2019年四川省广元市高考数学二诊试卷(文科)解析版

2019年四川省广元市高考数学二诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∩B＝（）
A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）
2．（5分）复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）顶点在原点且以直线x＝为准线的抛物线的方程是（）
A．y2＝6x B．y2＝﹣6x C．x2＝6y D．x2＝﹣6y
4．（5分）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）
A．164石B．178石C．189石D．196石
5．（5分）数列{a n}中，a2＝1，a5＝3，且数列{}是等比数列，则a8等于（）A．7B．8C．6D．5
6．（5分）执存行如图所示程序框图，若输入的a、b分别为5，2，则输出的n等于（）
A．2B．3C．4D．5
7．（5分）已知cosα+2cos（α+）＝0，则tan（α+）＝（）
A．B．C．3D．
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．4πB．C．D．
9．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝﹣2018，其前n项和为S n，若＝5，则S2019的值等于（）A．0B．﹣2018C．﹣2019D．﹣2017
10．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax﹣by+2ab＝0相切，则双曲线C的离心率等于（）
A．B．C．D．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）满足x＜1时，f（x）＝sin x；x≥1时f（x）＝x3﹣9x2+25x+m，若函数f（x）的图象与直线y＝x有四个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）
A．（16，20）B．（﹣20，﹣16）
C．（﹣∞，﹣20）∪（﹣16，+∞）D．（﹣∞，16）∪（20，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝的最大值是．
14．（5分）曲线y＝x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．
15．（5分）已知f（x）＝2|x|+cos x，x∈R，若f（t﹣1）﹣f（1﹣2t）≥0成立，则实数t的取值范围是．16．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段
BC和DC上，且＝，＝，则的最小值为．
三、解答题：（本大题共5小题，第22(或23)小题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．)
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A＝2sin（+C）•sin
（﹣C）．
（1）求角A的值；
（2）若a＝且b≥a，求2b﹣c的取值范围．
18．（12分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率
分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠B1C1A1＝90°，AB1⊥A1C，且AA1＝AC．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；
（2）若AA1＝AC1＝B1C1＝2，求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．
20．（12分）椭圆＝1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1（0，c），F2（0，﹣c），右顶点为B，
且满足＝0．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F2，求证该圆与直线x+2y﹣c＝0恒相切．
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣4ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点，且都小于0．求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数h（x）＝a（a﹣1）lnx﹣x3+3x+f（x），求函数h（x）的单调区间．
选考题：考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂黑，多做按所答第一题计分．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为：，（t为参数）．P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点在直角坐标系下的坐标；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．
23．设函数f（x）＝|2x+l|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
2019年四川省广元市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∩B＝（）
A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）
【分析】由题意求出集合B，然后直接求出交集即可．
【解答】解：集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|x≤1}∩{x|0＜x＜2}＝（0，1]，
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查不等式的求法，集合的基本运算，送分题．
2．（5分）复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】化简复数z＝，求出它的共轭复数，写出在复平面内所对应的点位于第几象限．
【解答】解：复数z＝＝＝﹣+i；
则z的共轭复数＝﹣﹣i，
它在复平面内所对应的点位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
3．（5分）顶点在原点且以直线x＝为准线的抛物线的方程是（）
A．y2＝6x B．y2＝﹣6x C．x2＝6y D．x2＝﹣6y
【分析】利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：y2＝﹣2px（p＞0），依题意可求p的值，从而可得答案．
【解答】解：依题意，设抛物线的方程为：y2＝﹣2px（p＞0），
∵准线方程为x＝，
∴＝，
∴p＝3，
