归类剖析概率中的易错点

ʏ河南省濮阳市第一高级中学袁媛概率是高考考查的重点内容,逻辑性强,
知识点相对较多㊂概率类试题需要将题意进
行语义转化㊁符号转化或提取数学模型,而很
多同学不能准确把握题目的含义,究其原因
是对概念㊁法则㊁公式㊁定理一知半解,机械模
仿,死记硬背,从而不能正确地解决问题㊂因
此,弄清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵尤
为重要㊂
易错点一㊁忽略概率的非负性致误
例1设X是一个离散型随机变量,
其分布列如表1所示,则q等于()㊂
表1
X-101
P131-2q3q2-q+13
A.23或13
B.13
C.23
D.34
解析:由离散型随机变量的性质可得
1
3+1-2q+3q2-q+1
3=1,即(3q-1)(3q
-2)=0,解得q=13或q=23㊂当q=23时, 1-2q<0,不合题意,所以q=13㊂故选B㊂易错点拨:在求离散型随机变量的分布列时,若概率用字母表示,则需要注意隐含条件:每个概率大于0,利用概率和为1进行
验证㊂
易错点二㊁混淆互斥事件㊁对立事件与相互独立事件致误
例2(多选题)甲㊁乙两个盒子中各装有4个相同的小球,甲盒子中小球的编号依次为1,2,3,4,乙盒子中小球的编号依次为5,6,7,8,同时从两个盒子中各取出1个小球,记下小球上的数字㊂记事件A为 取出的数字之和为偶数 ,事件B为 取出的数字之和等于9 ,事件C为 取出的数字之和大于9 ,则下列结论正确的是()㊂
A.A与B是互斥事件
B.B与C是对立事件
C.A与C不是相互独立事件
D.A与B是相互独立事件
解析:从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果:偶数和奇数㊂而 数字之和为9 是结果为奇数的其中一种情况,所以事件A与B是互斥事件而不是对立事件,选项A正确㊂从两个盒子各取1个小球,结果共有4ˑ4=16(种),其中数字之和为偶数的有8种;数字之和等于9的有4种:5+4,6+3, 7+2,8+1;数字之和大于9的有6种:6+4, 7+3,7+4,8+2,8+3,8+4㊂所以P(A)= 8
16=
1
2,P(B)=
4
16=
1
4,P(C)=
6
16=
3
8㊂因为P(B)+P(C)=58ʂ1,所以B与C不是对立事件,选项B错误㊂事件A C为 取出的数字之和为偶数且大于9 ,其结果有4种:6+4,7+3,8+2,8+4,所以P(A C) =416=14,显然P(A C)ʂP(A)P(C),所以A与C不是相互独立事件,选项C正确㊂因为当取出的数字之和为偶数时,不可能出现取出的数字之和等于9这种情况,所以P(A B)=0,而P(A)P(B)=18ʂ0,所以事件A与B不是相互独立事件,选项D错误㊂故选A C㊂
易错点拨:判断是否为互斥事件㊁对立事件的关键为:互斥事件在一次试验中不能同时发生;对立事件是在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,是互斥事件的一种特
8 2解题篇易错题归类剖析高考数学2023年12月
殊情况㊂对立事件和互斥事件都不可能同时发生,但对立事件必有一个要发生,而互斥事件可能都不发生,所以对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件㊂相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,判断的关键是P (A B )=P (A )P (B )是否成立,而不是单纯地凭借主观感觉进行判断,相互独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥事件一定不是相互独立事件㊂
易错点三㊁混淆条件概率P (B |A )与积
事件P (A B )的概率致误
例3 从1,2, ,10十个数字中,
甲㊁乙两人先后各任取一个数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,则甲取到的数大于乙取到的数的概率为
㊂
解析:设事件A 表示 甲取到的数是5
的倍数 ,事件B 表示 甲取到的数大于乙取到的数 ,可得P (A )=210=1
5
,P (A B )=
C 1
4+C 1
9
C 110C 19
=13
90,所以甲取到的数大于乙取到的数的概率为P (B |A )=P (A B )P (A )=1318㊂故填13
18
㊂
易错点拨:概率P (B |A )与P (A B )
的区别:(1)在P (B |A )中,事件A ,B 发生有时间
上的差异,A 先B 后;在P (A B )
中,事件A ,B 同时发生㊂(2)样本空间不同,在P (B |A )中,事件A 成为样本空间;在P (A B )中,样本空间仍为Ω,因而有P (B |A )ȡP (A B )
㊂易错点四㊁混淆超几何分布和二项分布
的概念致误
例4 4月23日是联合国教科文组织
确定的 世界读书日 ㊂为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查,
得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18],共九组,绘制成如图1所示的频率分布直方图㊂
(1)求这500名学生日平均阅读时间
的图1
中位数(保留到小数点后两位)
㊂(2
)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情
况,从日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3
人,记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ,求X 的分布列和数学期望㊂
(3
