第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)

题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2






⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4


B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
− 2 ≥ 2 ( + 2) ×
= −1时等号成立．
1
+1
− 2 = 0，
题型突破·考法探究
题型四：化为单变量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·竞赛）若正实数, 满足 = 2 + ，则 + 2的最小值
= 4 > 0时，等号成立，
( + 4 )的最小值为9．故答案为：9
【方法技巧】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
．
题型突破·考法探究
题型二：直接法求最值
【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足 = 1，则 + 4的最小值等
于
．
【答案】4
【解析】 + 4 ≥ 2 4 = 2 4 = 4，当 = 4，即 = 2， =
是
．
【答案】9
2
>1 ，
【解析】解析一： − = − 1 = 2 ⇒ =
4
4
4
−1
则 + 2 = + −1 = + 4 + −1 = − 1 + −1 + 5 ≥ 4 + 5 = 9，
等号成立时 = 3, = 3．
所以 + 2的最小值是9．
，
2
所以 ≤
，即+
2
≤
2 +2
2
> 0, > 0 ，故选：C
−
2
，
题型突破·考法探究
题型一：基本不等式及其应用
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
1
2
A．当 < 2时， +
B．当 ≥ 2时， + 的最小值是2 2
≥4
−2

C．当 > 0时， +
4

≥4
D．当 > 0时， +
则 + 4的最小值为4．
故答案为：4．
1
时等号成立，
2
题型突破·考法探究
题型二：直接法求最值
【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数 > 0, > 0, + = 1，则2 + 2 的最小
值为
．
【答案】2 2
【解析】∵ > 0， > 0， + = 1，
1
∴2 + 2 ≥ 2 2 × 2 = 2 2+ = 2 2，当且仅当2 = 2 即 = = 时取等号．
2
1，所以
所以 + + 2+ = 2 2 +
2
故
4
+

4
+

18
+
2+
18
+
的最小值为12，
2+
= 4 + 2 = 2 2 + ，
≥ 2 36 = 12，当且仅当2 + = 3时取到等号，
1
1
=1
2 + = 3
=
2 ，故 = 或1．
此时满足
D．2 + 2 ≥ 2 > 0, > 0
C
【答案】
【方法技巧】
1
+
+
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式
【解析】由图知： = 2 = 2 , = − = 2 − =
解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．
2 +2
2
2
在 △ 中， = + =
稿定PPT
=

−
≤
1



++
稿定PPT，海量素材持续更
≤

(��
> 0 , > 0)，当且仅当
新，上千款模板选择总有一
+
= ( − ) +
款适合你

−
=

时等号成立．

+ ≥ 2 + ( > 0, > 0)，当且仅当 − =


题型突破·考法探究
2025年高考数学
一轮复习讲练测
第04讲 基本不等式及其应用
目录
C O N T E N T S
01
考情透视·目标导航
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·题型探究
04
真题练 习 ·命题 洞见
05
课本典例·高考素材
06
易错分析·答题模板
01
考点要求
考题统计
考情分析
（1）了解基本不等式的推
导过程．
2022年II卷第12题，5分
≤
5
4
16 4 +17 2 +1
16 4 +8 2 +1
=
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
2
4
18
【典例3-2】（2024·广东·模拟预测）已知 > 0, > 0，且 = 1，则 + +
的最小


2+
值为
，此时 =
．
【答案】
12
1
或1
2
【解析】因为 =
2
4
18
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、几个重要的不等式
（1） ≥ ∈ , ≥ ≥ , ≥ ∈ .
成立，故D错误，故选：C
题型突破·考法探究
题型二：直接法求最值
【典例2-1】若实数、满足 + 2 = 1，则2 + 4 的最小值为
．
【答案】2 2
【解析】2 + 4 ≥ 2 2 × 4 = 2 2 × 22 = 2 2+2 = 2 2，当且仅当 = 2，
即 =
1
,
（2）基本不等式：如果, ∈ + ，则
+

