2017-2018学年高二数学选修4-2教师用书：2-5特征值与

1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义.
2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).
3.利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n
α的简单表示，并能用它来解决问题.
1.特征值与特征向量的定义
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.
2.特征多项式的定义 设A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式.
3.特征值与特征向量的计算
设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：
第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，
求出λ的值.
第二步：将λ的值代入二元一次方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特
征值λ的一个特征向量.
4.A n α(n ∈N *
)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n
α＝λn
α(n ∈N *
).
(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，
λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n
γ＝t 1λn
1α＋t 2λn
2β(n ∈N *
).
1.特征值与特征向量的几何意义如何？
【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.
2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？
【提示】 如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量.因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了.
3.如何求矩阵A 幂的作用结果？
【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
(1)求矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0 2的特征值和特征向量；
(2)判断矩阵A 是否存在特征值和特征向量.
A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 －11 1. 【精彩点拨】 f （λ）→f （λ）＝0→特征值→特征向量 【自主解答】 (1)矩阵A 的特征多项式为：
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2).
令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（λ－1）x ＋0·y ＝0，0·x ＋（λ－2）y ＝0， 解得y ＝0，x 可以为任何非零实数， 不妨记x ＝k ，k ∈R ，且k ≠0.
于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10.
将λ2＝2代入二元一次方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（λ－1）x ＋0·y ＝0，0·x ＋（λ－2）y ＝0， 解得x ＝0，y 可以为任何非零实数， 不妨记y ＝m ，m ∈R ，且m ≠0.
于是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.
因此，矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
00
2的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01. (2)特征矩阵为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤λ－1 1－1 λ－1，特征多项式为(λ－1)2
＋1.
显然(λ－1)2
＋1＝0无实根，因此，A 没有实特征值，没有实特征向量.
1.求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组
⎩⎪⎨⎪⎧（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0，
即可求出特征向量. 2.根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d ，
根据A α＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解.
(1)若将本例(1)中A 变为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3
65
2，则其特征值与特征向量如何求？
(2)求矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
13
0的特征值和特征向量.
【导学号：30650049】
【解】 (1)矩阵A 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－3 －6－5 λ－2.
令f (λ)＝0，即λ2
－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1
＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个不相等的特征值.
将λ1＝8代入二元一次方程组
⎩⎪⎨⎪⎧（λ－3）x ＋（－6）y ＝0，（－5）x ＋（λ－2）y ＝0， ①
即⎩
⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，得5x ＝6y . 它有无穷多个非零解⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
x 56x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，它是属于特征值λ＝8
的一个特征向量.
类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋（－6）y ＝0，
－5x －5y ＝0，即
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，
x ＋y ＝0. 它有无穷多个非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量.
(2)特征矩阵为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
λ－2 －1 －3 λ，
矩阵的方程组是⎩
⎪⎨⎪⎧－3x －y ＝0，
－3x －y ＝0.
解之得y ＝－3x ，(x ，y )＝(t ，－3t )，t 为任意实数，当t ≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤
t －3t 是特征向量.
将λ＝3代入特征矩阵得⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －1－3 3.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，
－3x ＋3y ＝0，得y ＝x ，即(x ，y )＝(t ，t )，t 为任意实数.
当t ≠0时，得到特征向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
t t .
给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2.
(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4
B .
【精彩点拨】 用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A 4
B ＝s λ4
1α1＋t λ4
2α2求A 4
B .
【自主解答】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 －2 1 λ－4＝0， 即(λ－2)(λ－3)＝0， ∴λ1＝2，λ2＝3.
当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21；
当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11＝α1＋α2，
故A 4
B ＝A 4
(α1＋α2) ＝24
α1＋34
α2 ＝16α1＋81α2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11397.
已知矩阵A 和向量α，求A n
α(n ∈N *
)；其步骤为：
(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2. (3)应用A n
α＝s λn
1α1＋t λn
2α2表示A n
α.
已知M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
22
1，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤17，计算M 5
β. 【导学号：30650050】
【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2
－2λ－3.
令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为
α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1.
令β＝m α1＋n α2， 所以求得m ＝4，n ＝－3.
M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ5
2α2)
＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤975969.
(教材第73页习题2.5第1题)求出下列矩阵的特征值和特征向量：
(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4； (2)B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1 0 0
1；
(3)C ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 00
2
.
已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
13
4.
(1)求矩阵M 的逆矩阵；
(2)求矩阵M 的特征值及特征向量.
【命题意图】 本题主要考查特征值与特征向量的计算. 【解】 (1)∵2×4－1×3＝5≠0， ∴M 存在逆矩阵M －1
，
∴M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 45
－15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2
－6λ＋5，
令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，
当λ＝1时，由二元一次方程⎩
⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，
－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，
所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1. 当λ＝5时，
由二元一次方程⎩
⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，
－3x ＋y ＝0，
得3x －y ＝0， 令x ＝1，则y ＝3，
所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13.
1.矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 22
1的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________.
【解析】 因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
22
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11， ∴它的一个特征值为3，特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
【答案】 3 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11
2.已知A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 11
2，则矩阵A 的特征多项式为________.
【导学号：30650051】
【解析】 特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2
－4λ＋4－1＝λ
2
－4λ＋3.
【答案】 λ2
－4λ＋3
3.矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
00
1的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的
特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”).
【解析】 ∵⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 00
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01，
∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10， ∴α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10，
∴α1与α2不共线.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
01
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
10 不共线 4.已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 00 12，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，则A 20
α＝________.
【解析】 矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 00 12的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
10，属于特征值
λ2＝12的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由α＝s α1＋t α2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，s ＝1，t ＝3，∴A 20⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13＝
1×120
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3×1220×⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 3220＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤ 1 3220.
【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 3220
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)。