吉林省长春市东北师大附中2020届高三第五次模拟考试数学试卷 Word版含解析

第五次模拟考试（数学）学科试卷 考试时间：120分钟试卷满分：150分
本试卷共23题，共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘区. 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
2
4A x R x =∈≥，{}1,0,2,3B =-，则A
B =（ ）
A. {}2,3
B. {}1,2,3
C. {}1,0,2-
D.
{}1,0,1,2,3-
【答案】A 【解析】 【分析】
计算得到(]
[),22,A =-∞-+∞，再计算交集得到答案.
【详解】{}
(][)2
4,22,A x R x =∈≥=-∞-⋃+∞，故{}2,3A B ⋂=.
故选：A.
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
2. 已知复数z 满足()12i 34i z -=+，其中i 为虚数单位，则||z 为（ ） A. 1 2
5 D. 5
【答案】C 【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为()12i 34i z -=+，所以()()()()
34123412121212i i i z i i i i +++=
==-+--+，
所以||z =.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3. 已知双曲线2
2
1y x m
-=的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 0x =
B. 30x y ±=
0y ±= D.
0y ±=
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的几何性质可求3m =，再根据双曲线的渐近线的概念，即可求出结果. 【详解】由双曲线的几何性质可知，14m +=，所以3m =，所以该双曲线的渐近线方程为
0y ±=.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.
4. 已知向量,a b ，||1a =，||2b =，()a b a ⊥-，则|2|a b +=（ ）
A. 4
B.
C.
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知求出a b ⋅，再由向量数列积性质求出2(2)a b +，即可得出结论. 【详解】
2
(),()10a b a a b a a b a a b ⊥-∴⋅-=⋅-=⋅-=，
2
2
222|(2)44121,|a b a b a b b a b a +=+∴⋅==+⋅+=，
||23a b ∴+=.
故选：B.
【点睛】本题考查向量数量积计算，求模长转化为求向量的平方即可，属于基础题. 5. 已知a ，b ，c 是直线，β是平面，
给出下列命题：①若a b ⊥，//b c ，则a c ⊥；②若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ；③若a b ⊥，//b β，则a β⊥；④若a β⊥，//b β，则a b ⊥，其中为真命
题的是（ ） A. ①③ B. ①④
C. ②④
D. ①③④
【答案】B 【解析】 【分析】
根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对四个命题逐一判断，即可得到正确结果. 【详解】对于①，显然正确；
对于②，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行或相交或是异面直线，故②错误； 对于③，若a b ⊥，//b β，则a β⊥或//a β或a 与β相交，故③错误； 对于④，显然正确； 故选：B.
【点睛】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，属于基础题.
6. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，今年（公元2020年）是庚子年，则中华人民共和国成立100周年（公元2049年）是（ ） A. 己未年 B. 辛巳年
C. 庚午年
D. 己巳年
【答案】D 【解析】 【分析】
“天干”以10为周期,“地支”以12为周期,分别对“庚”和“子”向后推算29即可 【详解】由题,2049202029-=,
因为“天干”以10为周期,所以2050年仍为“庚”，故2049年为“己”； 因为“地支”以12为周期,所以2044年仍为“子”,故2049年为“巳”； 故2049年为己巳年. 故选:D
【点睛】本题考查周期性的应用,考查阅读理解能力，属于基础题.
7. 已知0.80.5a =，0.5log 0.8b =，0.8log 0.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.
c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性及1，1
2
为桥梁，可比较三个数的大小. 【详解】
0.50.50.50log 1log 0.8log 0.51b =<=<=，0.8000.50.51a <=<=，
0.80.8log 0.5log 0.81c =>= ∴c b >，c a >
只需比较a ，b 的大小，
1
2
10.82⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
， 1
2
0.51211log 0.8log 22⎛⎫
∴<= ⎪⎝
⎭，
又
0.810.50.52
>=
， ∴0.80.5a =>0.5log 0.8b =，
故b a c << 故选：C
【点睛】本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键，属于中档题.
8. 早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中()rand 是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，*k N ∈），则π的值约为（ ）
A.
m
k
B.
2m k
C. 4m k
-
D.
4m k
【答案】D 【解析】 【分析】
根据[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而2
2
1x y +<表示
14个圆，则4m k π=，故4m k
π=. 【详解】根据程序框图，知[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而22
1x y +<表示14
个圆，如图所示：
则落在阴影部分的面积与正方形面积比为
4m k
π
=，得
4m
k
π=.
故选：D.
【点睛】本题考查了程序框图，几何概型，频率的理解与应用，属于中档题.
