(完整)平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间的位置关系
[学习目标］1。

了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示。

2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示。

知识点一直线与平面的位置关系
1。

直线与平面的位置关系
位置关系定义图形语言符号语言
直线在平面内有无数个公共点a⊂α
直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A
直线与平面平行没有公共点a∥α
2。

直线与平面的位置关系的分类
（1)按公共点个数分类
错误!
（2)按直线是否在平面内分类
错误!
思考“直线与平面不相交"与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
答不是。

前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行。

知识点二两个平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示公共点
平面α与平面β平行α∥β没有公共点
平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线
思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？
答这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面。

题型一直线与平面的位置关系
例1 下列命题中,正确命题的个数是（）
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α。

A.0 B。

2 C。

1 D。

3
答案 C
解析如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
AA′∥BB′,AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C,A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确;④显然正确。

故答案为C.
跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线,α表示平面）,①若a∥b，b⊂α，则a∥α;②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是（）
A。

0 B.1 C.2 D.3
答案A
解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD,故③错误;
A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.
题型二平面与平面的位置关系
例2 以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。

A.③④
B.②③④
C.②④ D。

①④
答案A
解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误。

跟踪训练2 两平面α,β平行,a⊂α，下列四个命题:
①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点。

其中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3 D。

4
答案B
解析①错误，a不是与β内的所有直线平行,而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确。

分类讨论思想
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.
分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论。

解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1,如图：
②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D,如图：
③当点Q不与点D，D1重合时,截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：
1。

如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( ）
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C。

无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
2.下列命题中，正确的命题是（)
A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点
D。

若a⊄α，则a与α没有公共点
3。

下列命题中，正确的有( )
①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行。

A.1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个
4。

与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ）
A。

都平行 B。

都相交
C。

在两个平面内 D。

至少与其中一个平面平行
5.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
一、选择题
1。

若a，b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥αB。

相交
C。

b⊂αD。

b⊂α、相交或平行
2。

与同一平面平行的两条直线( )
A.平行B。

相交
C。

异面 D.平行、相交或异面
3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A。

α内的所有直线均与a异面 B。

α内不存在与a平行的直线
C。

α内的直线均与a相交 D。

直线a与平面α有公共点
4。

以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l;
④若n条直线中任意两条共面,则它们共面.
其中正确的是（）
A.①②
B.②③ C。

③④ D.①③
5.过平面外一条直线作平面的平行平面（)
A。

必定可以并且只可以作一个 B。

至少可以作一个
C.至多可以作一个
D.一定不能作
6。

下列命题正确的是（)
①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；
②两个平面平行,其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；
③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；
④两个平面平行，各任取两平面的一条直线,它们不相交.
A。

① B.②③④ C.①②③ D.①④
7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个
B.3个
C.4个 D。

5个
二、填空题
8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________（填序号）.
①不可能只有两条交线; ②必相交于一点;
③必相交于一条直线; ④必相交于三条平行线.
9。

下列命题正确的是________。

①如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;②若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β;③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∩β＝b，a ⊂α，则a与β一定相交。

10。

给出下列几个说法:
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行。

其中正确有________个.
三、解答题
11。

如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论。

12.如图,已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α,点C∈β，且A∉l，B∉l,直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论。

当堂检测答案
1.答案D
解析直线a∥平面α,则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
2.答案C
解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.
3.答案B
解析②中,也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.
4。

答案D
解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行。

5。

答案①②
解析对于①，两个平面相交,则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD －A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误。

课时精练答案
一、选择题
1。

答案D
解析如图所示，选D。

2.答案D
解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况:平行、相交或异面.
3.答案D
解析若直线a不平行平面α,则a∩α＝A或a⊂α,故D项正确.
4.答案D
解析对于①，正确;对于②，逆推“α与β相交"推不出“a与b相交"，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例:正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错。

所以正确的是①③。

5。

答案C
解析因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.
6。

答案B
解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确,可根据线面平行的定义或面面平行的定义或
观察几何体模型进行判断。

7.答案B
解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D。

二、填空题
8。

答案①
解析空间的三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.
9.答案①③
解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交,②不正确;
对于③，若a与b相交,则α与β相交与条件矛盾，③正确；
对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交,④
不正确.
10.答案1
解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误;②由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误;③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④正确.
三、解答题
11。

解a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ,
∵α∥β，a⊂α，b⊂β，
∴a、b无公共点。

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a⊂α,∴a与β无公共点，∴a∥β。

12。

解平面ABC与β的交线与l相交。

证明如下：
∵AB与l不平行，且AB⊂α,l⊂α,
∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，
则P∈AB,P∈l。

又∵AB⊂平面ABC,l⊂β，
∴P∈平面ABC，P∈β。

∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P,C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交.。