ＋y ｜<错误!，|2x －y ｜<错误!，求证：|y |<错误!.
证明 因为3|y ｜＝|3y ｜＝｜2(x ＋y )－（2x －y )｜≤2|x ＋y |＋|2x －y |，
由题设知｜x ＋y |<错误!,｜2x －y ｜〈错误!，
从而3|y ｜<23
＋错误!＝错误!，所以｜y |〈错误!. 8． 已知函数f (x ）＝｜x －a ｜。

（1)若不等式f (x ）≤3的解集为｛x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值;
（2)在（1）的条件下，若f （x )＋f （x ＋5）≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围．
解 方法一 (1)由f （x )≤3得｜x －a ｜≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3。

又已知不等式f (x )≤3的解集为｛x ｜－1≤x ≤5},
所以错误!解得a ＝2.
（2)当a ＝2时,f （x )＝|x －2｜，设g （x )＝f (x ）＋f （x ＋5）， 于是g （x ）＝|x －2|＋|x ＋3|＝错误!
所以当x <－3时,g (x ）>5；
当－3≤x ≤2时，g （x ）＝5；
当x>2时,g(x）〉5.
综上可得，g（x)的最小值为5。

从而若f（x)＋f（x＋5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为
（－∞，5]．
方法二(1)同方法一．
(2)当a＝2时，f(x)＝｜x－2|.设g（x）＝f(x）＋f(x＋5）．
由|x－2｜＋|x＋3|≥|(x－2)－（x＋3）|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立）,得g(x)的最小值为5.
从而，若f（x）＋f（x＋5）≥m，即g（x）≥m对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为
（－∞，5]．
9．已知函数f(x）＝|2x＋1｜＋|2x－3｜.
（1）求不等式f（x)≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
解(1）原不等式等价于
错误!或错误!
或错误!
解之得错误!<x≤2或－错误!≤x≤错误!或－1≤x<－错误!。

即不等式的解集为｛x｜－1≤x≤2}．
（2）∵f（x）＝|2x＋1｜＋|2x－3｜≥|（2x＋1)－(2x－3)｜＝4.
∴｜a－1｜〉4,解此不等式得a<－3或a>5.
10．设a,b,c为正实数，求证：错误!＋错误!＋错误!＋abc≥2错误!。

证明因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得错误!＋错误!＋错误!≥3错误!，
即错误!＋错误!＋错误!≥错误!.
所以错误!＋错误!＋错误!＋abc≥错误!＋abc.
而错误!＋abc≥2错误!＝2错误!，
当且仅当a＝b＝c且abc＝错误!时,取等号．所以错误!＋错误!＋错误!＋abc≥2错误!。