河南省漯河市高级中学2018届高三“四模”(12月)数学(文)试卷(含答案)

漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月）
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
2|21x A x -=<，{}=|10B x x -≥，则A B =I ( )
A ．{}|1x x ≤
B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|01x x <≤
D ．{}|01x x << 2.在复平面内，复数
51
1+i i
-的模为（ ）
A B ．
2
C D ．
2
3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且639S =，则34a a +=（ ） A ．31
B ．12
C ．13
D ．52
4.已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m α⊥，l 与m 无交点”是“//l m ，
l α⊥”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点到渐近线的距离为12
5
，且其中一个焦点坐标为
（5,0），则双曲线Γ的方程为（ ）
A ．
221169x y -= B ．221196x y -= C. 2211312x y -= D ．22
1214
x y -= 6.已知向量a r ，b r ，若向量a r 在向量b r
方向上的投影为2，则实数m =（ ）
A ．-4
B ．-6
C. 4
D
7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．1x =为()f x 的极大值点
B ．1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点
D ．1x =-为()f x 的极小值点
8.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
A ．2+23+2 B
．2+23+6 C. 2+22+6 D ．2+22+3
9.已知x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =++的最大值是（ ）
A ．3
B ．5
C.6
D ．7
10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．
4035
2018
B ．
40372019 C.40392020 D ．4041
2021
11.已知三棱锥P ABC -中，AB BC = ，AB BC ⊥，点P 在底面ABC ∆上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为9
2
，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ） A ．2
B ．323D ．3
12.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）
A ．(1)+∞，
B ．(01)，
C.D
．)+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知1,10()10lg ,10x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪≥⎩
，则((3))f f -= ． 14.直线3x ay +=与圆2
2
(1)2x y -+=相切，则切点坐标为 ．
15.
已知函数()sin f x x x ωω=+，若在区间(0,)π上存在3个不同的实数x ，使得()1f x =成立，则满足条件的正整数ω的值为 ． 16.已知21()2b f x x c x =
++（b ，c 为常数）和11
()4g x x x
=+是定义在{}=|14M x x ≤≤上的函数，对于任意的x M ∈，存在0x M ∈使得0()()f x f x ≥，0()()g x g x ≥，且00()=()f x g x ，则()f x 在M 上的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，23a =，且21log a ，23log a ，27log a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点
D ，且(0,)απ∈，点E
的坐标为(-.
（1）若OE OD ⊥u u u r u u u r
，求点D 的坐标；
（2）若(0)OE tOD t =>u u u r u u u r
，且在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2=B α
，b =求a c +的最大值.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，
1
22
PD AD AB ==
=，PD ⊥底面ABCD ，E 为PC 上一点，且2PE EC =.
（1）在PB 上是否存在点F ，使得PB ⊥平面ADF ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.
（2）求三棱锥P EBD -的体积.
20. 已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为1
2
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点F 作一条不与坐标轴平行的直线l ，若l 交椭圆C 与A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD ∆的面积的取值范围. 21. 已知2
()2ln f x x ax x =-+. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若'()f x 为()f x 的导函数，()f x 有两个不相等的极值点1x ，212()x x x <，求122()()f x f x -的最小值.
当时生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1C 的方程为22
3
12sin ρθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为32212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数） （1）求曲线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程； （2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()26f x x =-.
（1）求不等式()1f x x ≤+的解集；
（2）若存在实数x 使不等式()21f x x a +-<成立，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADCBA 6-10:DDBCB 11、12：DA
二、填空题
13. 3 14. (2,1)± 15.3 16.5
三、解答题
17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d
由23a =，且21log a ，23log a ，27log a 成等差数列，得2321272log log log a a a =+， 即2222log (3)log (3)log (35)d d d +=-++，
得2
222log (3)log (3)(35)d d d +=-+，
得2
(3)(3)(35)d d d +=-+，解得1d =或0d =（舍去）.
所以数列{}n a 的通项公式为2=(2)3(2)11n a a n d n n +-⋅=+-⋅=+. （2）因为11111
=(1)(2)12
n n n b a a n n n n +==-++++， 所以111111111111
2334451112
n S n n n n n n =
-+-+-++-+-+-
-+++L 11222(2)
n n n =
-=++. 18.解：（1
）由题意，(OE =-u u u r ，(cos ,sin )OD αα=u u u r
，
因为OE OD ⊥u u u r u u u r ，所以cos 0OE OD αα⋅=-+=u u u r u u u r ，即tan α=.
又(0,)απ∈，所以=
6
π
α，cos 2α=
，1sin 2
α=，
所以点的坐标为1
(
)22
. （2）由(0)OE tOD t =>u u u r u u u r
知，向量OE uuu r ，OD uuu r 同向平行，
易知直线OE 的倾斜角为
23π，所以2=23B πα=，即3
B π=. 由正弦定理得sin sin sin a b c
A B C
==
2sin a A = 2sin c C =
=2[sin sin()3
a c A A π
+++
3
(sin ))26A A A π=+=+
(0,)A π∈Q ∴当=
3
A π
，max ()a c +=
19.解：（1）在DAB ∆中，60DAB ∠=︒Q ，1
22
AD AB =
=,∴由余弦定理可得， 2222cos6012DB AD AB AD AB =+-⋅︒=，222AB AD DB ∴=+，
90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥.
