直线 圆锥曲线系列

直线与圆锥曲线位置关系
1、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：
（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200
221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220
220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<。

2．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；
（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

3、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝
212
11y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

4、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在
椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线
22
2
21x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p
y 。

温馨提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！
直线与椭圆位置关系
思想方法：
（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；
（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）； （3）计算弦长(弦长公式为122
1x x k AB -⋅+=或1221
1y y k
AB -⋅+
=，其中k 为弦AB 所在直线的斜率)
（4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理.
题型一：直线与椭圆的位置关系： 例1：（1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。

（2）若直线m x y +-=与曲线
)0(15
202
2≥=+y y x 有一个公共点，求m 的取值范围
变式：若直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，求实数m 的范围.
题型二：弦长问题：
例2：（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆14
22
=+y x 的右焦点交椭圆与A 、B 两点.，求弦AB 的长.
（2）过点P （0,2）的直线与椭圆1222=+y x 相交于A 、B 两点，且弦长3
14=AB ，求直线方程.
（3）已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。

变式：12,F F 分别是椭圆2
212
x y +=的左、右焦点，过1
F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.
七、中点弦问题 “点差法”解题。

“设而不求”的思想。

例：已知椭圆12
22
=+y x ：(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程 1.椭圆22221x y a b +=的弦AB 的中点为M,则AB 的斜率与OM 的斜率之积为2
2b a
-;
2．已知椭圆2
212
x y += （1） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2） 过点M(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹方程； （3） 求过点M （11
,22
）且被M 点平分的弦所在的直线方程。

3．已知半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()22
2210y x x b c
+=≤
组成的曲线称为“果圆”，其中222,0,0a b c a b c =+>>>，
012,,F F F 是对应的焦点。

（1）若三角形012F F F 是边长为1的等边三角形， 求“果圆”的方程； （2）若11A A B B >，求b
a
的取值范围；
2.如图，把椭圆
22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份， 过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于
1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，
F 是椭圆的一个焦点，则 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ;
3．设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为
题型三：中点弦问题：
例3：已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M （1，1），求直线AB 的直线方程
2．已知椭圆2
212
x y += （4） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（5） 过点M(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹方程； （6） 求过点M （11
,22
）且被M 点平分的弦所在的直线方程。

练习：在椭圆中16422=+y x 中，求通过点（2,1）且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长。

题型四：求椭圆方程：
例5：已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=2
10
，求椭圆方程.
例6.已知椭圆2222b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率e=36
，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线
与坐标原点距离为
2
3
. （1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E （-1，0），若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆相交于C 、D 两点，试判断是否存在k 值，使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.
专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题
（1）位置关系：
设直线)0(:≠+=m m kx y l ，抛物线)0(22>=p px y 联立解得：
0222=+-pm py ky
若0=k ，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0≠k ，
0>∆⇒直线与抛物线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与抛物线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与抛物线相离，无交点；
（2）相交弦长：直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，
且由⎩⎨⎧+==n
kx y y x F 0),(，消去y 得到mx 2+nx +p =0（m ≠0），Δ=n 2 －4mp 。

设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则212212
4)(1||x x x x k
AB -++=
若联立消去x 得y 的一元二次方程：20(0)my ny q m ++=≠ 设),(),,(2211y x B y x A ，则212212
4)(1
1||y y y y k
AB -++= （3）典例分析：
()22
例1 已知抛物线的方程为y =4x,直线l 过定点P -2,1,斜率为k,k 为何值时,直线l 与抛物线y =4x :只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
例2、已知抛物线C ：y 2＝4x ，设直线与抛物线两交点为A 、B ，且线段AB 中点为M （2，1），求直线l 的方程.
例3已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14+-=x y 被抛物线所截得的弦AB 的中点的纵坐标为2-。

（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在异于原点的定点H ，使得过H 的动直线与抛物线相交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点？
例4已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2
:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值
例5在抛物线x y 642
=上求一点，使到直线04634=++y x 的距离最短，并求出最
短距离。

直线与双曲线的位置关系
例直线1
+
=ax
y与双曲线1
32
2=
-y
x
有且仅有一个公共点，求a。

例1过双曲线
22
1
36
x y
-=的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B两点，求,A B两点的坐标及|AB|．
例2求过点M(3,-1 ) 且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程
例3已知双曲线,过点P能否作一条直线l,与双曲线交于,A B两点,且点P 是线段AB的中点.
x2-
y2
2
=1
x2
4
-y2=1
例4已知直线y=kx-1与双曲线
没有公共点,求k 的范围
练习：
1．过点（3，0）的直线l 与双曲线 4x 2-9y 2
= 36 只有一个公共点，求直线方程 2．斜率为2的直线l 与双曲线 交于A,B 两点,且|AB|=4,求直线l 的方程
3．求过点 M (2,1)作直线l 交双曲线 于A ，B 两点,且被点M 平分.求直线l 的方程
x 2-y 2=4x 23-y 22
=1
x 2-y 2
2
=1
（2010湖南理数）19.（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A,B 两点各建一个考察基地。

视冰川面为平面形，以过A,B 两点的直线为x 轴，线段AB 的的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B
km 区域；在
直线x=2的左侧，考察范围为到A,B
两点的距离之和不超过区域。

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的
例4：A 、B 是经过椭圆22
22 1.x y a b
+=(0)a b >> 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的
弦//MN AB ，求证：2
||MN ：||AB 是定值
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122
22=-b y a x 于
M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与
N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
例6已知MN 是椭圆122
22=+b
y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两
个端点，求直线 MA 和NB 的交点P。