9. 函数ln(1)ln(1)
f x x x的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，再判断函数奇偶性，然后取特殊值，利用排除法即可得结果. 【详解】解：定义域为(1,1)
-，
因为ln(1)ln(1)()
f x x x f x，
所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，所以排除A ，B ， 因为1113ln(
1)ln(1
)ln
02
2
2
4
f
，
所以排除D 故选：C
【点睛】此题考查辨别函数图像，一般从函数的奇偶性，函数的零点，特殊点的函数值，函数的单调性等方面运用排除法，属于基础题. 10. 已知2sin 63
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭（ ）
A.
1
9 B. 19
-
C. 59
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值. 【
详
解
】
2sin 2sin 2cos 2cos 212sin 62336
6ππππππααααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=--=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2
211239
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.
故选：A.
【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 11. 若函数cos sin f x
x
a x 在区间ππ
,42
⎛⎫
⎪⎝
⎭
是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,0]-∞
B. (,1]-∞
C. (-∞
D. [1,1]-
【答案】B 【解析】
【分析】
分()f x 单调递增、单调递减两种情况进行讨论，从而可转化为()0f x '≥（或()0f x '≤）恒成立，进而转化为求函数的最值即可． 【详解】因为函数cos sin f x
x
a x 在区间,42
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
是单调函数，
若函数cos sin f x x
a x 在区间,42
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
是单调递增函数，
则sin cos 0f x x a x
在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立；
所以tan a
x 在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立，
又当,42x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，tan 1x ，
，
所以a ∈∅； 若数cos sin f x
x
a x 在区间,42
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
是单调递减函数，
则sin cos 0f x x a x
在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立；
所以tan a
x 在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立，
又当,42x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，tan 1x ，
，
所以1a ≤；
综上所述，(,1]a ∈-∞.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．
12. 如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，侧棱1AA ⊥底面ABC ，P ，Q ，R 分别在棱1AA ，AB ，11B C 上，2AP AQ ==，13B R =，过P ，Q ，R 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）
A. 截面是五边形
B. 截面面积为315
C. 截面将三棱柱体积平分
D. 截面与底面所成的锐二面角大小为
π3
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：以A 为坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，计算截面的法向量得到D 错误，再根据截面的形状计算面积，截面过三棱柱中心得到答案.
【详解】如图所示：以A 为坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，AC 为y 轴，
1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，则)
3,1,0Q
，()002P ,,，37,422R ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
设截面与11A C 的交点为M ，设截面与BC 的交点为N ，设()0,,4M m ，(
)
3(4),,0N
n n -，
设截面的法向量为(),,n x y z =，则()()
(),,3,1,2320
3737
,,,2202222n PQ x y z x y z n PR x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎪
⎨⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
， 取3x =-，则(3,3,3n =--，易知底面的法向量为()10,0,1n =，
则11135cos ,151
n n n n n n
⋅=
=
=⨯⋅D 错误. (
()3,30,,23230n PM m m ⋅=--⋅=-=，2m =，
()
)3,33(4),,23343230n PN n n n n ⋅=--
⋅--=--+=，52
n =
，
故()0,2,4M ，335,,022N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，根据平行平面性质知//MR QN ，计算3MR QN ==， (
)
3333
,,03,1,402222
RM RN ⎛⎫
⋅=--⋅
--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭
，故RM RN ⊥，
故四边形QNRM 为矩形，22PQ PM ==，25RN =， 故1
25852533152
S =
⨯⨯-+⨯=，故AB 正确； 三棱柱的中心坐标为23,2,23O ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
()
233,3,3,2,0232303n OP ⎛⎫
⋅=--⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，则O 在截面上，根据对称性知C 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查了三棱柱的截面问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是______． 【答案】丙
【解析】 【分析】
对甲、乙、丙在这次竞赛中分别获得第一名进行分类讨论，结合简单的合情推理，可得出结论.
【详解】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；
若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意； 若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意. 综上所述，这次竞赛中第一名的是丙. 故答案为：丙.
