基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用
1．基本不等式
若a>0,，b>0，则
a ＋
b 2
≥ab ，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式
(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．
2
a b
+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
2
b
a +≥a
b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、
b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（
2b
a+
）2.
(3)ab≤
2 2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+b
a
(a，b∈R)．
(4)
b
a
＋
a
b
≥2(a，b同号且不为0)．
(5)
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+b
a
≤
a2＋b2
2
(a，b∈R).
（6）
b
a
ab
b
a
b
a
1
1
2
2
2
2
2
+
≥
≥
+
≥
+()0
,>
b
a
(7)abc≤
a3＋b3＋c3
3
;()
,,0
a b c>
(8)
a＋b＋c
3
≥
3
abc；()
,,0
a b c>
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥.
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( )
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，
当且仅当a＝b＝3
2
时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，
则ab的最大值为( )
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1
2
.当且仅当a
＝1，b＝1
2
时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分
别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )＜v＜ab＝ab
＜v＜a＋b
2
＝
a＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝
2s
s
a
＋
s
b
＝
2ab
a＋b
＜
2ab
2ab
＝ab.
又v－a＝2ab
a＋b
－a＝
ab－a2
a＋b
＞
a2－a2
a＋b
＝0，∴v＞a.故选A.
(2014·上海)若实数x ，y 满足xy
＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.
解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x
2≥22，当且仅当x ＝±4
2时等号成立.故
填22.
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第
一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1， 所以mn ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22＝1
4，
当且仅当m ＝n ＝1
2
时取等号，
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21
4＝－2，故填－2.
类型一 利用基本不等式求最值
(1)求函数y ＝
（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1
(x ＞－1)的值域.
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）
m
＝m＋4
m
＋5≥2m·
4
m
＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故y min＝9.
又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
(2)下列不等式一定成立的是( )
>lg x(x>0) ＋
1
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
＋1≥2||x(x∈R) >1(x∈R)
解：A中，x2＋1
4
≥x(x＞0)，当x＝
1
2
时，x2＋
1
4
＝x.
B中，sin x＋
1
sin x
≥2(sin x∈(0，1])；
sin x＋
1
sin x
≤－2(sin x∈[－1，0)).
C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).
D中，
1
x2＋1
∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.
点拨：
这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋c
x＋d
的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以
将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
x＋d
＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用
单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1
t
的最小值为.
解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1
t
＝t＋
1
t
－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得8
x
＋
2
y
＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝8x ＋2y ≥2
8
x ·2y
＝8xy
，得xy ≥64，
当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝
8y
y －2
，∵x ＞0，∴y ＞2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16
y －2
＋10≥18，
当且仅当y －2＝
16
y －2
，即y ＝6，x ＝12时等号成立. 解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2
2x
y
·
8y
x
＝18，当且仅当y
＝6，x ＝12时等号成立.
类型二 利用基本不等式求有关参数范围
若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4
＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )
∈M ，0∈M ∉M ，0∉M
∈M ，0∉M ∉M ，0∈M
解法一：求出不等式的解集：(1＋k 2
)x ≤k 4
＋4⇒x ≤k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)＋5
k 2＋1
－
2⇒x ≤⎣
⎢⎡⎦⎥⎤（k 2
＋1）＋5k 2＋1－2min ＝25－2(当且仅当k 2＝5－1时取等号). 解法二(代入法)：将x ＝2，x ＝0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R .
故选A. 点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：
(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； (3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ； (4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .
已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e
是自然对数的底数.若关于x 的不等式
mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围. 解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立.
令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－
t －1
t 2
－t ＋1
＝ －
1t －1＋1
t －1
＋1
对任意t
＞1成立.
∵t －1＋1
t －1＋1≥2（t －1）·
1
t －1
＋1＝3， ∴－
1
t －1＋
1
t －1
＋1≥－13
，
当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立. 故实数m 的取值范围是
⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，－13.
类型三利用基本不等式解决实际问题
围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝360 x
，
所以y＝225x＋3602
x
－360(x≥2).
(2)∵x≥0，∴225x＋3602
x
≥2225×3602＝10800，
∴y＝225x＋3602
x
－360≥10440，
当且仅当225x＝3602
x
，即x＝24时等号成立.
答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).
解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝k
ab
，其中k是比例系数且k＞0.
依题意要使y最小，只需ab最大.
由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，
即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).
∵a＋2b≥22ab，
∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.
解法二：同解法一得b≤30－a
a＋2
，代入y＝
k
ab
求解.
1.若a ＞1，则a ＋1
a －1的最小值是( )
解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1
＋1≥2（a －1）·
1
a －1
＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.
2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )
＜1＜
a 2＋
b 2
2
＜1≤
a 2＋
b 2
2
＜ab ＜
a 2＋
b 2
2
≤
a 2＋
b 2
2
≤1
解：运用不等式ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜
a 2＋
b 2
2
，故选A.
3.函数f (x )＝5－4x ＋x 2
2－x 在(－∞，2)上的最小值是( )
解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝1
2－x
＋(2－
x )≥2·
12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当1
2－x
＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.
4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
元 元 元
元
解：假设底面的长、宽分别为x m ，4
x
m ，由条件知该容器的最低总造价为y
＝80＋20x ＋80
x
≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.
故选C.
5.下列不等式中正确的是( )
A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a
b ≥2
b a ·a b
＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y
C.若x <0，则x ＋4
x
≥－2
x ·4
x
＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2
解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2
（－x ）·
4
－x
＝－4，C 错；对于
D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.
6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) ＋2 3 ＋23 ＋4 3
＋43
解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎨⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0， 即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝
(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2
4b
a
·
3a
b
＝7＋43，当且仅当
4b
a
＝
3a
b
时取等号.
故选D.
7.若对任意x ＞0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是.
解：因为x ＞0，所以x ＋1
x
≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，
所以有
x
x 2＋3x ＋1
＝
1x ＋1
x
＋3≤
12＋3＝15
， 即
x x 2
＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥1
5
.
8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线
mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.
解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有
|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上). 所以|PA |·|PB |≤1
2(|PA |2＋|PB |2)＝5.
当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立.故填5. 9.(1)已知0＜x ＜4
3
，求x (4－3x )的最大值；
(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值. 解：(1)已知0＜x ＜4
3
，∴0＜3x ＜4.
∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝4
3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2
3时“＝”成立.
∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为4
3
.
(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42.
当且仅当⎩⎨⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，
即x ＝32，y ＝3
4时“＝”成立.
∴当x ＝32，y ＝3
4
时，2x ＋4y 取最小值为42.
10.已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值. 解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab.且1＝
2a＋b≥22ab，即ab≤
2
4
，ab≤
1
8
，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)
＝2ab＋4ab－1≤2－1
2
.当且仅当a＝
1
4
，b＝
1
2
时，等号成立.
11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小
解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x ＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，
∴26xy≤18，得xy≤27
2
，即S≤
27
2
.
当且仅当2x ＝3y 时等号成立. 由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝，y ＝3.
故每间虎笼长为 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y.
∵x ＞0，∴0＜y ＜6.
S ＝xy ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫9－32y y ＝32
(6－y )y.
∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎢
⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝27
2. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝. 故每间虎笼长 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S ＝xy ＝24.
设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y.
解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，
∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由⎩⎨⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎨⎧x ＝6，
y ＝4.
故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小.
解法二：由xy ＝24，得x ＝
24
y
.
∴l＝4x＋6y＝96
y
＋6y＝6
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
16
y
＋y≥6×2
16
y
×y＝48，
当且仅当16
y
＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.。