线性控制系统的能控性和能观性演示文稿

[例3-3] 有系统如下，试判断其是否能控。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
解 若A的特征值1，2，3互异，将其变换为对角 线阵时，变换矩阵
x5 0
4 x5 0
解 3、4两系统则是状态不完全能控的，为不能控系统。
30 第30页，共2243页0。
[例3-2] 有系统如下，试判断其是否能控。
x
4 1
5 0
x
15u
解 将其变换成约旦型，先求其特征根
4 I A
5 2 4 5 ( 5)( 1) 0
1
得 1 5; 2 1
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态 完全能控在含义上是不同的。
8 第8页，共224页。
几点说明:
1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指 定为零状态，即 x(t f ) 0
2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句 话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时 间[t0, tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情 况下，称为状态的能达性。
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区
间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指 定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系 统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，或简称系统是能控的。
6 第6页，共224页。
上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说 明(如图3-1所示)。
29 第29页，共2242页9。
3.
x1 1
x2
0
x3 0
1
1
0
0 x1 b11
0
x2
0
3 x3 b31
b12 0 b32
u1 u2
x1 1 1
0 x1 b1
x2
1 1
x2
b2
4. x3
1
x3 b3 u
x4
4
1
x4
b4
第一章已经证明，线性变换不改变系统的特
征值，而从上一段可知，若某第i个状态xi不能控，
就是
xi (0的)e自it 由分量不能控，也即相应特征值
的自然模式 不e能it 控，既然系统线性变换不改变
系统特征值，所以不改变系统的能控性。
26 26 第26页，共224页。
3) 推得一般系统的能控性判据如下: 若系统矩阵A的特征值互异，则式(3-12)可变换为
x1 1x1 x2 b1u x2 1x2
(3-10) (3-11)
式(3-11)中只有x2本身，它不受u(t)的控制，而为不能 控的。
从图3-5的方 块结构图来看， 存 在 一 个 与 u(t) 无关的孤立部分。
21 21 第21页，共224页。
通过以上分析，可以得出以下几点结论：
1) 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制 矩阵b。
根据式(3-8)，式(3-9)画出系统的方块结构图 如图3-4所示。
它是一个串联型结构，没有孤立部分，也表明其状
态是完全能控的。
20 20 第20页，共224页。
x
1
0
1
1
x
b01u;
y c1
c2 x
3) 对于式(3-5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，
但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分方程组为
最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数的最小 实现。
4 第4页，共224页。
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下， 状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关，所以只需从 系统的状态方程研究出发即可。
5 第5页，共224页。
一、线性连续定常系统的能控性定义
线性连续定常系统
从式(3-7)可知，x2可以受控制量u的控制， 从式(3-6)又知，x1与u无关, 即不受u控制。
因而只有一个特殊状态
0
x(t) x2(t)
是能控状态，故为状态不完全能控的，因而为不能
控系统。
16 第16页，共2241页6。
就状态空间而言，如图3-2所示。 能控部分是图中粗 线所示的一条线，它属 于能控状态子空间，除 此子空间以外的整个空 间，都是不能控的状态 子空间。
1
0
m
m1
0
0
0
0
n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
14 14 第14页，共224页。
b b1 b2 bn T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶系统， 对能控性加以剖析。
x
1
0
0
2
x
0 b2
u;
y c1
c2 x
x
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y c1
c2 x
x1 1 1 0 x1 0
1.
