福建省晋江养正中学2013届高三数学10月周练(10)试题 理 新人教A版

某某养正中学2012-2013高三数学（理）周练(10)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只
有一个答案是正确的.
1.若集合M={}
2
1m ，,集合N={}4,2，{
}4,2,1=N M ，则实数m 的值的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D ．4 2. 对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=-，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的 值为（ ）
A ．32-
B ．14
- C ．12 D ．32
4. 函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值X 围为( )
A ．1≥ω
B ．21<≤ω
C ．31<≤ω
D ．3<ω
5. 若b a c b a +===,2||,1||，且a c ⊥，则c b 与的夹角为( A )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
6.在△ABC 中，0
90=∠C ，且CA=CB=3，点M 满足2,BM MA =则CM CB ⋅等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.将函数()sin()(0,0,)f x A x A ωω=≠>的图象向左平移
6
π
个单位得到的图象关于y 轴对称，则ω的值可以为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 8.已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，
则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)
7()8()4(2f f f + 的值等于( )
A ．36
B ．24
C ．18
D ．12
9.已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足
()()
0sin sin sin sin sin sin =-++-++
OA OC A
B B
OA OB B A A OA ，则点O 在（ ）．
A .A
B 边上 B .A
C 边上 C .BC 边上
D .ABC ∆内心
10. 已知234101
()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101
()1234101
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-
，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（ ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.若命题“存在x R ∈，使2
20x x m ++≤"是假命题，则实数m 的取值X 围为_________.
12. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++的值等于______.
13. 若△ABC 中，
3
2π
=∠B ，△ABC 的面积为4，其外接圆半径为3，则△ABC
的周长为_________.
14.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的
规律近似满足表达式25,01,()31(), 1.53
x x x f x x -⎧≤≤⎪
=⎨⋅>⎪⎩，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》
规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过02.0毫克/毫升。

此驾驶员至少要过小时后才能开车．（精确到1小时）
15. 某同学由于求不出积分
1
ln e
xdx ⎰
的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积
分的几何意义”来近似计算积分
1
ln e
xdx ⎰
.他用计算机分别产生10个在[1,]e 上的均匀随机
数(110)i x i ≤≤和10个在[0,1]上的均匀随机数(110)i y i ≤≤，其数据记录为如下表的前两行.
x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx
0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80
则依此表格中的数据，可得积分
1
ln e
xdx ⎰
的一个近似值为.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16.已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2
π
θ∈．
（Ⅰ）求θsin 和θcos 的值； （Ⅱ）若3sin(), 052
π
θωω-=
<<，求cos ω的值
17.某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：
(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；
(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A 行业4家小微企业和 B 行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业中是B 行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列.
18.有一道题目由于纸X 破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在∆ABC 中，已知a =
22cos (
)1)cos 2
A C
B +=，求角A. 经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案0
60A =是唯一确定的，试将条件
补充完整，并说明理由.
19. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①()x
f x p q =⋅；②2
()1f x px qx =++；③2
()()f x x x q p =-+．（以上三式中、,p q 均为常数，且1q >）
（I ）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
（II ）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；
（III ）在（II ）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格
下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．
20．已知函数3
2
()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '.
（Ⅰ）当13a =
时，若不等式1
()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值X 围； （Ⅱ）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方
程1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，
(i) 求()f x 的解析式
(ii)某某数t 的取值X 围.
21. 设函数()|1|,()ln .f x x x m g x x =-+=
（I ） 当0=m 时，求函数)(x f y =的单调区间 （II ）当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值；
（III ）记函数()()()p x f x g x =-，若函数()p x 有零点，求m 的取值X 围.
参考答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只
有一个答案是正确的.
