高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质教学案(含解析)

【第4节 三角函数的图象与性质】之
小船创作
考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－π2，π2内的单调性.
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点
是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝
⎭
⎪
⎪⎫
3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点
是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )
函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图象
定义
域 R
R
{x |x ∈R ，且
x ≠k π＋π
2
}
值域 [－1，1] [－1，1] R 最小
2π
2π
π
[常用结论与微点提醒]
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在
每个区间⎝
⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( )
(3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( )
(4)y ＝sin|x |是偶函数.( )
解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.
(2)正切函数y ＝tan x
在每一个区间⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是( )
A.y ＝|cos x ＋1|
B.y ＝1－sin x
C.y ＝－3sin(2x ＋π)
D.y ＝1－tan x
解析 选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 答案 C
3.(老教材必修4P36T2改编)函数y ＝－32cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫12x －π6＋3的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π A ＝32
B.T ＝π
2
A ＝
92
C.T ＝4π A ＝9
2
D.T ＝2π A
＝－32
解析 T ＝2π12＝4π，A ＝32＋3＝9
2.
答案 C
4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B.1
C.35
D.15
解析
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝cos ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，则f (x )
＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A
5.(2019·北京卷)函数f (x )＝sin 2
2x 的最小正周期是________.
解析 由降幂公式得f (x )＝sin 2
2x ＝1－cos 4x 2＝－1
2
cos 4x
＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π
2
.
答案 π
2
6.(2018·江苏卷)已知函数
y ＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π
3对称，则φ的值是________.
解析 由函数
y ＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋
k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π
2，所
以φ＝－π
6.
答案 －π
6
考点一 三角函数的定义域
【例1】 (1)函数y ＝1
tan x －1的定义域为________.
(2)函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2
的定义域为________.
解析 (1)要使函数有意义，必须有
⎩⎪⎨⎪
⎧tan x －1≠0，x ≠π
2＋k π，k ∈Z ，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，
x ≠π2
＋k π，k ∈Z .
故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .
(2)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪
⎧sin x >0，cos x ≥12，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧2k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π
3＋2k π（k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π
3
＋2k π(k ∈Z )，
所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .
答案
(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z
(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z
规律方法 三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形： (1)分式中的分母不为零；
(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零； (3)指数式的底数大于零且不等于1；
(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；
(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
【训练1】 (一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.
解析 法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所
以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).
所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋
5π4，k ∈Z . 答案
⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 考点二 三角函数的值域(最值) 【例2】 (1)函数
y ＝sin x －cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π6的值域为________. (2)函数f (x )＝sin 2
x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值是
________. 解析
(1)∵y ＝sin x －cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋1
2
sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －π6， ∴函数
y ＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3].
(2)由题意可得f (x )＝－cos 2
x ＋3cos x ＋1
4
＝－(cos x －32
)2
＋1.
∵x ∈⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]. ∴当cos x ＝32，即x ＝π
6时，f (x )max ＝1.
答案 (1)[－3，3] (2)1
规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
【训练2】 (1)(2020·衡水调研)已知函数f (x )＝
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
－12，1，则实数a 的取值范围是________.
(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 解析 (1)由
x ∈⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6
，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤－12，1，
∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π
3≤a ≤π.
(2)设t ＝sin x －cos x ，
则t 2
＝sin 2
x ＋cos 2
x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t
2
2，且－2≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 2
2＋t ＋12＝－12
(t －1)2
＋1.
当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1
2
－ 2.
∴函数的值域为⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－1
2－2，1.
答案
(1)⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤π3，π (2)⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1
2－2，1
考点三 三角函数的周期性与对称性多维探究
角度1 三角函数的周期性
【例3－1】 (1)函数f (x )＝|tan x |的最小正周期是______. (2)函数f (x )＝cos 2
32x －sin 23
2
x 的最小正周期是________.
解析 (1)y ＝|tan x |的图象是y ＝tan x 的图象保留x 轴上方部分，并将下方的部分翻折到x 轴上方得到的，所以其最小正周期为π.
(2)函数f (x )＝cos 2
32x －sin 23
2
x ＝cos 3x ，最小正周期T ＝
2π
3
.
答案 (1)π (2)2π
3
规律方法 三角函数周期的一般求法：(1)函数f (x )＝
A sin(ωx ＋φ)＋k 和函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的最小
正周期T ＝2π
|ω|；(2)函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的最小
正周期T ＝π
|ω|；(3)不能用公式求周期的函数，可考虑用图
象法求周期.