)以样本的频率估计概率,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,用P (k )表示这10名学生中恰有k 名学生的日平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k =0,1
,2, ,10㊂当P (k )最大时,写出k 的值,并说明理由㊂
解析:(1)因为前四个矩形的面积之和为(0.02+0.03+0.05+0.05)ˑ2=0.3<0.5,前五个矩形的面积之和为0.3+0.15ˑ2=
0.6>0.5,所以可设中位数为x ɪ(8,10)㊂由中位数的定义可得0.3+(x -8)ˑ
0.15=0.5,解得x =28
3
ʈ9.33
㊂(2)由频率分布直方图可得,这500名学
生中日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16
,18]三组内的学生人数分别为500ˑ0.05ˑ2=50,500ˑ0.04ˑ2=40,500ˑ0.01ˑ2=10
㊂若采用分层抽样的方法抽取了10人,
则从日平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取40
50+40+10
ˑ10=4
(人)㊂从这10人中随机抽取3人,
则X 的可能取值为0,1,2,3,且P (X =0)=
C 36
C 3
10
=
1
6
,P (X =1)=
C 1
4C 2
6
C 3
10
=12,P (X =2)=C 2
4C 1
6
C 310
=310,P (X =3)=C 3
4
C 310
=130㊂所以X 的分布列为表2
㊂9
2解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月
表2X 0123P
1
6
12
310
1
30
数学期望E (X )=0ˑ16+1ˑ1
2
+2ˑ310+3ˑ130=6
5
㊂(3)当k =5时,P (k )
最大㊂原因如下:由频率分布直方图可得,2ˑ(0.02+
0.03+0.05+0.05+0.15+a +0.05+0.04+0.01)=1,解得a =0.10
㊂所以学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率为0.15ˑ2+0.10ˑ2=0.5
㊂设从该地区所有高一学生中随机抽取
10名学生,日平均阅读时间在(8,12]内的学生人数为Y ,则Y ~B 10
,1
2
㊂所以P (k )=C k 10
12 k
1-1
2 10-k
=C k
10
㊃1
2 10
,
其中k ɪ{0,1,2, ,10
},由组合数的性质得,当k =5时,C k
10最大,
则P (k )最大㊂易错点拨:超几何分布描述的是不放回
抽样问题,其特征为:①考察对象分为两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体㊂本题第(2)问 从这10人中随机抽取3
人 ,即为超几何分布㊂二项分布是独立重复试验,并且一次试验中只有两种结果㊂解题时,如果题目中为独立重复㊁有放回抽取㊁总体数过大㊁总体数未知时,一般为二项分布,本题第(3)问 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生 ,该地区所有高一学生总数未知,故为二项分布㊂
易错点五、不能从实际问题中提取出概率模型致误
例5 甲㊁乙㊁丙三人相互做传球训练,
第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人,则下列说法正确的是( )
㊂A.2次传球后球在丙手上的概率是
1
2
B .3次传球后球在乙手上的概率是
1
4
C .3次传球后球在甲手上的概率是1
4
D .n 次传球后球在甲手上的概率是
131--1
2
n
解析:第一次甲将球传出后,2次传球后
的所有结果为:甲乙甲,甲乙丙,甲丙甲,甲丙乙,共4个结果,它们等可能,2次传球后球在丙手中的事件有:甲乙丙,1个结果,
所以概率是
14
,故A 错误;第一次甲将球传出后,3次传球后的所有结果为:
甲乙甲乙,甲乙甲丙,甲乙丙甲,甲乙丙乙,甲丙甲乙,甲丙甲丙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,共8个结果,它们等可能,3次传球后球在乙手中的事件有:甲乙甲乙,甲乙丙乙,甲丙甲乙,3个结果,所以概率为
3
8
,故B 错误;3次传球后球在甲手上的事件为:甲乙丙甲,甲丙乙甲,2个结果,所以概率为
28=1
4
,故C 正确;n 次传球后球在甲
手上的事件记为A n ,则有A n +1=A n A n +1+
A n A n +1,则P (A n +1|A n )=0,P (A n +1|A n )=1
2
,令p n =P (A n ),于是得P (A n +1)=P (A n )P (A n +1|A n )+P ( A n )P (A n +1|A n )=
p n ㊃
0+12(1-p n ),故p n +1=1
2
(1-p n ),即p n +1-
13=-12p n -1
3
,而第一次由甲传球后,球不可能在甲手中,即p 1=0,则有
p 1-
13=-13,所以数列p n -1
3
是以-13为首项,-12为公比的等比数列,所以p n -13
=-
13-1
2
n -1
,即p n =
131--1
2
n -1
,
故D 错误㊂故选C ㊂
易错点拨:对于传球问题,同学们的思路
容易混乱,只能单纯地利用列举法计算前几次传球对应的概率,而解决传球概率问题的关键是需要利用全概率公式找出相邻两次传球后球在甲手上的概率的递推关系,然后利用数列知识求出概率的通项公式㊂
(责任编辑 王福华)
3 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月。