高中数学第四章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念课件新人教A版必修第一册

6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定： 驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.如果某人喝了 少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液 中酒精含量就以每小时 50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才 可以驾驶机动车．( )
(1,4)，(2,16)，设一次函数为 y＝kx＋b(k≠0)，则bk＋＝b1＝，4， 解得 b＝1，k ＝3，∴y＝3x＋1，当 x＝2 时，y＝7，故不可能是一次函数模型；设二次函
c＝1， 数为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则a＋b＋c＝4，
4a＋2b＋c＝16，
c＝1， ∴a＝92，
b＝－32，
答案 解析
12，1∪(1，＋∞) 因为函数 f(x)＝(2a－1)x 是指数函数，所以22aa－ －11>≠01，，
解得
1 a>2
且 a≠1，所以实数 a 的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．
知识点二 指数函数的解析式 6．已知函数 f(x)＝ax 是指数函数，若 f(2)＝3，则 f(4)的值为( ) A．9 B．3 3 C．2 2 D．0 答案 A
18．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%， 若初始溶液含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13.
(1)写出杂质含量 y 与过滤次数 n 的函数关系式； (2)过滤 7 次后的杂质含量是多少？过滤 8 次后的杂质含量是多少？至少 应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解 (1)过滤 1 次后的杂质含量为1200×1－13＝510×23； 过滤 2 次后的杂质含量为1200×23×1－13＝510×232； 过滤 3 次后的杂质含量为1200×232×1－13＝510×233； …；
14．全球变暖使某地冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%，已知
2018 年该地的冬季冰雪覆盖面积为 m，如果按此速度，从 2018 年起，经过
x 年后，该地冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式是( )
x
x
A．y＝0.95 50 m B．y＝(1－0.05 50 )m
C．y＝0.9550－xm D．y＝(1－0.0550－x)m
D．a>0 且 a≠1
答案 C
解析
12a2－4a＋92＝1， 由指数函数的定义得a>0，
a≠1，
解得 a＝7.
4．若函数 y＝(2a2－6a＋5)ax 是指数函数，则 a 的值为________． 答案 2 解析 由指数函数的定义可得2aa>20－，6aa≠＋15，＝1， 解得 a＝2.
5．已知函数 f(x)＝(2a－1)x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
1
D．f(x)＝x 3
答案 B
解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，因为 f(3)＝8，即 a3＝8，所以 a＝2， 所以 f(x)＝2x.故选 B.
8．若函数 f(x)＝12a－3ax 是指数函数，则 f12的值为(
)
A．2 B．2 2 C．－2 2 D．－2
答案 B
解析
因为函数
f(x)＝12a－3ax
1 D.2
答案 C
解析 由题意得mm2>－0且m－m≠1＝1，1， 解得 m＝2.故选 C.
4．某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易 日，平均每天上涨 5%，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9%，则股民的股 票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )
A．赚 723 元 B．赚 145 元 C．亏 145 元 D．亏 723 元 答案 D 解析 由题意得 10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.99277＝9.9277； 100000－99277＝723，故股民亏 723 元，故选 D.
2
PART TWO
易错特别练
易错点 忽视底数的取值条件 若函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数，求实数 a 的值． 易错分析 解答本题易忽视对底数 a 的约束条件而致误．
正解 ∵函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数， ∴由指数函数的定义，得aa2>－0且4aa＋≠41＝，1， ∴aa＝ >01且或aa≠＝13，， ∴a＝3.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 设 n 个小时后才可以驾驶机动车，由题意得 0.8(1－50%)n＝0.2， 解得 n＝2.故选 B.
7．下列函数关系中，可以看作是指数型函数 y＝kax(k∈R，a>0 且 a≠1) 的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹 的高度与时间的关系(不计空气阻力)
2．函数 f(x)＝(2a－3)ax 是指数函数，则 a＝( )
A．8
3 B.2
C．4 D．2
答案 D
解析 ∵函数 f(x)＝(2a－3)ax 是指数函数， ∴2aa>－0且3＝a≠1，1， ∴a＝2.
3．若 y＝12a2－4a＋92ax 是指数函数，则有(
)
A．a＝1 或 7 B．a＝1
C．a＝7
3
PART THREE
课时综合练
一、单项选择题
1．函数 y＝(6a2－a)ax 是指数函数，则 a 的值是( )
A．－13
1 B.2
1 C.3
D．2
答案 B
解析
a>0， 由题意得6a2－a＝1，
a≠1，
得 a＝12，故选 B.
2．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝81，则 f－12的值为(
过滤 n 次后的杂质含量为510×23n(n∈N*)． 故 y 与 n 的函数关系式为 y＝510×23n(n∈N*)．
(2)由(1)知当 n＝7 时，y＝510×237＝5466475>10100， 当 n＝8 时，y＝510×238＝161420825<10100， 所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求．
)
A．±13
B．±3
1 C.3
D．3
答案 C
解析 由题意，得 f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(2)＝a2＝81，解得 a＝9 或 a ＝－9(舍去)，∴f(x)＝9x，∴f－12＝9－12 ＝13.
