四川省乐山沫若中学高二数学10月月考试题

沫若中学高二第一次月考数学（文理）试卷
一．选择题（每小题5分，共计60分）
1．已知椭圆x 2
25＋y
2
m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
2．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2
－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外离 C ．外切 D ．相交 3. 已知
,
4,2),5,0(),5,0(==--a a PB PA B A 点P 的轨迹为（ ）
A ．双曲线
B ．一条直线
C ．双曲线的一支
D ．两条射线
4．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－4x
B ．x 2
＝4y
C ．y 2＝4x 或x 2＝－4y
D ．y 2＝－4x 或x 2
＝4y
5．以点P(2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( )
A ．(x ＋2)2＋(y －3)2
＝4
B ．(x ＋2)2＋(y －3)2
＝9
C ．(x －2)2＋(y ＋3)2
＝4
D ．(x －2)2＋(y ＋3)2
＝9
6．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C
于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 23＋y 2
＝1 C.x 2
12＋y 2
8＝1 D.x 2
12＋y
2
4
＝1 7、已知双曲线C ：22221x y a b -=（
0,0a b >>
）的离心率为，则C 的渐近线方程为 A.
14y x =± B.13y x =± C.1
2y x
=± D.y x =± 8. 已知椭圆18122
2=+x y ，F 1，F 2为其焦点，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面
积为（ ） A ．34 B ．33
8 C ．3
8
D ．33
4
9．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1
2，E 的右焦点与抛物线C ：
y 2
＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( ) A ．3 B ．12 C ．9 D ．6
10．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2＋y 2
－4x ＋1＝0，则y x
的最大值为( )
A ． 3
B ．1
C ．23
D ．3
11.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线的渐近线于
A,B 两点，若OAB ∆（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A
． B
． C
．2
12.（文科）若点O 和点F 分别为椭圆x 2
4＋y
2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
12．(理科)已知椭圆E ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M ，直线l ：3x
－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E
的离心率的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，
32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1
二．填空题（每小题5分，共计20分） 13．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y
2
＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 .
14.圆
822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为经过点P 的直线与该圆截得的弦，则当弦AB 被点P 平分时，直线AB 的方程为____________________;
15．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________． 16.已知抛物线x y 42
=的焦点为B A F ,,是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是)0,4(，则AB
的最大值为_____________;
三．解答题（70分）
17.（10分）（1）已知椭圆)0(122
2
2>>=+b a b y a x 经过点)0,3(P ，且长轴长是短轴长的3倍，
求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，直线x y 3=为双曲线C 的一条渐近线,
求双曲线C 的标准方程．
18.（12分）已知圆C 经过点A （1，3）和点B （5，1），且圆心C 在直线01=+-y x 上 （1）求圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点D （0，3），且直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程。

19. （12分）已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；
(2)经过点M(2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．
20. （12分）已知椭圆)0(1222
2>>=+b a b y a x 的离心率
36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23
．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由.
21. （12分）已知点)2,2(P ，圆C :
082
2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （I ）求M 的轨迹方程； （II ）当
OM
OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
22.（文科）（12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点(1，3
2)在该椭圆上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为122
7.求以F 2为圆心且与直
线l 相切的圆的方程．
22.（理科）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为2，
一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4=x 交于T 点． （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求
PQ
TF 的取值范围．
2018届高二上期第一次月考数学答案
一．选择题：
1.B
2.D
3.C
4.D
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D 10.A 11.B 12.C(A) 二．填空题： 13．x 2
9－y
2
27＝1
14．x －2y ＋5＝0 15．
2
2
或2－1 16．6 三．解答题
17.（1）1922=+y x （2）1322
=-y x
18．解 (1)
19．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2
－a 2
＝ 3.
又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2
－y
2
3
＝1.
(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧3x 2
1－y 2
1＝3，3x 22－y 22＝3， 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.
因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，
y 1＋y 2＝2.
所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2
＝6.
故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.
20.【解析】
（1）直线AB 方程为：bx-ay-ab ＝0．
依题意 解得
∴椭圆方程为.[
（2）假若存在这样的k 值，由得．
∴
①
设，、，，则 ②
而
．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
，即
∴
05))(12()1(21212
=+++++x x k x x k ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立.
综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E.
21. （I ）圆C 的方程可化为
()2
2416
x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
设M(x,y),则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，,由题设知0CM MP =,故
()()()2420
x x y y -+--=，即
()()2
2
132
x y -+-=
由于点P 在圆 C 的内部,所以M 的轨迹方程是
()()2
2
132
x y -+-=
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2
为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.
因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为1
3-
,直线l 的方
程为：
1833y x =-+
又OM OP ==O 到l
的距离为
，
PM =， 所以POM ∆的面积为：16
5.
22.文科：解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝3
2＋
（32）2＋22
＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)①当直线l⊥x 轴时，可取A(－1，－32)，B(－1，3
2)，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，代入椭圆方程得：
(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2
－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2
3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2
－12
3＋4k
2.
可得|AB|＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k|
1＋k 2
， ∴△AF 2B 的面积为12|AB|r ＝12|k|k 2
＋13＋4k 2
＝122
7， 化简得：17k 4
＋k 2
－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)
2
＋y 2
＝2.
22.理科：【解析】
（Ⅰ）由题意，………………1分
解得
,………………3分
所求椭圆的标准方程为；………………4分
（Ⅱ）解法一：（i）设，
，消去x，化简得．
设的中点，则
，，……………6分
，，
即，……………7分
，
设，得T点坐标（），
，所以，线段的中点在直线上．……9分
（ii）当时，的中点为，．
．……………10分
当时，
，
．……………11分
令．则．令
则函数在上为增函数，……………13分
所以．
所以的取值范围是．……………14分
解法二：
（i）当直线斜率不存在时，的中点为，，符合题意．…分
当直线斜率存在时，若斜率为0，则垂直于 x轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0
设，（）
，消去y，化简
得．
设的中点，则
，，……………6分
，，
即，……………7分
，
设，得T点坐标（），，
所以，
线段的中点在直线上．……………9分
（ii）当直线斜率不存在时，的中点为，．
．……………10分
当直线斜率存在时，
，
．
．……………11分
令．
则．
令
则函数
在上为增函数，……………13分
所以．
所以
的取值范围是．……………14分
- 11 -。