高中数学 231 直线与平面垂直的判定课时作业 A必修2 试题

卜人入州八九几市潮王学校新田一中高中数学必修二课时作业：.1直线与平面垂直的
断定
根底达标
1．直线m，n是异面直线，那么过直线n且与直线m垂直的平面()．
A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或者无数个D．不存在
解析假设异面直线m、n垂直，那么符合要求的平面有一个，否那么不存在．
答案B
2．给出以下说法：
①假设平面α的两条斜线段PA，PB在α内的射影长相等，那么PA，PB的长度相等；②PO是平面α
的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，假设OQ⊥PO，那么必有OQ⊥AO；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条相交直线a，b都与另一个平面β平行，那么α∥β.
其中不正确的选项是()．
A．①②③④B．①②③
C．①③④D．②③④
答案B
3．空间四边形ABCD的四边相等，那么它的两对角线AC、BD的关系是()．
A．垂直且相交B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交D．不垂直也不相交
解析取BD中点O，连接AO，CO，
那么BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.
答案C
4．如下列图，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，那么图中直角三角形的个数有
________．
解析⇒
⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
答案4
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是________．
解析BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点，均有AP⊥BD1.
答案B1C
6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，那么AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为________．解析如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.由正方
体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，EO＝EF＝
A1D＝，AE＝＝，sin∠EAO＝＝.所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正
弦值为.
答案
7．某个实心零部件的形状是如下列图的几何体，其下部是底面均是正方
体，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1­ABCD，上部是一个底面
与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD­A2B2C2D2.
求证：直线B1D1⊥平面ACC2A2.
证明∵四棱柱ABCD­A2B2C2D2侧面是全等的矩形，
∴AA2⊥AB，AA2⊥AD.又AB∩AD＝A.
∴AA2⊥平面ABCD.
连接BD，∵BD⊂平面ABCD，∴AA2⊥BD.
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
根据棱台的定义知，BD与B1D1一共面．
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面ABCD∩平面BB1D1D＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1.
所以BD∥B1D1，于是，由AA2⊥BD，AC⊥BD，BD∥B1D1，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.
又AA2∩AC＝A，所以直线B1D1⊥平面ACC2A2.
才能提升
8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，那么BC1与平面BB1D1D
所成角的正弦值为()．
A.B.
C.D.
解析如右图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，
连接OB，由A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，
∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，
∴OC1⊥平面BB1D1D.
∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．
∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．
在正方形A1B1C1D1中，OC1＝A1C1＝＝.
在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.
∴sin∠C1BO＝＝＝.
答案D
9．如下列图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，
假设BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，那么a的取值范围是________．
解析因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，
所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，
所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.
①当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一
点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；
②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，
使PQ⊥QD；
③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两
点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
答案[2，＋∞]
10．如下列图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，
点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，那么A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，
∴AB1⊥面A1BCD1，
又D1E⊂面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE，那么DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，
D1E⊥平面AB1F.。