∴抛物线的方程是y2＝﹣6x．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，设出方程y2＝﹣2px（p＞0）是关键，属于中档题
4．（5分）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）
A．164石B．178石C．189石D．196石
【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为＝，
则由此估计总体中谷的含量约为1512×＝189石．
故选：C．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）数列{a n}中，a2＝1，a5＝3，且数列{}是等比数列，则a8等于（）A．7B．8C．6D．5
【分析】根据数列{}是等比数列，其公比为q，设b n＝，求出公比，即可得到＝，解得即可
【解答】解：∵数列{}是等比数列，其公比为q
设b n＝
∴b2＝＝，b5＝＝，
∴q3＝＝，
∴b8＝b5q3＝×＝，
∴＝，
∴a8＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查额运算能力，属于基础题
6．（5分）执存行如图所示程序框图，若输入的a、b分别为5，2，则输出的n等于（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当n＝1时，；
当n＝2时，；
当n＝3时，；
当n＝4时，．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
7．（5分）已知cosα+2cos（α+）＝0，则tan（α+）＝（）
A．B．C．3D．
【分析】由已知求得tanα，然后展开两角和的正切求tan（α+）的值．
【解答】解：由cosα+2cos（α+）＝0，得
cosα+2（cos﹣sin）＝0，
∴2cosα﹣＝0，
则tanα＝．
∴tan（α+）＝．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的正切，是基础题．
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．4πB．C．D．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体，
该几何体由和个底面半径为2，高为3的圆锥构成．
故：＝
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点，三视图和几何体的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝﹣2018，其前n项和为S n，若＝5，则S2019的值等于（）A．0B．﹣2018C．﹣2019D．﹣2017
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可得：＝a1+d为等差数列，{}的公差
为．再利用＝5，即可得出d，再利用求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由等差数列的性质可得：＝a1+d为等差数列，{}的公差为．
∵＝5，
∴＝5，解得d＝2．
则S2019＝2019×（﹣2018）+＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax﹣by+2ab＝0相切，则双曲线C的离心率等于（）
A．B．C．D．
【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式列出方程推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的实轴的两端点分别为A，B，且以线段AB为直径的圆的圆心（0，0），以线段AB为直径的圆与直线ax﹣by+2ab＝0相切，
圆心到直线的距离为d则，
则a2＝3b2又c2＝b2+a2
则，．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质以及直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC＝CA＝CC1，
设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝＝，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．
12．（5分）已知函数f（x）满足x＜1时，f（x）＝sin x；x≥1时f（x）＝x3﹣9x2+25x+m，若函数f（x）的图象与直线y＝x有四个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）
A．（16，20）B．（﹣20，﹣16）
C．（﹣∞，﹣20）∪（﹣16，+∞）D．（﹣∞，16）∪（20，+∞）
【分析】由函数图象的交点与函数的零点的相互转化得：函数f（x）的图象与直线y＝x有四个不同的公共点等价于g（x）＝f（x）﹣x有四个零点，
由利用导数研究函数的图象与最值得：①当x＜1时，g（x）＝sin x﹣x，y＝g（x）在（﹣∞，1）上有一个零点，
②当x≥1时，g（x）＝x3﹣9x2+24x+m，则g′（x）＝3x2﹣18x+24＝3（x﹣2）（x﹣4），即函数在[1，2），
（4，+∞）为增函数，在（2，4）为减函数，由已知有g（x）＝x3﹣9x2+24x+m在[1，+∞）有3个零点，
则，解得：﹣20＜m＜﹣16，得解
【解答】解：由函数f（x）的图象与直线y＝x有四个不同的公共点等价于g（x）＝f（x）﹣x有四个零点，
①当x＜1时，g（x）＝sin x﹣x，则g′（x）＝cos x﹣1≤0，
即g（x）在（﹣∞，1）为减函数，
又g（0）＝0，
即y＝g（x）在（﹣∞，1）上有一个零点，
②当x≥1时，g（x）＝x3﹣9x2+24x+m，
则g′（x）＝3x2﹣18x+24＝3（x﹣2）（x﹣4），
当1≤x＜2或x＞4时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，
即函数在[1，2），（4，+∞）为增函数，在（2，4）为减函数，
又g（1）＝16+m，g（2）＝20+m，g（4）＝16+m，
由已知有g（x）＝x3﹣9x2+24x+m在[1，+∞）有3个零点，
则，解得：﹣20＜m＜﹣16，
综合①②得：
函数f（x）的图象与直线y＝x有四个不同的公共点，则实数m的取值范围为：﹣20＜m＜﹣16，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的交点与函数的零点的相互转化及利用导数研究函数的图象与最值，属中档题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝的最大值是2．
【分析】由约束条件作出可行域，由z＝的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（﹣1，﹣2）连线的斜率，求出DO的斜率得答案．
【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，