1.若集合M={}
2
1m ，,集合N={}4,2，{
}4,2,1=N M ，则实数m 的值的个数是（ D ） A.1 B.2 C.3 D ．4 2. 对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=-，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的 值为（ A ）
A ．32-
B ．14
- C ．12 D ．32
4. 函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值X 围为( B )
A ．1≥ω
B ．21<≤ω
C ．31<≤ω
D ．3<ω
5. 若b a c b a +===,2||,1||，且a c ⊥，则c b 与的夹角为( A )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
6.在△ABC 中，0
90=∠C ，且CA=CB=3，点M 满足2,BM MA =则CM CB ⋅等于( B ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.将函数()sin()(0,0,)f x A x A ωω=≠>的图象向左平移
6
π
个单位得到的图象关于y 轴对称，则ω的值可以为（ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 8.已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，
则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)
7()8()4(2f f f + 的值等于( B )
A ．36
B ．24
C ．18
D ．12
9.已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足
()()
0sin sin sin sin sin sin =-++-++
OA OC A
B B
OA OB B A A OA ，则点O 在（ C ）．
A .A
B 边上 B .A
C 边上 C .BC 边上
D .ABC ∆内心
10. 已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101
()1234101
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-
，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（ B ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.若命题“存在x R ∈，使2
20x x m ++≤"是假命题，则实数m 的取值X 围为_________.
(1,)+∞
12. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++的值等于______. －1
13. 若△ABC 中，3
2π
=∠B ，△ABC
的面积为4，
其外接圆半径为3，则△ABC
的周长为_________.
解：∵△ABC
，∴根据正弦定理2sin b
R B =
得，2sin 3
b π=7b =
．又1sin 24
ABC S ac B ∆==
，∴15ac =．在△ABC 中，根据余弦定理得， 2222cos b a c ac B =+-，即22230cos 493
a c π
+-=，2234a c +=
∴222
()264a c a c ac +=++=，∴8a c +=，∴△ABC 的周长等于15．
15
14.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的
规律近似满足表达式25,01,()31(), 1.53
x x x f x x -⎧≤≤⎪
=⎨⋅>⎪⎩，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》
规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过02.0毫克/毫升。

此驾驶员至少要过小时后才能开车．（精确到1小时）
4
15. 某同学由于求不出积分
1
ln e
xdx ⎰
的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积
分的几何意义”来近似计算积分
1
ln e
xdx ⎰
.他用计算机分别产生10个在[1,]e 上的均匀随机
数(110)i x i ≤≤和10个在[0,1]上的均匀随机数(110)i y i ≤≤，其数据记录为如下表的前两行.
x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx
0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80
则依此表格中的数据，可得积分
1
ln e
xdx ⎰
的一个近似值为.
21
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16.已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2
π
θ∈．
（Ⅰ）求θsin 和θcos 的值；
（Ⅱ）若3sin(), 052
π
θωω-=
<<，求cos ω的值 （Ⅰ）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，
∴sin cos 21
θθ
=
，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 2
2=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
, 解得255sin ,cos 55θθ==, ∴55
cos ,552sin ==
θθ. …… 6分 （Ⅱ）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<. ∵3
sin(), 5
θω-=
∴ 2
4cos()1sin ()5
θωθω-=--=. …… 8分
∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+-25
5
=. … 13分
17.某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：
(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；
(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A 行业4家小微企业和 B 行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业中是B 行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列.
(Ⅰ)解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值
100.05300.1500.35700.3900.260
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）-----4分
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，3
4
4
4
7
1
(0)
35
C
P
C
ξ===，
31
43
4
7
12
(1)
35
C C
P
C
ξ===，
22
43
4
7
18
(2)
35
C C
P
C
ξ===，
13
43
4
7
4
(2)
35
C C
P
C
ξ===，
所以ξ的分布列为
18.有一道题目由于纸X破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在∆ABC中，已知a=2
2cos()1)cos
2
A C
B
+
=，求角A.
经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案0
60
A=是唯一确定的，试将条件补充完整，并说明理由.
