土体本构模型-高等土力学2014

§1.应力和应变
(一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量
（1）矩阵或向量表示法
土体中一点的应力状态，可以用处于该点的正六面体单
元的表面上的6个（9个）应力分量来表示，即3个正应力分 量 x , y , z ，3个剪应力分量 xy , yz , zx 写成矩阵形式为
x
面体面在几何空间内的八个挂限都有，而 π 面只存在于应力 空间内的第一挂限和与其相对的挂限，其它挂限内的等倾面并
不是π面。空间主对角线也只存在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这两个挂限。
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§1.应力和应变
利用π面可以较好地反映应力状态。图5-4中点M的坐
标代表主应力分量。通过M点作π面。它到原点的距离为
OO 1 3
应力偏量
y z xy yz zx
T
x p y p z p xy yz xz
偏应力
T
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§1.应力和应变
(一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量 （1）矩阵或向量表示法 图5－1中表示了单元体上的这6个应力分量。相应地，也 有6个应变分量，以矩阵表示为
§1.应力和应变
p 和q也可以用八面体应力来表示，如下
p＝ OCT
q 3 2
OCT
ｑ反映了复杂应力状态下受剪的程度，因此常用 来表示剪应力。当σ2=σ3 时，如轴对称的三轴仪试 样受力情况，ｑ＝ σ1- σ3
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§1.应力和应变
可以推知相应的应变分量
体积应变： v 1 2 3
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§1.应力和应变
5. 应力不变量 不随坐标轴的选取而改变
此外，还有下面两个偏应力不变量，它们须与第 一应力不变量Ｉ１相结合形成三个独立的应力分量：
2 2 2 第二偏应力不变量 ： J2 1 1 2 2 3 3 1 6
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图5-6
§1.应力和应变
与应力空间相应，以应变分量为坐标轴形成一个空间，
叫做应变空间。该空间内的一点的几个坐标值就是应变分量 。图5-8所示为主应变空间。它的三个坐标轴分别为 ， 2 1 和 3 。
图5-8
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§1.应力和应变
2.应力路径 在应力空间内，代表应力状态的点移动的轨迹， 叫应力路径。它表示应力变化的过程，或者加荷的方 式。
§1.应力和应变
球应力和偏应力，以及相应的应变分量，实际上
与八面体应力和应变是等效的，仅仅是系数不同。但 在分析能量时，要简单得多。可以推得： 体积变形能 ： 形变能 ：
Wv p v
Ws q s
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§1.应力和应变
对于一组确定的p和q，可以有许多种主应力 分量的组合，解是不确定的。因此，要有第三个分 量。第三个分量常取应力罗德（Lode）参数
x
D
E
T
y z xy yz zx
岩土工程研究所 x y z
xy yz zx
T
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 E D 0 0 1 0 0 ( 1 )(1 2 ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
图5-4
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§1.应力和应变
在主应力空间内，法线与空间主对角线重合的等倾 面，被叫做 π 面。所谓空间主对角线，就是与3个坐标 轴的夹角都相等的线。主应力空间中，在该线上有 1＝ 2＝ 3
八面体面是几何空间（长度坐标系）内的面，π面是在
应力空间内的面。两者坐标系不同，物理概念不同。再者，八
2 2 2 OCT 2 1 2 2 3 3 1 3
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§1.应力和应变
4. 球应力、偏应力及相应应变
在土体本构模型理论中，常常也用球应力、偏应 力以及μ或θ作为应力分量。
球应力也称为平均正应力以p表示
p
q 1 2
2 和 3 ，以三个主 如果应力分量取三个主应力 1 ，
应力分量为坐标轴构成一个直角坐标系，叫主应力空间。 这个空间内一点有三个坐标值，就代表了实际土体中一点 的某种应力状态。图5-4中的M点代表了应力状态 1M ， 2M 和 3M 。
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§1.应力和应变

平面
弹塑性力学： Pi平面为过原点 与空间主对角线 垂直的平面
张量，不宜混用
D
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ij Dijkl kl
§1.应力和应变
注意：
在弹性力学中，法向应力和应变 以拉为正，压为负；而土体一般不能受 拉，土力学中讨论的地基应力、土压力
商业程序中，
多数拉为正
等，都是以压为正，拉为负。因此，土
力学中，应力应变分量的正负规定就与 弹性力学相反，即正面上的负向应力为
1 3

1 1 2 3 3 ( x y z )

偏应力又叫广义剪应力，以q表示
1 2 2 2 3 2 3 1 2
注意：此式也可用6个 应力分量表示
注意：这里的偏应力和Sij的区别，建议这里不用偏应力
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＝
2－ 3 － 1 2
1－ 3
＝
2 2－ 1－ 3 1－ 3
1 3 式中 2－ 3 ， 1 2 ，
为三个应力摩尔圆的直径，见 图5-3
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§1.应力和应变
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。 若 2＝ 1 ，b=1；若 2＝ 3 ,b=0
，可以只用ｐ、ｑ两个分量来构成二维的应力空间，叫p－ q平面，如图5-6所示。在后面的本构模型理论中，常常会
用到这种ｐ－ｑ平面。
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图5-6
§1.应力和应变
二维问题中，
1 p ( 1 3 ) 2
1 q ( 1 3 ) 2
p~q
表示应力状态或应力路径也有优点 P204
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§1.应力和应变
设土体中一点初始应力状态如图 5-9应力空间内Ａ点所示，受力
后变化到Ｂ。从Ａ到Ｂ，可以有
各种方式，如σ１、σ２和σ３按 比例增加；初期σ３增加得多，
σ１和σ２增加得少，而后期反
过来。对于某种加荷方式，代表 应力状态的点将从Ａ沿某种轨迹 移动到Ｂ。加荷过程中，不同的 图9