x2
0
1
0
x2
b2
u
x3 0 0 3 x3 b3
x1 1 1
0 x1 0
x2
1 1
x2
0
2. x3
1
x3 3
x4
4
1
x4
0
x5 0
4 x5 1
1
0 0
0
u1 u2
2
解 1、2两系统属能控系统；
y c1
c2 x
2) 对于式(3-4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分
方程组为
x1 1x1 x2 x2 1x2 b2u
(3-8) (3-9)
虽然式(3-8)与u(t)无直接关系，但它与x2是有联系 的，而x2却是受控于u(t)的，所以不难断定式(3-4)的
系统是状态完全能控的。
19 第19页，共2241页9。
线性控制系统的能控性和能观 性演示文稿
第1页，共224页。
线性控制系统的能控性和能观 性
第2页，共224页。
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的 概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来的，它是 最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的。
状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方
系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控
制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系统的能 控性完全取决于系统的结构、参数，以及控制作用 的施加点。如图3-3所示，控制作用只施加于x2，未施 加于x1，图3-5则相反，这些没有与输入联系的孤立部 分所对应的状态变量是不能控制的。
22 第22页，共2242页2。
在这种情况下，不能简单地按上述3)的判据 确定系统的能控性。
在这种情况下，对单输入系统是不能控的，
对多输入系统则需考察T-1B中，与那些相同特征值对应的 约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关。若它 们线性无关，系统才是能控的。
28 第28页，共2242页8。
[例3-1] 判断下列系统的能控性
再求变换阵
T p1
p2
5 1
1 1
T
1
1 6
1
1 6 5
6 6
31 31 第31页，共224页。
故
T
1b
1 6
1
6
1
6 5 65 1
1 0
得变换后的状态方程
z
T
1 ATz
T
1bu
5 0
0 1
z
10u
T-1b有一行元素为零，故系统是不能控的， 其不能控的自然模式为et。
32 第32页，共2243页2。
假定状态平面中的 P点能在输入的作用下被 驱 动 到 任 一 指 定 状 态 P1, P2, P3,, Pn，那么状态平 面的p点是能控状态。
第7页，共224页7。
假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于 任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在 有限的时间区间[t0, tf]内，将状态转移到状态空间的 任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。
24 24 第24页，共224页。
2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为
x Ax Bu
1) 若令x=Tz，式(3-12)可变为约旦标准型
z Λz T 1Bu
或
z Jz T 1Bu
(3-12)
(3-13) (3-14)
25 第25页，共2242页5。
2) 可以证明，系统的线性变换不改变系统的能控性 条件。
2) 在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素 有 为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微 分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分 量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时 间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=[x1 x2 xn]T是不完全能控的。
如果一个系统至少有一个状态变量是不能控的，则 称此系统不完全能控，或简称为不能控。
11 11 第11页，共224页。
§3-2 线性定常系统能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式 ➢ 一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化 为约旦标准型 ( Aˆ , Bˆ ) ，再根据 Bˆ 阵，确定系统的能 控性; ➢ 另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定 其能控性。
12 第12页，共2241页2。
在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆 的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是 能控系统。
9 第9页，共224页。
3) 在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束 的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否 将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。
10 第10页，共2241页0。
程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。
能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能 力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
3 第3页，共224页。
本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基础 上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则，以 及能控性与能观性之间的对偶关系。
然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和能观系 统的动力学方程化成能控标准型和能观标准型，把不完全 能控系统和不完全能观系统的动力学方程进行结构分解。
23 23 第23页，共224页。
3) 在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总 是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块 的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量
齐次微分方程，而成为不完全能控的。
4) 不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无 关的孤立方块，它对应的是一阶齐次微分方程的 模拟结构图，其自由解是 xi (0)eit，故为不能控的状 态。
一、具有约旦标准型系统的能控性判别
1．单输入系统
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态
方程为
x Λx bu
(3-1)
或
x Jx bu
(3-2)
1
0
2
Λ
3
0
n
12 3 n 即n个根互异
13 第13页，共2241页3。
1 1
1 1
0
0
1
1

m 1
0
J
0
m
三、离散时间系统
只考虑单输入的n阶线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
其中u(k)是标量控制作用,在(k, k+1)区间内是个常值。
能控性定义为: 若存在控制作用序列u(k), u(k+1), u(l-1)能将
第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即： x(l)=0，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态 是能控的。若系统在第k步上的所有状态x(k)都是 能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控 系统。
27 27 第27页，共224页。
4) 应指出，A的特征值互异时，其对应的特征矢量必然互 异，故必然能变换为式(3-13)的对角线型。
但即使A的特征值相同时，其对应的特征矢量 也有可能是互异的，故也有可能变换为式(3-13)的 对角线型。如此，则在J=T-1AT中，将出现两个以 上与同一特征值有关的约旦块。
17 17 第17页，共224页。
式(3-3)系统的方块结构图如图3-3所示。 它是一个并联型 的结构，而对应x1(t)这
个方块而言, 是一个与 u(t)无联系的孤立部分，
而 状 态 x2(t) 受 u(t) 影 响 ， 故x1(t) 不能控的。
18 第18页，共2241页8。
x
1
0
1 0
1 x b2 u;
x
1
0
1
1
x
b1 0
u;
y c1
c2 x
(3-3) (3-4) (3-5)
15 15 第15页，共224页。
x
1
0
0 0
2 x b2 u;
y c1
c2 x
1) 对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其
标量微分方程形式为
x1 1x1 x2 2x2 b2u
(3-6) (3-7)
式(3-13)的形式，此时系统能控性的充分必要条件 是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。
若系统矩阵A的特征值有相同的，则式(3-12) 可变换为式(3-14)的形式，此时系统能控性的充分 必要条件是： ① 在T-1B中对应于相同特征值的部分，每个约旦 块最后一行相对应的元素没有全为0的。 ② T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没 有全为0的。