变量间的相关关系 公开课一等奖课件

(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄(岁) 身高(cm) 1 78 2 87 3 98 4 108 5 115 6 120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系． [解 ] (1)不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标
平面内，不呈线形．
(2)散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如
[解析]
回归直线一定过点( x ， y )．
2＋3＋4＋5＋6 ∵x＝ ＝4， 5 2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0 y＝ ＝5， 5 ∴回归直线方程 y ＝ b x＋ a 一定过定点(4,5)．
∧ ∧ ∧
[答案] (4,5)
(1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变
量之间是否具有相关关系？
(3)求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相
关指数比较所求回归模型的效果．
2 参考数据： x ＝77.5， y ≈85， z ＝81， ( x － x ) ≈1 050， i i＝1 8
i＝1
(yi － y ) ≈456 ， (zi － z ) ≈550 ， (xi － x )(yi －
据的图形，叫做
散点图． 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 (3)回归分析：
方法 ，叫做回归分析．
(4)回归方程：一般地，设 x 和 y 是具有相关关系的两个 变量，且对应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在一条直线的 附近，若所求的直线方程为 y ＝a＋bx，则
∧
(5)最小二乘法：使离差平方和Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2
∧ ∧
755 b′≈1 050≈0.72，a′＝81－0.72×77.5＝25.20. 所以 y 与 x，z 与 x 的线性回归方程分别是 y ＝0.66x＋33.85， z ＝0.72x＋25.20. 7 又 y 与 x，z 与 x 的相关指数是 R ＝1－ ≈0.98， 456
2
∧ ∧
94 R′ ＝1－ ≈0.83. 550
(2) 若这 8 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下
表： 学生编号 数学分数x 物理分数y 化学分数z 1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92
用变量y与x、 z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数 学的相关程度；
图：
由图可见，具有线性相关关系．
为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上
的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数(已折算为百分制)
从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从
小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95. (1)(理)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中 恰有3位同学的数学和物理分数为优秀的概率；
C43A33A55 1 故所求概率 P＝ A 8 ＝14.
8
(2)变量 y 与 x，z 与 x 相关系数分别是 688 r≈ ≈0.99 32.4×21.4 755 r′≈ ≈0.99 32.4×23.5
可以看出物理与数学，化学与数学的成绩高度正相关． (3)设 y 与 x，z 与 x 的线性回归方程分别是 y ＝bx＋a， z ＝b′x＋a′， 688 根据所给数据，可以计算出 b≈ 1 050≈0.66， a＝85－0.66×77.5＝33.85.
v正相关，选C. [答案] C
2．某地2008·第二季各月平均气温x(℃)与某户用水量y(吨)
如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量y关于月平均
气温x的线性回归方程是( 0 15
∧
25 20
30 28
A. y ＝5x－11.5 C. y ＝1.2x－11.5
(1)相关关系：当自变量的取值
一定
时，因变量的取
值带有 随机性 ，那么这两个变量之间的关系叫做 相关关系．
如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小到 大，这种相关称为
正相关．
反之，如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大 到小，这种关系为 负相关．
(2)散点图：表示具有
相关关系
的两个变量的一组数
2
故回归模型 y ＝ 0.66x ＋ 33.85 比回归模型 z ＝ 0.72x ＋ 25.20 拟合效果要好．
[解析]
∧
∧
B. y ＝6.5x－11.5 D. y ＝1.3x－11.5
∧
∧
带入验证得 y ＝1.3x－11.5.
[答案] D
3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万
元)，有如下统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
∧
7.0
∧ ∧
若 y 对 x 呈线性相关关系， 则回归直线方程 y ＝ b x＋ a 表 示的直线一定过定点________．
2 2 i＝1 i＝1 8 8
∧
8
8
8
y )≈668 ， (xi－ x )(zi－ z )≈755， (yi－ y ) ≈7， (zi
2 i＝1 i＝1 i＝1
8
－ z i)2≈94， 1 050≈32.4， 456≈21.4， 550≈23.5.
∧
[解]
(理)(1)这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理
－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2为最小的方法，叫做 最小二乘法．
1．(2009·海南高考题)对变量x，y有观测数据(x1，y1)(i＝
1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u1，v1)(i＝
1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(
)
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 [解析] 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与
分数均为优秀，则需要先从物理的 4 个优秀分数中选出 3 个 与数学优秀分数对应，种数是 C43A33(或 A43)，然后将剩下的 5 个数学分数和物理分数任意对应， 种数是 A55， 根据乘法原 理， 满足条件的种数是 C43A33A55， 这 8 位同学的物理分数和 数学分数分别对应的种数共有 A88.