解：2
1cos()
2cos()1)cos21)cos cos
22
A C A C
B B B
+++
=⇔⋅=⇔=
又(0,)
Bπ
∈，所以B=
4
π
.-------------4分
（1）
sin45
b
b
=⇒=-------6分
检验：
sin
sin sin sin45
b a
A
B A
=⇔=⇔=
所以0
60
A=或者0
120
A=，这与已知角A的解为唯一解矛盾.----8分
（2）B=
4
π
，又0
60
A=，所以0
75
C=------------9
00
sin75sin602
c
c
=⇒=
检验：
2sin
sin sin sin75sin
c a
A
C A A
=⇔=⇔=
60
A=--13分
19.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①()x
f x p q
=⋅；②2
()1
f x px qx
=++；③2
()()
f x x x q p
=-+．（以上三式中、,p q 均为常数，且1
q>）
（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
（II ）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；
（III ）在（II ）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格
下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．
解：（I ）根据题意，应选模拟函数2
()()f x x x q p =-+--------------4分
（II ）(0)4f =，(2)6f =，,得：2
4
4
3
(2)1p p q q ==⎧⎧⇒⎨
⎨=-=⎩⎩ 所以32
()694(05)f x x x x x =-++≤≤---------------------------8分
（III ）32()694f x x x x =-++，/2
()3129f x x x =-+
令/
()031f x x x >⇔><或
又[0,5]x ∈,()f x ∴在(0,1),(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减.-------11分
所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. -------13分
20．已知函数32
()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '.
（Ⅰ）当13a =
时，若不等式1
()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值X 围； （Ⅱ）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方
程1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，
(i) 求()f x 的解析式
(ii)某某数t 的取值X 围.
解：（1）当13a =
时，'2
1()23
f x x bx b =++-………1分 若使不等式1()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，只需使2
20x bx b ++>对任意x R ∈恒成立，
即使2
(2)40b b -<成立 ………3分 ∴b 的取值X 围为：（0,1） ………4分
（2）(i)'2
()32()f x ax bx b a =++-
'(1)32()23f a b b a a b ∴=++-=+
又在1x =处的切线垂直于直线230x y +-= 232a b ∴+=
又函数()f x 为奇函数 0b ∴= 1a ∴=
3()f x x x ∴=-………7分 （ii ）
'
2
()31f x x ∴=-
()-f x ∴∞∞的单调增区间为（+);减区间为（……8分
当(1,3t ∈--时，若使关于x 的方程1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数
根，即使1
(1)()4
f t f t -≤-
≤
(t ∴∈………9分
当(t ∈时，若使关于x 的方程1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数
根，即使11(1)=44f t t f -=--或，此时无解 ………10分
当t ∈时，若使关于x 的方程1
()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，
即使11
=44t f f t -≤-<或0，
t ∴∈………11分
当t ∈时，若使关于x 的方程1
()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，
即使11
=()44
t f f t t -≤-<或0，
t ∴∈………12分
当t ∈时，若使关于x 的方程1
()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，
即使11=44t f t f --=或，此时无解 ………13分
当)t ∈+∞时，若使关于x 的方程1
()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数
根，即使11
(()44t f f t f t -=<-≤或，
t ∴∈
综上，可知实数t 的取值X 围为：(⋃⋃………14分
21.解：(Ⅰ)()()()'
311f x x x =--令()'0f x =，
得121,13x x =
=，()f x 区间()110,,,1,1,33⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
分别单调增，单调减，单调增， 于是当13x =时，有极大值14
;327
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭1x =极小值(1)0f =， (Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x 区间()110,,,1,1,33⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
分别单调增，单调减，单调增，
所以当103a <≤
时，()()()2
419F a G a a a ==-≥，特别当13a =时，有()49
G a =； 当113a <≤时，()13F a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则()14432727F G a a a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭=
=≥， 所以对任意的01a <≤，min 4
()27
G a =
（Ⅲ）由已知得()()2123ln 0h x x m g x x x x m t =+-=--+-≥在()0,+∞上恒成立，
()
()()1'
411x x h x x
+-=得
()0,1x ∈时，()'10h x <，()1,x ∈+∞时，()'10h x >，
故1x =时，函数()1h x 取到最小值.
从而1m t ≥+；同样的，()()3
2
220h x f x x m x x m =--=--≥在()0,+∞上恒成立， 由()'
2433h x x x ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭得40,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'20h <，4,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，'
20h >，
故4
3
x =
时，函数()2h x 取到最小值. 从而3227m ≤-，∴32127
t m +≤≤-由m 的唯一性知5927t =-，32
27m =-.。