PD ⊥Q 底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ,AD PD ∴⊥,
PD DB D =Q I ，PC ⊂平面PDB ，BD ⊂平面PDB ，AD BD ⊥，PD AD ⊥ ， AD ∴⊥平面PDB ，又PB ⊂平面PDB ，AD PB ∴⊥.
过D 点作DF PB ⊥于点F ，连接AF ，则可知PB ⊥平面ADF ，2PD =Q ，
212DB =，90PDB ∠=︒，4PD ∴=,由2PD PF PB =⋅，可得1PF =，
∴存在点F ，使得PB ⊥平面ADF ，此时1PF =.
（2）由（1）得DB =Q 底面ABCD 为平行四边形
1
2
DBC ADB S S AD DB ∆∆∴==
⋅=2PE EC =Q ，2
3
DPE DPC S S ∆∆∴=，2233
P EBD B EBD B DPE B DPC
P DBC V V V
V V -----====
11233P DBC DBC V S PD -∆=⋅=⨯=Q
，P EBD V -∴=.
20.解：（1）Q 椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为1
2
，
24a ∴=，1
=2
c e a =
，又222a b c -=， 2a ∴=
，b =
则椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=. （2）D Q 是点A 关于原点的对称点，∴原点O 是线段AB 的中点，
则001222
ABD ABO S S AB d AB d ∆∆==⨯⨯⨯=⨯（0d 为点O 到直线l 的距离）， 由直线l 过右焦点F ，且不与坐标轴平行，可设直线l ：1x my =+，0m ≠，
联立方程得22
13412
x my x y =+⎧⎨+=⎩，得22
(34)690m y my ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则122122634934m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
，
得
212212(1)
34
m AB y y m +=-==+
.
又0d =
，
则
2
222
12(1)12
1 34343(1)1
ABD
m
S
m m m
∆
+
====
++++
，
令(1,)
t=+∞，则
1
3
y t
t
=+在(1,)
+∞上单调递增，则
1
3(4,)
t
t
+∈+∞，
则
12
(0,3)
1
ABD
S
∆
=∈，即ABD
∆的面积的取值范围为(0,3)
21.解：（1）当1
a=时，2
()2ln(0)
f x x x x x
=-+>，
222
1221(1)
'()220
x x x x
f x x
x x x
-+-+
=-+==>，
所以()
f x在区间(0,)
+∞上单调递增.
（2）
2
1221
'()22
x ax
f x x a
x x
-+
=-+=，
由题意得，
1
x和
2
x是方程2
2210
x ax
-+=的两个不相等的正实根，则12
12
2
2
1
2
480
a
x x
a
x x
a
⎧
+=>
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
∆=->
⎪
⎪
⎩
，解得a>
11
221
ax x
=+，2
22
221
ax x
=+.
由于
22
a
>
，所以
1
(0,
2
x∈
，
2
()
2
x∈+∞.
所以22
12111222
2()()2(2ln)(2ln)
f x f x x ax x x ax x
-=-+--+
22
121221
=242ln2ln
x x ax ax x x
--+-+
222
12
1
=2ln1
x
x x
x
-+--
32
2222
2121=ln 12()
x x x x x -+-- 22
222213ln 2ln 2122
x x x =-
+---. 令221
()2t x t =>，13
()ln 2ln 2122
g t t t t =-
+---，则 2222
13231(21)(1)
'()12222t t t t g t t t t t -+--=+-==， 当
1
12
t <<时，'()0g t <；当1t >时，'()0g t >. 所以()g t 在1
(,1)2
上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
则min 14ln 2
()(1)2
g t g +==-，
所以122()()f x f x -最小值为14ln 2
2
+-.
22.解：（1）由22
31sin ρθ
=+，得222
2sin 3ρρθ+=， 则2
2
2
23x y y ++=，即2
213
x y +=， 所以曲线1C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩，（α为参数）.
由=2+212
x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，整理得2
C
的普通方程为20x --=. （2）设曲线1C
上任意一点,sin )P αα，点P
到直线20x --=的距离
d =
=
.
因为2)224
π
α≤+
-≤
，所以2
02
d ≤≤
，
即曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围是20,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
23.解：（1）由()1f x x ≤+得，261x x -≤+，当3x ≤时，261x x -+≤+， 得
5
33
x ≤≤， 当3x >时，261x x -≤+，得37x <≤. 所以不等式()1f x x ≤+的解集为5|73x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. （2）将问题转化为min
()21f x x a ⎡+-⎤<⎣⎦
成立即可.
因为()2|1|2|26|2|1|2|(3)(1)|=4f x x x x x x +-=-+-≥---， 所以实数a 的取值范围为(4,)+∞（.。