北京理工大学2022-2022学年第二学期(工科)数学分析B期末试题(A卷)

(工科)数学分析B 期末试题(A 卷)
一. 解以下各题〔每题6分〕
1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求z
u y u x u ∂∂∂∂∂∂,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程.
3. 将⎰⎰+=x x dy y
x dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值. 4. 判断级数∑∞=12
tan 1n n n 和∑∞=-+-1
)1()1(n n n n 的敛散性.
二. 解以下各题〔每题7分〕
1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程 z e y
z x z x 22222=∂∂+∂∂, 求)(u f 的表达式. 2.计算第一类曲面积分⎰⎰∑
=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体
x y x 222≤+内的局部.
3. 设)(x S 函数⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式
的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.
4. 计算曲线积分⎰-+=L
dz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 假设从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向.
三. (8分〕把函数)
3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域. 四. 〔8分〕设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.
五.〔8分〕证明曲面m xyz =0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上
的截距之积为常数.
六.〔8分〕求幂级数∑∞
=---121
)12()1(n n n x n n 的收敛区间及和函数. 七. (8分)计算曲面积分,
)]([])([333⎰⎰∑
-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.
八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ∀, 0)(≥y f ,
1)1(=f , 对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ, 都有0)(2=+-⎰Γy f x xdy ydx , 求)(y f 的表达式.。