≥ （当且仅当“ = ”时取等）．
（3）其他变形：


① + ≥
+
（沟通两和 +

与两平方和 + 的不等关系式）
稿定PPT
② ≤
+
+ 的不等关系式）
（沟通两积与两平方和
稿定PPT，海量素材持续更

2 +1
��
当且仅当 = 1时等号成立，
2
，

=2
2 +1
2
2 +1
=
2 +1
2

=2 +
1

1

≥ 2 × 2 × = 4，
故最小值为4.
【方法技巧】
化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本
不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
1
的最小值为1
+1
【答案】C
1
1
【解析】对于A，当 = 0时， + −2 = − 2，故A错误，
2

对于B，当 > 0时， + ≥ 2 2，当且仅当 = 2时等号成立，故B错误，
对于C，当 > 0时， +
4

≥ 4，当且仅当 =
1
4
即

= 4时等号成立，故C正确，
1
对于D，当 > −1时， + 1 + +1 − 1 ≥ 2 − 1 = 1，当且仅当 + 1 = +1即 = 0时等号
3、常见求最值模型



时等号成立．

模型一： + ≥ 2 ( > 0, > 0)，当且仅当 =
模 型 二 ： ( − ) =
=
(−)


时等号成立．
2

模型三：
++
模型四： +
时等号成立．
⋅
+− 2
（
)
2
=
2
(
4


> 0, > 0,0 < < ) ， 当 且 仅 当
题型突破·考法探究
题型四：化为单变量法
【典例4-2】（2024·天津河东·一模）若 > 0, > 0, =
Байду номын сангаас+4+23
2，则 2
的最小值为
+1
．
【答案】4
【解析】由 > 0, > 0, = 2 ⇒ =
故
+4+23
2 +1
=
2
+4+23

2 +1
=
2+42 +24
2
=
1
时取到等号．
4
故答案：2 2．
题型突破·考法探究
题型二：直接法求最值
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）
1

+
1

( + 4 )的最小值为
【答案】9
【解析】
当且仅当
所以
1

+
1

+

=
��
1

1

( + 4 ) = 5 +
4
，即


4
+

≥ 5 + 2 4 = 9，



1，∴2 + 2−
∵ < 0，2 ∈ (0,1)，2− >
即 = 0等号成立，∴D正确．故选：D．
> 2 2 ⋅ 2− = 2，当且仅当2 = 2− ，
题型突破·考法探究
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种

③ ≤
新，上千款模板选择总有一
+
（沟通两积与两和
+ 的不等关系式）
款适合你

④重要不等式：


+

≤ ≤
+

≤
+

, ∈ +
即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
2、均值定理
已知, ∈ + ．
2
故答案为：2 2．
题型三：常规凑配法求最值
题型突破·考法探究
【典例3-1】函数 =
7
B．
4
A．2
2 +1 16 2 +1
4 2 +1
5
C．
4
的最大值是（
）
3
D．
4
【答案】C
【解析】由题意，函数 =
1
9 2
+
16 4 +8 2 +1
=
1+
1
2 +1 16 2 +1
4 2 +1
（2）会用基本不等式解决
2021年乙卷第8题，5分
简单的最值问题．
2020年天津卷第14题，5分
（3）理解基本不等式在实
际问题中的应用．
复习目标：
1、掌握基本不等式的内容
2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题
3、会用基本不等式解决实际问题
高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、
频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不
方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ 中，点O为斜边AB的中点，点D为
斜边AB上异于顶点的一个动点，设 = ， = ，用该图形能证明的不等式为
（ ）．
+
2
A．
B．
≥ > 0, > 0
≤ > 0, > 0
2
+
C．
2
+
≤
2 +2
2
> 0, > 0
2 +1 16 2 +1
4 2 +1 2
=
=
9
1
16 2 +8+ 2

1
1
又由16 2 + 2 ≥ 8，当且仅当16 2 = 2 ，即 = ± 2时等号成立，
所以1 +
9
1
16 2 +8+ 2

即函数
≤
25
16，所以
1+
9
1
16 2 +8+ 2

5
的最大值是4．故选：C．
【答案】D





∵
, 可能为负数，如 = = −1时， + = −2，∴A错误；
【解析】





∵lg, lg可能为负数，如lg = lg = −1时，lg + lg = −2,2 lg ⋅ lg = 2，∴B错误；