【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 14. 在ABC 中，60A =，5,7AB BC ==，则AC =______． 【答案】8 【解析】 【分析】
利用余弦定理可得关于AC 的方程，求得AC 即可．
【详解】解：由余弦定理可知222225491
cos 2252
AB AC BC AC A AB AC AC +-+-=
==⋅⨯⋅， 解得8AC =或3-（舍去） 故答案为：8
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用．属于基础题．
15. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 过点B 且与x 轴
垂直，点P 是椭圆C 上异于A B 、的动点，直线AP 与直线l 交于点M ，若OM PB ⊥，则椭圆的离心率是______．
【答案】2
【解析】 【分析】
依题意，不妨取点P 为椭圆的上顶点，表示出直线AM ，从而得到M 的坐标，由两直线垂直，可得斜率乘积为1-，从而得到a 、b 的关系，再求出椭圆的离心率；
【详解】解：不妨取点P 为椭圆的上顶点如图所示，
则AM l ：()b y x a a =+，则(),2M a b ，所以2OM b k a =，又因为PB b
k a
=-，OM PB ⊥，所以1OM PB
k k ⋅=-，所以21b b a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2
21
2
b a =
所以22
12
1122
c b e a a ==-=-= 故答案为：
2
2
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于中档题.
16. 已知函数()()()
2
2
e 2e 4x
x
f x ax a x =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈），当1a =时，
函数()f x 有______个零点；若函数()f x 有四个不同零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】 (1). 3 (2). ()2,e ++∞ 【解析】 【分析】
当1a =时，由()0f x =可得出320x x e x
x e
--=，令x
x t e =，可得出1320t t --=，解得113t =，21t =-，利用导数研究函数x x t e =
的单调性与极值，观察直线1
3
t =、1
t =-与函数x x t e =图象的交点个数，可得此时函数()y f x =的零点个数；令()0f x =，可得出
()2420x
x a x e a x e
--+=，令x x t e =，可得出()224210a t at --+=，解得112t a =-，212t a =
+，由题意可得11
0t e <<，210t e
<<，进而可解得实数a 的取值范围.
【详解】当1a =时，()()
2
23x
x
f x e x e x =--，()010f =>，
令()0f x =可得320x x e x
x e --=，令x x t e =，可得1320t t --=，整理得23210t t +-=，
解得11
3
t =
，21t =-. 对于函数x x t e
=，1x x
t e -'=，令0t '=得1x =，列表如下：
x
(),1-∞
1
()1,+∞
t '
+
-
t
单调递增
极大值
1
e
单调递减
当0x >时，0x
x
t e =
>，如下图所示：
由图象可知，直线1
3
t =
与曲线x x t e =有2个交点，直线1t =-与曲线x x t e =只有1个交点，
所以，当1a =时，函数()y f x =的零点个数为3；
对于函数()()()
22
e 2e 4x x
f x ax a x =-+-，()010f =≠，
令()()()22
240x x f x e ax e a x =-+-=，可得()2420x x a x e a x e
--+=， 令x
x t e =
，可得()2
1240a a t t
-+-=，即()224210a t at --+=， 即()()21210a t a t --⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
由于函数()y f x =有四个不同零点，则关于t 的方程()()21210a t a t --⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦必有两个不等实根1t 、2t ，且11
0t e <<
，210t e
<<， 所以，240a -≠，则2a ≠±，解方程()()21210a t a t --⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦得11
2
t a =
-，21
2
t a =
+， 由题意可得11021102a e
a e ⎧<<⎪⎪-⎨⎪<<⎪+⎩
，解得e 2a >+.
因此，实数a 的取值范围是()2,e ++∞. 故答案为：3；()2,e ++∞.
【点睛】本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，将问题转化为复合函数的零点是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于较难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足11a =，()21n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
【答案】（1）n a n =；（2）21
n n
T n =+. 【解析】 【分析】
（1
）令2n ≥，由()21n n S n a =+得出112n n S na --=，两式作差得出
1
1
n n a a n n -=-，可得出数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是常数列，结合11a =可求得数列{}n a 的
通项公式； （2）求得()
12n n n S +=
，然后利用裂项求和法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 【详解】（1）当2n ≥时，由()21n n S n a =+得112n n S na --=，
两式相减得()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=，化简得1
1
n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
是常数列，且111n a a n ==，n a n ∴=； （2）()()211n n S n a n n =+=+，()12
n n n S +=
，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，
12
11
111111122121223
111n n n T S S S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=
+++
=-+-++
-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
． 【点睛】本题考查利用n S 与n a 之间的关系求通项，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于中等题.