z＝的几何意义为可行域内的动点与定点D（﹣1，﹣2）连线的斜率，
∵k DO＝＝2，
∴z＝的最大值是：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）曲线y＝x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y＝﹣3x+2．
【分析】求出函数y＝x3﹣3x2+1在x＝1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．
【解答】解：由曲线y＝x3﹣3x2+1，
所以y′＝3x2﹣6x，
曲线y＝x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x
＝3（1）2﹣6＝﹣3．
＝1
此处的切线方程为：y+1＝﹣3（x﹣1），即y＝﹣3x+2．
故答案为：y＝﹣3x+2．
【点评】本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．15．（5分）已知f（x）＝2|x|+cos x，x∈R，若f（t﹣1）﹣f（1﹣2t）≥0成立，则实数t的取值范围是[0，
]．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+cos x，求出函数的导数，分析可得f（x）在[0，+∞）为增函数，据此分析可得f（t﹣1）﹣f（1﹣2t）≥0⇒f（t﹣1）≥f（1﹣2t）⇒f（|t﹣1|）≥f（|1﹣2t|）⇒|1﹣t|≥|1﹣2t|，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝2|x|+cos x，则f（﹣x）＝2|﹣x|+cos（﹣x）＝2|x|+cos x＝f（x），
则函数f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x）＝2x+cos x，其导数f′（x）＝2﹣sin x＞0，则函数f（x）在[0，+∞）为增函数，则f（t﹣1）﹣f（1﹣2t）≥0⇒f（t﹣1）≥f（1﹣2t）⇒f（|t﹣1|）≥f（|1﹣2t|）⇒|1﹣t|≥|1﹣2t|，
解可得：0≤t≤，
即t的取值范围为[0，]；
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．
16．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段
BC和DC上，且＝，＝，则的最小值为．
【分析】由梯形性质可求DC＝＝1，结合已知及向量加法的三角形法则可表示，，然后由向量数量积的性质及基本不等式即可求解．
【解答】解：等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
∴DC＝＝1，
∵＝2×＝1，
∵＝，＝＝，
∴＝＝＝，
∵＝＝，
＝＝＝，
则＝（）•（）
＝
＝+λ×（﹣1）
＝
当且仅当即λ＝1时有最小值
故答案为：
【点评】本题主要考查了平面向量的基本运算及向量数量积的性质的应用，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性．
三、解答题：（本大题共5小题，第22(或23)小题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文
字说明、证明过程、计算步骤．)
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A＝2sin（+C）•sin
（﹣C）．
（1）求角A的值；
（2）若a＝且b≥a，求2b﹣c的取值范围．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：cos2A＝﹣，结合2A∈（0，2π），可得A 的值．
（2）由b≥a，由（1）可得：A＝，又a＝，由正弦定理可得：＝2，从而利用三角函
数恒等变换的应用可得2b﹣c＝2sin（B﹣），结合范围B﹣∈[，），可得2b﹣c取值范围．
【解答】解：（1）∵cos2C﹣cos2A＝2sin（+C）•sin（﹣C）
＝2（cos C+sin C）（cos C﹣sin C）
＝cos2C﹣sin2C
＝•﹣•
＝+cos2C，
∴﹣cos2A＝，解得：cos2A＝﹣．
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴当2A＝时，解得：A＝，
当2A＝时，解得：A＝．
（2）∵b≥a，∴A为锐角，由（1）可得：A＝，
又∵a＝，
∴由正弦定理可得：＝＝2，
∴2b﹣c＝2（2sin B﹣sin C）＝4sin B﹣2sin（﹣B）＝4sin B﹣（cos B+sin B）＝3sin B﹣cos B＝2sin
（B﹣），
∵B∈[，），B﹣∈[，），可得sin（B﹣）∈[，1），
∴2b﹣c＝2sin（B﹣）∈[，2）．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．
18．（12分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率
分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率P1＝＝，都付4
元的概率P2＝＝，都付6元的概率P3＝，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．
（Ⅱ）设两人费用之和8、10、12的事件分别为A、B、C，P（A）＝＝，P
（B）＝＝，P（C）＝，设两人费用之和大于或等于8的事件为W，则W ＝A+B+C，由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率．
【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，
都付2元的概率P1＝＝，
都付4元的概率P2＝＝，
都付6元的概率P3＝，
∴所付费用相同的概率为P＝P1+P2+P3＝＝．
（Ⅱ）设两人费用之和8、10、12的事件分别为A、B、C，
P（A）＝＝，
P（B）＝＝，
P（C）＝，
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，则W＝A+B+C，
∴两人费用之和大于或等于8的概率：
P（W）＝P（A）+P（B）+P（C）
＝＝．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠B1C1A1＝90°，AB1⊥A1C，且AA1＝AC．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；
（2）若AA1＝AC1＝B1C1＝2，求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．
【分析】（1）连接AC1，由AA1＝AC，可得AC1⊥A1C，又AB1⊥A1C，可得A1C⊥平面AB1C1，则A1C ⊥B1C1，再由∠B1C1A1＝90°，得A1C1⊥B1C1，利用线面垂直的判定可得B1C1⊥平面ACC1A1，则平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；
