湖南省长沙市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题

湖南省长沙市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题
一、选择题
1．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量(,αβ不重合)那么下列说法中：
12////n n ①αβ⇔；12n n αβ⊥⇔⊥②；1////v n l α⇔③；1.v n l α⊥⇔⊥④正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．若集合，，则是 （ ）
A ．或
B ．
C ．
D ．
3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．
的一个是（ ）
A.甲的极差是29
B.甲的中位数是24
C.甲罚球命中率比乙高
D.乙的众数是21 4．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ）
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
5．若,,a b c 均为单位向量，且·0a b =，则a b c +-的最小值为（ ）
A 1
B ．1
C 1 D
6．抛物线2
4y x =-的焦点坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．1
(0,)16
-
C ．1(0,)4
-
D ．1(,0)4
-
7．已知抛物线2
:=C y x 的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，若5
||4
AF x =
，则0x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
8．设,a b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的逆命题是 A ．若a b ≠-则a b ≠ B ．若a b =-则a b ≠ C ．若a b ≠则a b ≠- D ．若a b =则a b =-
9．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A.
2
3
B.
43 C.
32
D.3
10．若不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，那么不等式()
()2
112a x b x c ax ++-+>的解
集为 ( ) A ．{|21}x x -<< B ．{|21
}x x x -或 C ．{|03}x x x 或
D ．{|03}x x <<
11．某同学根据一组x ，y 的样本数据，求出线性回归方程y bx a =+$$$和相关系数r ，下列说法正确的是（ ）
A.y 与x 是函数关系
B.y 与x 是函数关系
C.r 只能大于0
D.｜r ｜越接近1，两个变量相关关系越弱
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57921a a a ++=，则13S =（ ） A.36 B.72 C.91 D.182
二、填空题
13．函数()32x
f x e x =-+的单调减区间为______．
14．已知函数，则的极大值为________．
15．函数()f x 是周期为4的偶函数，当[]0,2x ∈时，()()2log 11f x x =+-，则不等式()0xf x >在
[]1,3-上的解集为___________
16．某公司从编号依次为001，002，…400的400个员工中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中相邻两个编号分别为008和033，则样本中最大的编号为________． 三、解答题 17．已知正方形
的边长为2，分别以
，
为一边在空间中作正三角形
，
，延长
到点
，使
，连接
，
.
(1)证明：平面； (2)求点
到平面
的距离.
18．某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况，通过随机抽样，电力公司获得了户居
民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）.
（1）求，的值；
（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第、两组用分层抽样的方法选取户. ①求第、两组各取多少户？
②若再从这户中随机选出户进行入户了解用电情况，求这户中至少有一户月平均用电量在
范围内的概率.
19．已知：已知函数
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a ； （Ⅱ）若a=1，求f （x ）的极值； 20．已知正项等比数列的前项和为
，若
，且
.
（1）求数列的通项公式
； （2）设
，数列
的前项和为
，求证：
.
21．一条光线从点射出,经轴反射后与圆相交于点,且
,求反射光线所在的直线方程.
22．已知函数的图象关于直线
对称，且图象上相邻
两个最高点的距离为.
(1)求和的值；
(2)当
时，求函数
的最大值和最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题
13．(),ln3-∞ 14．
15．()()1,01,3-
16．383 三、解答题
17．（1）见解析；（2）1. 【解析】
试题分析：（1）证线面垂直，先证线线垂直，做出辅助线，根据长度关系，首先证得，再证得
，
，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直；（2）根据条件可得到
平面，进而点到平面的距离等于点到平面的距离，取
的中点为
，连接
，
平面，
为点
到平面
的距离.
解析： (1)连接交
于点，并连接，则，又∵
， ∴，又∵
，∴
，∴， ∵，∴
平面
，∵
平面
，∴， ∵
，，∴
，∴
，
即，∵，∴平面.
(2)由题知，，且，可得四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，∴平面，∵点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，取的中点为，连接，则由(1)可得.
在中，，则，∴，∴平面，即为点到平面的距离.
在中，，得点到平面的距离为1.
18．（1）；（2）①第5、6两组的频数分别为3和2；②.
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图，可知第5组的频率为，由样本容量是50，可得；（2）根据第两组的频数比为,由分层抽样原理可知第两组分别抽取户与户，用列举法求出这户中随机选出户的可能结果，共种，其中户中至少有一户月平均
用电量在范围内的结果，有种，由古典概型概率公式可得结果.
试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知第5组的频率为，即，
又样本容量是50，所以．
（2）①因为第5、6两组的频数比为，
所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，
第5、6两组的频数分别为3和2．
②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件，
第5组的3户记为，第6组的2户记为，
从这5户中随机选出2户的可能结果为：，
共计10个，
其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：
，共计7个．
所以，
答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为．
19．(1)-2； (2)极小值为，极大值为.
【解析】
分析：（1）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求出；（2）通过a=1时，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f（x）的极值.
详解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a，
曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，
2a﹣2=﹣6，a=﹣2
（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）
所以f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．
点睛：本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，注意导函数的零点并不一定就是原函数的
极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）利用且得到关于的方程组，解方程组即得，再写出数列
的通项公式.(2)先求得，再利用裂项相消求,再证明.
详解：（1）由题意得：
∵，∴，即，
解得：或（舍去）
又∵，
∴，∴；
（2）∵，∴，
∴，
又∵为递增数列，的最小值为：
∴.
点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数
列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.
21．和.
【解析】
试题分析：当反射光线的斜率不存在时，反射光线所在的直线方程为；当反射光线的斜率存在时,设反射光线直线方程，利用点到直线的距离公式，求解的值，即可得到直线的方程. 试题解析：
点关于轴的对称点为,
()当反射光线的斜率不存在时,反射光线所在的直线方程为:,
此时,圆心到反射光线的距离为,且圆的半径为,
所以反射光线被圆所截得的弦长,符合题意.
()当反射光线的斜率存在时,设反射光线的斜率为,则反射光线所在的直线方程为即
.
因为反射光线被圆所截得的弦长,且圆的半径为,
所以圆心到反射光线的距离为.
而圆心到反射光线的距离,
即,解得.
所以反射光线所在的直线方程为即.
综上,反射光线所在的直线方程为和.
22．（1）；（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）由题意易得周期为，可得，再由对称轴可得值；（2）利用（1）可得解析式，由范围结合三角函数的性质可得最值．
【详解】
（1）函数图象上相邻两个最高点的距离为，
的最小正周期，，
又图象关于直线对称，
，，
，．
（2）由（1）知，
，，
，，
，，
，．
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．。