角度2 三角函数图象的对称性
【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π
6
对称，则函数g (x )＝sin x ＋
a cos x 的图象( )
A.关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
2π3，0对称 C.关于直线x ＝π
3对称
D.关于直线x ＝π
6
对称
(2)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)图象的一个对称中心为
M ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为直线x ＝
5π
18
，则ω＝________. 解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π
6
对称，
所以
f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π3，所以1＝32a ＋12，a ＝3
3
，
所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π6， 函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，即x ＝k π
＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π
3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π
3对称.
(2)函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx －π3，因为图象的对称中心为
M ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为
x ＝5π18，所以5π18－π9＝T 4，即T ＝2π3.故ω＝2π
T ＝3.
答案 (1)C (2)3
规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，
求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋
φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.
2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π
2
＋k π(k ∈Z )，求
x 即可.
【训练3】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋
φ)⎝
⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有
f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－2π3，0 B.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
－π3，0 C.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
2π3，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫5π3，0 (2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )
A.－π6
B.π6
C.－π3
D.π3
解析 (1)由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝1
2.
因为
f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π3，
即12×π3＋φ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )，
又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，
故
f (x )图象的对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，
当k ＝0
时，f (x )图象的对称中心坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－2π3，0. (2)f (x )＝sin
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
12x ＋θ－3cos
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
12x ＋θ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝±2， 即
sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，
∴θ＝5π
6
＋k π(k ∈Z ).
∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π
6.
答案 (1)A (2)A
考点四 三角函数的单调性
多维探究
角度1 求三角函数的单调区间
【例4－1】 (1)(2020·岳阳质检)函数
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－5π3，π3
B.⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－5π6，7π6 C.⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
π3，2π D.⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
－2π3，4π3 (2)函数
f (x )＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是______.
解析 (1)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )得，
4k π－5π3≤x ≤4k π＋π
3(k ∈Z )，
又x ∈[－2π，2π]，所以－5π3≤x ≤π
3.
故
y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－5π3，π3.故选A.
(2)由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π
2(k ∈Z )，
得
k π2－5π
12
<x <
k π2＋
π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为
⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫
k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ). 答案 (1)A
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 角度2 根据三角函数的单调性求参数 【例4－2】 已知ω>0，函数
f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.
解析 由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π
4，
又y ＝sin x
的单调递减区间为⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π
2＋2k π，
ωπ＋π4≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z .
又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，
得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12，54. 答案
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12，54 规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数
ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练4】 (1)(角度1)已知函数
f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )
A.⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z )
B.⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) (2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－
a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )
A.π
4
B.π2
C.3π4
D.π
解析 (1)函数的解析式可化为
f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π
8＋
k π≤x ≤3π
8
＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ). (2)f (x )＝cos x －sin x ＝
2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π4， 由题意得a >0，故－a ＋π4<π
4，
因为f (x )＝
2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，
a >0，
解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π
4.
答案 (1)D (2)A
A 级 基础巩固
一、选择题
1.函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3
C.π
D.2π
解析
∵y ＝2⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π6，
∴T ＝2π
2＝π.
答案 C 2.函数
f (x )＝－2tan ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x |x ≠π6
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠－π12
C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ≠
k π2＋π6（k ∈Z ） 解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π
2(k ∈Z )，
即x ≠
k π2＋π
6
(k ∈Z )，故选D.
答案 D 3.若函数
y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω
的最小值为( ) A.π
2
B.π3
C.π4
D.π6
解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π
6＋
k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π
6，故选D.
答案 D 4.若
f (x )为偶函数，且在⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都
有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
>0，则f (x )可以为( )
A.f (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan x
D.f (x )＝1－
2cos 2
2x 解析
∵f (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；
f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－
cos 4x
为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫0，π2上单调递增. 答案 B
5.(2019·昆明诊断)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π
4
个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( ) A.周期为π，最大值为1，图象关于直线x ＝π
2
对称，为奇
函数
B.周期为π，最大值为1，图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
3π8，0对称，为奇函数
C.周期为π，最大值为1，在⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
－3π8，π8上单调递减，为奇函数
D.周期为π，最大值为
1，在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数 解析 将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得
到函数
g (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π2＝sin 2x 的图象，则函数g (x )的
周期为π，最大值为1，在⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，π4上单调递增，且为奇函数，故选D. 答案 D 二、填空题 6.函数
y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
π4－2x 的单调递减区间为________. 解析 由
y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )，
所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 答案
⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 7.(2018·北京卷)设函数
f (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为
________.
解析 由于对任意的实数都有
f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π4成立，故当x ＝
π
4
时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，
∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝2
3.