（2）＝+＝+V，即可求出答案
【解答】（1）证明：如图，连接AC1，
∵AA1＝AC，∴四边形AA1C1C为菱形，则AC1⊥A1C，
又AB1⊥A1C，且AB1∩AC1＝A，
∴A1C⊥平面AB1C1，则A1C⊥B1C1，
又∠B1C1A1＝90°，即A1C1⊥B1C1，且A1C∩A1C1＝A1，
∴B1C1⊥平面ACC1A1，而B1C1⊂平面A1B1C1，
∴平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；（本小题满分12分）
（2）∵＝+＝+V＝××4×2×2＝
故四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，训练了体积的求法，是中档题．
20．（12分）椭圆＝1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1（0，c），F2（0，﹣c），右顶点为B，
且满足＝0．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F2，求证该圆与直线x+2y﹣c＝0恒相切．
【分析】（Ⅰ）由＝0可得b＝c，即可得椭圆的离心率e＝＝．
（Ⅱ）由，可得x0+y0+c＝0，从而可得＝0．（y0≠0）．P（，﹣）．求
得圆心到直线直线x+2y﹣c＝0的距离为d＝，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）F1（0，c），F2（0，﹣c），B（b，0），
∵＝0．∴b2﹣c2＝0，即b＝c．
∴椭圆的离心率e＝＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b＝c，故可设椭圆的方程为，P（x0，y0）．
∵F1（0，c），F2（0，﹣c），∴．
∵，∴x0+y0+c＝0…①
又因为点P在椭圆上，∴…②
由①②可得＝0．（y0≠0）．
可得．
故P（，﹣）．
设圆心为（x1，y1），则，y1＝﹣．
圆的半径r＝．
则圆心到直线直线x+2y﹣c＝0的距离为d＝．
∴圆与直线x+2y﹣c＝0恒相切．
【点评】本题考查了椭圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣4ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点，且都小于0．求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数h（x）＝a（a﹣1）lnx﹣x3+3x+f（x），求函数h（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）有2个极值点且都小于0，
得f′（x）＝3x2+3x﹣4a＝0有2个不相等的负实根，
故，解得：﹣＜a＜0，
故a的范围是（﹣，0）；
（Ⅱ）∵h（x）＝a（a﹣1）lnx+x2﹣（4a﹣3）x+1，x＞0，
h′（x）＝+3x﹣（4a﹣3）＝（3x﹣a）[x﹣（a﹣1）]，
令（3x﹣a）[x﹣（a﹣1）]＝0，得x＝或x＝a﹣1，
令＝0，得a＝0，令a﹣1＝0，得：a＝1，
令＝a﹣1，得：a＝，
①当a≤0时，h′（x）＞0恒成立，
h（x）在（0，+∞）递增；
②当0＜a≤1时，（3x﹣a）[x﹣（a﹣1）]＞0⇔x＜a﹣1或x＞，
h′（x）＞0⇔x＞，h′（x）＜0⇔x＜，
故h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
③当1＜a＜时，＞a﹣1＞0，
h′（x）＞0⇔0＜x＜a﹣1或x＞，h′（x）＜0⇔a﹣1＜x＜，
故h（x）在（0，a﹣1）递增，在（a﹣1，）递减，在（，+∞）递增；
④当a＝时，h′（x）≥0恒成立，
函数在（0，+∞）递增；
⑤当a＞时，0＜＜a﹣1，
h′（x）＞0⇔0＜x＜或x＞a﹣1，h′（x）＜0⇔＜x＜a﹣1，
函数在（0，）递增，在（，a﹣1）递减，在（a﹣1，+∞）递增．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
选考题：考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂黑，多做按所答第一题计分．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为：，（t为参数）．P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．
（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点在直角坐标系下的坐标；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．
【分析】（Ⅰ）把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ＝sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|＝|t0|的值．
【解答】解：（Ⅰ）把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρcos2θ＝sinθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2＝y，
它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．
（Ⅱ）点P的直角坐标为（﹣2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中，
设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0，由题意可知．
把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．
因为，
所以．
【点评】本题主要考查参数方程和极坐标的应用，参数的几何意义，属于基础题．
23．设函数f（x）＝|2x+l|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）＝f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．
【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4成立；
当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；
（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|
≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，
当﹣时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞，9]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。