3．若函数 y＝(m2－m－1)mx 是指数函数，则 m 等于( )
A．－1 或 2
B．－1
C．2
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
1
PART ONE
知识对点练
知识点一 指数函数的概念
1．以 x 为自变量的四个函数中，是指数函数的为( )
A．y＝(π－1)x B．y＝(1－π)x
C．y＝3x＋1
D．y＝x2
答案 A 解析 由指数函数的定义可知只有选项 A 为指数函数．故选 A.
5．某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…，现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系式是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案 D 解析 分裂一次后由 2 个变成 2×2＝22 个，分裂两次后为 4×2＝23 个，…，所以分裂 x 次后为 2x＋1 个，故选 D.
16．已知某种产品的生产成本每年降低 25%.若该产品 2017 年年底的生 产成本为 6400 元/件，那么 2020 年年底的生产成本为________元/件．
答案 2700 解 析 由 题 意 得 ， 2020 年 年 底 的 生 产 成 本 为 6400×(1 － 25%)3 ＝ 6400×343＝2700 元/件．
8．如表给出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此可判断它最可
能的函数模型为( )
x －2 －1 0 1 2 3
y
1 16
1 4
1 4 16 64
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．幂函数模型
答案 C
解析 由于变量可以取 0，故函数模型不可能是幂函数模型；取点(0,1)，
解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，因为 f(2)＝3，所以 a2＝3，所以 a＝ 3， 所以 f(x)＝( 3)x，所以 f(4)＝( 3)4＝9.故选 A.
7．若函数 f(x)为指数函数，且 f(3)＝8，则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝12x
是指数函数，所以有12a－3＝1， a>0且a≠1，
解
得
a＝8，所以
f(x)＝8x，所以
f12＝8
1 2
＝
8＝2
2.故选 B.
9．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝2，则 f(x)＝________. 答案 ( 2)x
解析 因为 f(x)为指数函数，可设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由题意得 f(2) ＝a2＝2，所以 a＝ 2，所以 f(x)＝( 2)x.
13．某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果 2015 年退耕 8 万公 顷，以后每年比上一年增加 10%，那么 2020 年需退耕( )
A．8×1.14 万公顷 B．8×1.15 万公顷 C．8×1.16 万公顷 D．8×1.13 万公顷 答案 B 解析 根据题意，2015 年退耕 8 万公顷，记为 a2015＝8 万公顷，以后每 年比上一年增加 10%，即是上一年的 1＋10%＝1.1 倍，则 2020 年需退耕为 a2020＝8×1.15 万公顷．故选 B.
A．3000×1.06×7 元 B．3000×1.067 元 C．3000×1.06×8 元 D．3000×1.068 元
答案 B
解析 设经过 x 年，该地区农民人均年收入为 y 元，则依题意有 y＝ 3000×(1＋6%)x＝3000×1.06x，因为从 2014 年年底到 2021 年年底经过了 7 年，故 x＝7，所以 2021 年年底该地区的农民人均年收入为 3000×1.067 元．
17．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面 积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖 水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
答案 19 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1，则荷叶覆盖水面面积 y 与生 长时间的函数关系为 y＝2x－1，当 x＝20 时，长满水面，所以生长 19 天时， 荷叶布满水面一半．
10．若函数 f(x)是指数函数，且 f(－2)＝116，则 f－32＝________.
答案
1 8
解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，∵f(－2)＝116，∴a－2＝116，∴a＝4，∴ f(x)＝4x，∴f－32＝4－32 ＝18.
11．若函数 f(x)是指数函数，且 f(－2)＝14，那么 f(4)·f(2)＝________. 答案 64 解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，因为 f(－2)＝14，所以 a－2＝14，解得 a ＝2，所以 f(x)＝2x，则 f(4)·f(2)＝24×22＝64.
即 y＝92x2－32x＋1，当 x＝－1 时，y＝7，故不可能是二
答案 A
解析 设该地冬季冰雪覆盖面积年平均减少率为 a，∵最近 50 年内覆盖
1
面积减少了 5%，∴(1－a)50＝1－5%，解得 a＝1－0.95 50 .∴从 2018 年起，
经过
x
年后，该地冬季冰雪覆盖面积
y＝m1－1－0.95
1 50
x＝0.95
x 50
m.
15．随着我国经济的不断发展，2014 年年底某偏远地区农民人均年收 入为 3000 元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年 6%的平均增长率 增长，那么 2021 年年底该地区的农民人均年收入为( )
12 ． 已 知 函 数
f(x) 满 足
f(x)
＝
fx＋2，x<0， 2x，x≥0，
则 f( － 7.5) 的 值 为
________．
答案ห้องสมุดไป่ตู้2
解析 由题意得 f(－7.5)＝f(－5.5)＝f(－3.5)＝f(－1.5)＝f(0.5)＝20.5＝ 2.
知识点三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
B．我国人口年自然增长率为 1%时，我国人口总数与年份的关系 C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时 间 t 的函数关系 D．信件的邮资与其重量间的函数关系 答案 B
解析 A 中的函数模型是二次函数；B 中的函数模型是指数型函数；C 中的函数模型是反比例函数；D 中的函数模型是一次函数．故选 B.