18. 一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了40名学生成绩分组为
[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从这40名成绩在[)50,60，[]90,100之间的同学中，随机选择三名同学做进一步调查
分析，记X 为这三名同学中成绩在[)50,60之间的人数，求X 的分布列及期望()E X ； （2）（ⅰ）求年级全体学生平均成绩x 与标准差s 的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到1）
（ⅱ）如果年级该学科的成绩服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中μ，σ分别近似为（ⅰ）中的x ，
s .若从年级所有学生中随机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成绩在区间
()62,95的概率.（精确到0.01）
5.385≈.若()2,N ξ
μσ，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，
()220.96P μσξμσ-<<+≈
【答案】（1）分布列见解析，1.5；（2）（ⅰ）73分，11；（ⅱ）0.36. 【解析】 【分析】
（1）先求出成绩在[)50,60，[]90,100之间的人数，从而可得X 的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，再列分布列，再根据期望公式求出期望；
（2）（ⅰ）用频率分布直方图中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得的结果全部相加可得平均成绩，再利用标准差公式求标准差，
（ⅱ）由（ⅰ）可知73μ=，11σ=，所以()()62952P P ξμσξμσ<<=-<<+，然后根据正态分布的性质和独立重复试验的概率公式可求得结果.
【详解】解：（1）由直方图，40名同学中成绩在[)50,60，(]90,100之间的同学的人数均为4，
X 的所有可能取值为0，1，2，3
()34381014C P X C ===，()12443
8317C C P X C === ()214438327C C P X C ===，()34381
314
C P X C ===
X 的分布列为
P
114 37 37 114
()1661
0123 1.514141414
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）（ⅰ）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），
()
()()()()2
2222
55730.165730.375730.485730.195730.1
s =
-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯
11622911==≈
（ⅱ）由（ⅰ），()()11
629520.680.960.8222
P P ξμσξμσ<<=-<<+≈
⨯+⨯=， 记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间()62,95”为事件A ， 则()2
2
30.820.180.36P A C =⨯⨯≈．
【点睛】此题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，正态分布等知识，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，4AB =，
60ABC ∠=︒．
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）若PB PD ⊥，求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210
. 【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BD 于点O ，由菱形性质得AC BD ⊥，再根据PA ⊥平面ABCD 得
PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC BD ⊥．
（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.
【详解】解：（1）证明：连接AC 交BD 于点O ． 因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又由于PA
AC A =，
PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
所以BD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ， 所以PC BD ⊥．
（2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB
平面ABCD ，所以PA AD ⊥，
PA AB ⊥，所以PAB PAD △△≌，即PB PD =．
在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，得120BAC ∠=︒，则43BD =，又因为PB PD ⊥，所以26PB PD ==．在Rt PAB 中，22PA =．
取PC 中点E ，连接EO ．在PAC 中，AC 中点O ，所以//EO PA ．又因为PA ⊥平面
ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ．在菱形ABCD 中，AC BD ⊥．
如图，以点O 为坐标原点，分别以向量OB ，OC ，OE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -． 由题意知，()0,2,0C ，()0,2,0A -，
()
D -
，(0,P -，
所以(AP =
，()AD =-，
()2,0DC =
，(0,CP =-．
设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，
则0,0,AP m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即0,0.z y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩所以可取()
1,3,0m =．
设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，
则0,0,DC n CP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即0,
2
20.
y y z ⎧+=⎪-+=⎪⎩
所以可取(1,3,n =-． 所以10cos ,10m n m n m n
⋅=
=
⋅．所以二面角A PD C --的余弦值为10
． 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20. 已知动圆M
过定点()4,0N ，且截y 轴所得弦长为8，设圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）若,A B 为曲线C 上的两个动点，且线段AB 的中点P
到y 轴距离4d =
，求AB 的最大值，并求此时直线AB 方程．
【答案】（1）2
8y x =；（2）12；0AB y ±-=. 【解析】 【分析】
（1）设动圆圆心(),M x y =
（2
）设直线AB 方程为x my n =+，将其与曲线C 的方程联立，得到韦达定理，可求线段AB
的中点P 的横坐标2
44P x m n =+=，可得244n m =-，再根据弦长公式将AB 表示为m 的
函数，根据函数特征求出其最大值，并由此即可求出直线AB 方程. 【详解】解：（1）设动圆圆心(),M x y =，
化简整理得2
8y x =，故曲线C 的轨迹方程为2
8y x =．
（2）设直线AB 方程为x my n =+， 由2
8x my n
y x
=+⎧⎨
=⎩消去x 得2880y my n --=， 所以2
2
=64320,20m n m n ∆+>+>，
设1122(,),(,)A x y B x y ，128y y m +=，128y y n =-，
212124422
P x x y y
x m n m n ++=
=+=+=，244n m =-， 2232(2)64(2)0m n m ∆=+=->，22m <
.