答案 2
3
8.(2020·合肥调研)已知函数
f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12
x －π6，则下列
说法正确的是________(填序号). ①f (x )的周期是π
2
；
②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；
③直线x ＝5π
3
是函数f (x )图象的一条对称轴；
④f (x )的单调递减区间是⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋
∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π
2，k ∈Z ，∴x
＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π
6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π
3
，k ∈Z ，∴f (x )的单调
递减区间是⎝
⎛⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确. 答案 ④ 三、解答题
9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若
f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－π3，m 上的最大值为32，求
m 的最小值.
解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋3
2
sin 2x
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)知
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋12.
由题意知－π
3≤x ≤m ，
所以－5π6≤2x －π6≤2m －π
6.
要使得
f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－π3，m 上的最大值为32，
即
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.
所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.
故实数m 的最小值为π
3
.
10.已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程； (2)讨论函数
f (x )在⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx －π4，且T
＝π，∴ω＝2，f (x )＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π
8(k ∈Z )，
即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝
k π2＋
3π
8
(k ∈Z ).
(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得函数f (x )的
单调递增区间为
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到
x ∈⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数
f (x )在⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调递增区间为
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π
2
＋
2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为[k π＋3π
8
，k π
＋7π8](k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
3π8，π2. B 级 能力提升
11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≤π
4，
cos x ，x >π4，
则下列结论正确的是( ) A.f (x )是周期函数 B.f (x )是奇函数
C.f (x )的图象关于直线x ＝π
4对称
D.f (x )在5π
2
处取得最大值
解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可知函数
f (x )不是周期函数，所以A 不正确；同时图象不关于原点对
称，所以不是奇函数，所以B 不正确； 若x >0，则
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π4＋x ＝2
2
(cos x －sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π4－x ＝2
2
(cos x －sin x )，
此时
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π4－x ； 若x ≤0，则
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π4＋x ＝2
2
(cos x ＋sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π4－x ＝2
2
(cos x ＋sin x )， 此时
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π4－x ，综上，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π4－x ，即图象关于直线x ＝π4对称，所以C 正确；当x ＝5π2时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫5π2＝cos 5π
2＝0不是函数的最大值，所以D 错误，故选C.
答案 C
12.(2019·长沙模拟)已知P (1，2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝3
4，则f (x )图象的对
称中心可以是( ) A.(0，0)
B.(1，0)
C.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫32，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
52，0 解析 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线，如图所示.
由题意知A ＝2.又∠BPC ＝θ，所以tan θ2＝1
2BC 2×2＝3
4
，解得
BC ＝6，所以T ＝6＝2π|ω|，又∵ω>0，解得ω＝π
3
.所以f (x )
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
π3x ＋φ.将点P (1，2)的坐标代入函数解析式，得
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π
6
＋2k π(k ∈Z ).令k ＝0，得φ
＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π3
x ＋π6.令π3x ＋π6＝m π(m ∈Z )，
解得x ＝3m －12(m ∈Z ).令m ＝1，得x ＝5
2
，即f (x )图象的对
称中心可以是⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫52，0.故选D.
答案 D 13.若函数
g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
可得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )，
∴g (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). 又∵函数
g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，
∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，
解得π6≤a <7π24
.
答案
⎣
⎢⎢⎡⎭⎪⎪
⎫
π6，7π24 14.已知函数
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π2－x sin x －3cos 2
x ＋3
2
.
(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；
(2)若方程f (x )＝2
3
在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－
x 2)的值.
解 (1)f (x )＝cos x sin x －32
(2cos 2
x －1)
＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝5
12π＋k π(k ∈Z )时，
函数f (x )取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝5
12
π＋
k π(k ∈Z )，
∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝5
12π.
又方程f (x )＝2
3
在(0，π)上的解为x 1，x 2.
∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝5
6
π－x 2，
∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－π3， 又
f (x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－π3＝23，
故cos(x 1－x 2)＝2
3
.
C 级 创新猜想
15.(开放题)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2
x ＋1，将f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标保持不变，
再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).
解析 f (x )＝3sin 2x －2cos 2
x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π6，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到
原来的1
2
，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫4x －π6，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，
得到函数
g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6＋1的图象，则函数g (x )的值
域为[－1，3]，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝g (x )max ＝3，则|x 1－x 2|＝nT (n ∈N ，T 为g (x )的最小正周期)，又T
＝π2，故|x 1－x 2|＝n π2(n ∈N )，故可填π2.
答案 π2
(答案不唯一)。