【精选】数学建模之效益的合理分配PPT

用xi表示I的成员i从合作的最大收益v(I)中应得
到的一份收入.x=(x1，x2……xn)叫合作对策的分
配，满足 ∑ =v(I)
⑤
xi≥v(i)，i=1,2,……,n
⑥
其中⑤式表示每个成员从合作最大收益中所得总额 恰好为最大收益额
⑥式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个 人单干所得.显然，由③ 和④式定义的n人合作对 策[I,v]通常有无穷多个分配.
模型假设与建立 ：
我们上面提出的这类问题称为n人合作对策， Shapley L.S.1953给出了解决该问题的一种 方法，称Shapley值。
首先，让我们先了解一下什么叫n人合作对策 和Shapley值
n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干 人组合的每一种合作（特别，单人也视为 一种合作），都会得到一定的经济效益， 当人们之间的利益是非对抗性时，合作人 数的增加不会引起效益的减少，这样，全 体n个人的合作将带来最大效益。n个人的 集合及合作的效益就构成n人合作对策， Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。
Shapley值vvvvvvv
其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是 子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是 加权因子，s\i表示s除掉i后的集合.
以上述Shapley值数学模型来对所给 题目进行求解.
模型求解：
甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利 定义为I上的特征函数，即vvv=0, v(1)=1, v(2)=v(3)=0, v(1,2)=2, v(1,3)=3, v(2,3)=0, v(I)=4
x1≥1,x2,x3≥0,x1+x2≥2,x1+x3≥2 ②
其中②式表示这种分配必须不小于单干或二 人合作时的收入，但我们很容易看出①， ②式有许多组解，如（x1,x2,x3）=(2,0,2),
(1.8,0.3,1.9),(1.7,0.4,1.9)……许多组解，我 们发现这种分配方式并不合理，应寻求一 种圆满的分配方法！
由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益 为2.5万元。
对此表中的解释：
对表一中的s,比如{1，3}，v(s)是有甲 （即{1}）参加时合作s的获利，v(s\1)是无甲 参加合作时s的获利， v(s)- v(s\1)视为甲对这 一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的 分配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1） 的加权平均值，加权因子w(/s/)取决于这个合 作s的人数.也就是按贡献取得报酬.
数学建模之效益的合理分配
制作v：(张s鹤)
0
3
0
若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入2万元；
v(s\3) 0 若租给某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万元；
xi≥v(i)，i=1,2,……,n
⑥
1
0
The End !
x=(x1，x2……xn)叫合作对策的分配，满足 ∑ =v(I)
⑤
v(s)- v(s\3) w(/s/)[v(s)- v(s\2)]
其Shapley值的定义如下：
设集合I=﹛1，2，3……，n﹜，如果 对于I的任一子集s都对应一个实值函数v(s)， 满足 =0 ③
v(s1∪s2) ≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④
称[I,v]为n人合作对策，v为对策的特征函数.
在上面所述的经济活动中，I定义为n人集合，s 为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益.
于是，接下来我们可以用同样的方法得 到表二，表三分别为：
s v(s) v(s\2) v(s)- v(s\2)
表二
2
{1，2} {2，3} I
0
2
0
4
0
1
0
3
0
1
0
1
/s/
1
2
2
3
w(/s/)
1/3
1/6
1/6
1/3
w(/s/)[v(s)- v(s\2)] 0
1/6
0
1/3
表三
s
3
{1，3} {2，3}
5万元，即甲的收益为2.
{1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1,由此我们得到表一如下：
/s/ v(s1∪s2) ≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④
1
2
2
w(/s/)
1/3
1/6 1/6
w(/s/)[v(s)- v(s\1)] 1/3
1/3 1/2
4 0 4
3 1/3 4/3
容易验证v满足上述③和④式，为计算vvvv首 先找出I中包含1的所有子集S1：{1}，
{1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1, 由此我们得到表一如下：
表一
s
1
{1，2} {1，3} I
v(s)
1
2
3
数学建模之效益的合理分配
5万元， vvvvv2=0.
v(s\1) v(s1∪s2) ≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④
The End !
Thank you
w(/s/) 1/3 1/6 1/6 在上面所述的经济活动中，I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益.
The End !
w(/s/)[v(s)- v(s\3)] 0
1/30Biblioteka I 4 2 23 1/3 2/3
最后将表一，表二，表三中末行相加得
vvvv1=2.5万元， vvvvv2=0.5万元 vvvv3=1万元，他们可作为按照Shapley值 方法计算的甲、乙、丙三人应得的分配！
也就是按贡献取得报酬.
0
2
0
⑥式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个人单干所得.
v(s1∪s2) ≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④
w(/s/)[v(s)- v(s\3)]
称[I,v]为n人合作对策，v为对策的特征函数.
/s/ 其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是
1
2
2
{1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1,由此我们得到表一如下：
问题提出：
题目中要求实现最大收益，很显然题目中三 人合作的情况下所得的4万元为最高收入， 试问在此种情况下，甲、乙、丙三者所应该 得到的最合理的收入各为多少万元？
问题的分析：
遇到这种问题我们会很容易的想到列方程求解 的方去法分配：设甲、乙、丙三人合作后各 得x1,x2,x3万元，满足x1+x2+x3=4 ①
数学建模之效益的合理分 配
班级：数学081班 制作：张鹤
日期： 年5月30号
题目
• 某甲（农民）有一块土地，若从事农业生 产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业 家）用于工业生产，可收入2万元；若租给 某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万 元；当旅店老板请企业家参与经营时，收 入达4万元。为促成最高收入的实现，请问 如何分配个人所得最为合理？
Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv
0
0
0
⑥式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个人单干所得.
x=(x1，x2……xn)叫合作对策的分配，满足 ∑ =v(I)
⑤
v(s)- v(s\1) 其Shapley值的定义如下：
子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是
1
2
3
n个人的集合及合作的效益就构成n人合作对策， Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。
Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv
对任意的子集s，记vvvvv，即s中各成员的 分配.对一切svvvv，满足x(s) ≥v(s)的x 组成的效益集合称[I,v]的核心.当核心存在 时，即所有s的分配都不小于s的效益，这 时可将Shapley值作为一种特定的分配， 即vvvvvv其中vvv的结果为：