高等数学——不定积分课件

cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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(6) f (tan x)sec2 xdx
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
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定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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定理. 存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
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定理. 原函数都在函数族
( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 被积函数;
— 积分变量;
公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
x)
d
x
1 x
C0
ln
x
C
提示: 已知 f (x) ex
f (x) ex C0
f
(ln
x)
1 x
C0
f
(ln x
x)
1 x2
C0 x
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3. 若 的导函数为
则
的一个原函数
是( B ).
(A) 1 sin x;
(B) 1 sin x;
(C) 1 cos x; (D) 1 cos x .
2
1 4
(1
2
cos
2x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4
x
)
1 4
(
3 2
2 cos
2x
1 2
cos
4x)
cos 4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
4
x)
dx
3 2
dx
cos
2x
d(2x)
1 8
cos 4x d(4x)
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例13. 求
a2 x2
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
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例17. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec t
x4 1
1) x2
1
dx
(x2
1)(x2 1) 1 x2
1
dx
(x2
1)
dx
1
dx x2
1 x3 x arctan x C 3
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
推论: 若
则
n
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
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例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
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例5. 求
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x
2
a
2
)
3 2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
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例12 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
1 x2
1 x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2
A 2
B A
0 1
A B
1 2
1 2
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第三节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
二、 基本积分表 p170-171
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例2. 求 例3. 求
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三、不定积分的性质
1. k f (x) dx k f (x)dx (k 0) 2. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x) d x
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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例10. 求
易求
u
( x)
若所求积分 f (u)d u 难求， f [(x)](x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
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例16. 求 a2 x2 dx (a 0) .
1 32
cos 4x d(4x)
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
(
1 x ex
1
1 x
ex
) d(x ex
)
ln x ex ln 1 x ex C
x ln x ln 1 x ex C
分析:
1 xex (1
xex )
1 xex xex xex (1 xex )
时
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例2. 求
解:
1 a2
dx
1
(
x a
)
2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u
2
1 arctan u C a
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
提示: 已知 f (x) sin x
求 ( ? ) f (x) 即 ( ? ) sin x
或由题意 f (x) cos x C1 , 其原函数为
f (x) d x sin x C1x C2
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4. 求下列积分:
提示:
(1)
1 x2 (1
x2)
(1 x2) x2 x2 (1 x2 )
(7) f (ex )exdx
(8)
f (ln x)1dx x
de x dln x
dtan x
例6. 求
解: 原式 =
dln x 1 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
(x 1)ex dx xex dx ex dx
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思考与练习
1. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10
10
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f
[ ( x)] ( x)dx
难求
f (u)d u
1 x2
1
1 x
2
(2)
sin 2
1 x cos2
x
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
sec2 x csc2 x
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5. 求不定积分
解：
(e2x ex 1)
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6. 已知
x2 dx A x 1 x2 B dx
— 被积表达式.
若
则
常数C不能丢掉
( C 为任意常数 )
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
x a
)
1
(
x a
)2
d u arcsinu C 1u2
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例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例6. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x
ln
x
C
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例7. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
(
解:
令
x
asin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cost d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
解:
sin2 x cos2 3x
[
1 2
(sin
4
x
sin
2
x)]2
1 4
sin
2
4
x
1 4
2
sin
4
x
sin
2
x
1 4
sin
2
2x
1 8
(1
cos 8x)
sin 2
2x cos
2x
1 8
(1
cos
4x)
∴原式 =
1 4
dx
1 64
cos 8x d(8x)
1 2
sin2 2x d(sin 2x)
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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第二节 不定积分的概念与性质
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
常用恒等变形方法
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,