12AB y =-= ===
()()2
2
121282
m m ++-=≤⨯≤，
当且仅当2212m m +=-，即2
1
2
m =（满足22m <）时，取得最大值， 此时22
m n =±
=，直线:0AB y ±-=． 【点睛】本题主要考查了轨迹的求法，同时考查了直线与抛物线的位置关系，属于中等题. 21. 已知函数()2
1cos 2
f x x x =+． （1）求()f x 的最小值；
（2）若不等式cos 2x e x ax +≥+对任意的0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1a ≤. 【解析】 【分析】
（1）先对函数()f x 求导得()sin f x x x '=-，并令()()=h x f x '，再求导得()0h x '≥，注意到()00f '=，所以得()f x 单调区间，根据单调性即可解决. （2）方法1，先验证0
x =不等式成立，再对0x >时，利用分离参数法和洛必达法则求解
即可；方法2，直接移项，构造函数()()cos 20x g x e x ax x =+--≥，求二阶导，再分类
讨论求解即可.
【详解】解：（1）()21cos 2
f x x x =+，()()sin h x f x x x '==-，()1cos 0h x x '=-≥， ∴()sin f x x x '=-在(),-∞+∞上为增函数，又()00f '=，
∴(),0x ∈-∞，()00f '<，()f x 单调递减；
()0,x ∈+∞，()00f '>，()f x 单调递增，
()()min 01f x f ==．
（2）方法1：（分离参数法）
当0x =时，0cos020e a +≥+⨯成立，
当0x >，cos 2cos 2x x
e x e x ax a x +-+≥+⇔≤， 设()cos 2x e x F x x
+-=（0x >） ()()()
()22
sin cos 21sin cos 2x x x e x x e x x e x x x F x x x --+----+'== 设()()1sin cos 2x G x x e x x x =---+，（0x ≥），
()()()cos cos 1cos 0x x G x xe x x x e x x x '=-=-≥-≥∴()G x 单调递增，
又()00G =，∴()0G x ≥，()0F x '≥，
∴()F x 单调递增，∴()()0
lim x F x F x →>． ()000cos 2sin lim lim lim 11
x x x x x e x e x F x x →→→+--===，∴1a ≤． 方法2：设()()cos 20x g x e x ax
x =+--≥，
则()()sin x p x g x e x a '==--， ()cos x p x e x '=-，
∵0x ≥，∴()0p x '≥，∴()p x 单调递增，
①当1a ≤时，()()0=10p x p a ≥-≥，即()0g x '≥，
()g x 单调递增，()()00g x g ≥=恒成立，
②当1a >时，()010p a =-<，()()()()
ln 11sin ln 10p a a +=-+≥， ()(00,ln 1x a ∃∈+⎤⎦，使()()000p x g x '==，
()00,,x x ∈()0g x '≤，()g x 单调递减，
()()00g x g <=，不合题意.
由①②知实数a 的取值范围是1a ≤．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题和不等式恒成立的问题，考查数学运算能力.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为154x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos 24ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）曲线C 与直线l 交于点,A B ，点()1,4M -，求MA MB +的值．
【答案】（1）2cos sin 60ρθρθ--=．22
4x y -=；（2
）【解析】
【分析】
（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，首先将直线的参数方程转化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；
【详解】解：（1）曲线2co 2:s 4ρC θ=，所以()222
cos sin 4ρθθ-=，所以曲线C 的直角坐标方程为22
4x y -=； 直线l
的参数方程为145x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，消参得直线l 的普通方程为260x y --=，由
cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得极坐标方程为2cos sin 60ρθρθ--=．
（2
）将14x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
代入224x y -=
中，得23950t -+=，
1212+953t t t t ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩
，12,t t
均为正，则12MA MB t t +=+=．
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及直线的参数方程的参数的几何意义的应用，属于中档题.
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数()21f x x a x =--+.
（1）当1a =时，解不等式()0f x <；
（2）若对任意0x >，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）32x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解析】
【分析】
（1）当1a =时，不等式210x x --+<，利用分类求解不等式即可，求出结果．
（2）对x 进行分类讨论，分别就02x <<和2x ≥两种情况，结合函数的单调性，即可求得实数a 的取值范围．
【详解】解：（1）当1a =时，()210f x x x =--+<，
原不等式等价于2210x x x ≥⎧⎨--+<⎩或02210x x x <<⎧⎨--+<⎩或0210x x x ≤⎧⎨-++<⎩
， 解得32x >，解集32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
． （2）当02x <<时，()()2131f x x a x a x =--+=-+，
依题意有()130a x +-≤恒成立，则有()2130a +-≤，∴12a ≤
， 当2x ≥时，()()2111f x x a x a x =--+=--，
依题意有()110a x --≥恒成立，则有10a ->，且()2110a --≥，12a ∴≤， 综上，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．。