3
θσ =0~60
§1.应力和应变
应力空间还可以用其他形式的应力分量为坐标。 如果以σｘ，σｙ，σｚ，τｘｙ，τｙｚ和τｚｘ六个应力分量为 坐标，则应力空间是六维空间，无法用图形表示，仅可以 作抽象的理解。
p-q 平面
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第1次
§1.应力和应变
如果忽略第三应力不变量或应力罗德角对变形的影响
x
y z xy yz zx
T
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§1.应力和应变
（2）张量表示法
如果某些量依赖于坐标轴的选取
ij
，并且，当座标变换时，它们的
变换具有某种指定的形式，则这
些量总称为张量。一点的应力分 量就总称为应力张量。
ij
图5-1
ij
x xy xz y yz yx zx zy z


第三偏应力不变量 ： J3
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1 27
21 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2
表示一点应力状态的方法？？
§1.应力和应变
（二）应力空间和应力路径 1．应力和应变空间 为了表示应力状态，表示各应力分量的数值，常常以应 力分量为坐标轴形成一个空间，叫做应力空间。该空间内 的一点的几个坐标值就是相应的应力分量。
偏应变： 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 s 1 2 2 3 1 3 3 广义剪应变
其中 s 表示了复杂受力状态下的剪切变形。对 于轴对称三轴试样的变形，有
2＝ 3
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v 1 2 3
v 2 s 1 3 1 3 3
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加荷方式可以用不同的应力路径 来表示。
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§1.应力和应变
在该面上放一个二维 的直角坐标系，令Y轴与 σ2轴重合，X轴在σ1 的那 一侧。定义到X轴的转角
θσ叫应力罗德角。它就是
与第三应力分量有关的参 数。可以证明，它与罗德 参数间的关系为：
θσ =-30~+30
X，Y轴方向也有另一种定义方式
t an
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应力状态表示方法之一：主应力＋方向余弦 主应力与坐标轴的选择无关， 应变也可用三个主应变分量表示，矩阵形式
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i 1
2 3
T
§1.应力和应变
3. 八面体应力和应变
将坐标系的三个轴顺着三个主
应力方向放，分别以1，2，3表示，如 图5-2所示。再对这个坐标系的8个挂
正，负面上的正向应力为正。不仅正应
力如此，剪应力也如此，以保持一致， 并能套用弹性力学公式。
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§1.应力和应变
2. 主应力应变分量
在正六面体单元中可以找到3个互相垂直的面，其上 剪应力为0，只作用有正应力。这样的面叫正应力面，所
作用的正应力叫主应力。3个面上的主应力按大小排列，
分别为大主应力σ1、中主应力σ2 和小主应力σ3。
2 2
2
§1.应力和应变
OCT
1 3
1 2 2 3 3 1
2 2
2
剪应力τOCT作用在八面体面上还有个方向问题。这决 定于中主应力σ2接近大主应力σ1还是小主应力σ3。
与应力相应，还有八面体面上的应变，正应变和剪应
变分别为
OCT 1 3 1 2 3
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在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方 法：矩阵或张量，不宜混用
§1.应力和应变
（2）张量表示法
偏应力张量
Sij
x p xy xz y p yz yx zx p zy z
注意：在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方法：矩阵或
2 3 1 b 1 3 2
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§1.应力和应变
相应地，也有应变罗德参数
2 2－ 1－ 3 ＝ 1－ 3
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§1.应力和应变
5. 应力不变量 不随坐标轴的选取而改变 第一应力不变量： I1 1 2 3 第二应力不变量： I 2 1 2 2 3 3 1 第三应力不变量： I 3 1 2 3
1 2 3
3p
在π面上，M到空间主对角线的距离
MO
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 ＝
2 q 3
它们分别与应力分量p和q有关。而点M在 π面内的方
位可反映第三个分量。将图5-4中的三个主应力坐标轴，以 及代表应力状态的点M 投影到 π面上，如图5-5所示。
土体本构模型
河海大学 岩土工程科学研究所 朱俊高
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本构关系：材料的应力~应变(~时间)关系 把本构关系写成具体的数学表达形式就是本构方程。 本构模型(本构方程)：反映材料的应力－应变(－时间)关系的数 学模型，即数学表达式。当然，这种数学表达式可能很复杂，而 且包括一系列的数学表达式。 最简单的本构模型：
限分别作等倾面。8个挂限的等倾面围
成了一个正八面体。这些等倾面叫八 面体面。 根据力的平衡关系可以推得正八面体 面上的正应力和剪应力分别为
1 OCT 岩土工程研究所 3 1 2 3
图5-2
OCT
1 3
1 2 2 3 3 1