高考数学一轮复习第六章数列专题研究1递推数列的通项

1 (2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋n)，求an.
【解析】 1 方法一：∵an＋1＝an＋ln(1＋n)，
n＋1 n ∴an＋1－an＝ln n ，∴an－an－1＝ln ， n－1 n－1 2 an－1－an－2＝ln ，…，a2－a1＝ln1. n－2 n－1 n 2 ∴an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln1＝lnn. n－1 n－2 又a1＝2，∴an＝lnn＋2.
【解析】 原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
an ＋1 n a2 1 a3 2 a4 3 an ∵an＋1＋an>0，∴ a ＝ .则a ＝2，a ＝3，a ＝4，…， ＝ n＋1 an－1 n 1 2 3 n－1 an 1 1 n ，逐项相乘，得a1＝n，又 a1＝1，故 an＝n. 【答案】 1 n
【解析】 累加法：由已知得，当 n≥1 时，an＋1＝[(an＋1－an)
－ － ＋1)
＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n 1＋22n 3＋…＋2)＋2＝22(n
－1
.而 a1＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1. 【答案】 an＝22n－1
(2)如下图，它满足：①第 n 行首尾两数均为 n；②表中的递 推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2)第 2 个数是________. 1 2 3 4 5 6 … … 16 … 11 25 … 7 14 25 … 3 7 2 2 4 11 16 … 5 6 … …
★状元笔记★ a2 a3 an 利用恒等式 an＝a1·a ·a … (an≠0)求通项公式的方法称 a 1 2 n－1 为累乘法．累乘法是求形如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的 基本方法，其中 g(n)可求前 n 项积．
2 n 思考题2 已知数列{an}满足a1＝ 3 ，an＋1＝ an，求通 n＋2 项公式an.
题型四
an－1 (2)数列{an}中，a1＝1，且当 n≥2 时，an＝ ，求通项 2an－1＋1 公式 an.
an－1 1 1 【解析】 将 an＝ 两边取倒数，得a － ＝2，是一个等差数列， 首项是a ＝1， 公差为 2， 所以a ＝1＋(n－1)×2 n 1 n 1 ＝2n－1，即 an＝ . 2n－1 【答案】 1 an ＝ 2n－1
专题研究一 递推数列的通项的求法
专 题 讲 解
题型一
累加法[a n ＋1 ＝a n ＋f(n )型]
(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式 an＝________．
【解析】 ∵an＋1＝an＋n＋1，∴a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an ＝ an － 1 ＋ n ，以上 n － 1 个式子相加，得 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ＝ n（n＋1） ＋1. 2 【答案】 n2＋n＋2 2
【解析】 设第 n 行的第 2 个数为 an，不难得出规律 an＋1＝ n2－n＋2 an＋n，累加得 an＝a2＋2＋3＋…＋(n－1)＝ . 2 n2－n＋2 【答案】 2
题型二
累乘法[a n ＋1＝a n ·f(n )型]
设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2 ＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式是 an＝________．
an＋1 n 【解析】 由已知得 a ＝ ，分别令 n＝1，2，3，…，(n n＋2 n a2 a3 a4 an 1 2 －1)，代入上式得 n－1 个等式累乘，即a ·a ·a ·…· ＝ × an－1 3 4 1 2 3 n－2 n－1 3 4 an 2 × 5 × 6 ×…× n × ，所以 a ＝ . 即 n≥2 时， an ＝ n＋1 n （ n ＋ 1 ） 1 4 2 4 .又因为 a1＝3也满足该式，所以 an＝ . 3n（n＋1） 3n（n＋1） 4 【答案】 an＝ 3n（n＋1）
1 方法二：∵an＋1＝an＋ln(1＋n)， n＋1 ∴an＋1－an＝ln n .又a1＝2， n ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ n－1 n－1 2 ln ＋…＋ln1＋2＝lnn＋2. n－2 即an＝lnn＋2. 【答案】 an＝lnn＋2
★状元笔记★ 通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．
思考题3 (1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝an2(n是正整 数)，则它的通项公式an＝________．
【解析】 由题意知an>0，将an＋1＝an2两边取对数，得lgan＋1＝ lgan＋1 2lgan，即 lga ＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，公比为2 n 的等比数列． lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即an＝32n－1. 【答案】 32n－1
★状元笔记★ 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方 法称为累加法．累加法是求形如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公 式的基本方法，其中f(n)可求前n项和．
思考题 1 (1)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n 1，
－
求数列{an}的通项公式．
题型三
换元法[构造新数列]
4 13 已知数列{an}，其中a1＝ 3 ，a2＝ 9 ，且当n≥3时，an－ 1 an－1＝3(an－1－an－2)，求通项公式an.
【解析】
设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为
1 bn－1＝3bn－2，{bn}是一个等比数列． 13 4 1 1 b1＝a2－a1＝ 9 －3＝9，公比为3，故 1 n－2 1 1 n－2 1 n bn－1＝b1·(3) ＝9(3) ＝(3) . 1n 3 11n 故an－an－1＝(3) .由累加法，可得an＝2－2(3) . 【答案】 3 11n an＝2－2(3)