信号与系统分析PPT电子教案第四章连续时间系统的复频域分析

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(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 )F (s)
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号(有始信号),即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
微分方程的拉氏变换解
设LTI系统的激励为f(t),响应为y(t),描述n 阶系统的微分方程的一般形式可写为
N (s) D(s)
例:描述某LTI连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t) 已知输入f(t)=ε(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。 试求系统的零输入响应 解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得
s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s) =2sF(s)+6F(s) 即
bm
d
m f (t) dt m
L
bmsmF (s)
bm1
d
m1 f (t) dt m1
L
bm 1s m 1F
(s)
b1
df (t) dt
L
b1sF
(s)
L
b0 f (t) b0F (s)
(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) [bmsm bm1sm1 b1sb0 ]F (s) (ansn1 an1sn2 a1) y(0 ) (ansn2 an1sn3 a2 ) y(0 ) (ans an1) y(n2) (0 ) an y(n1) (0 )
利用时域微分性质,有
an
d n y(t) dt n
L
an [ s nY
(s)
sn1 y(0 )
sn2
y(0 )
y
(
n
1)
(0
)
an1
d
n1 y(t) dt n 1
L
an1[sn1Y
(s)
sn2
y(0 )
y(n2) (0 )
a1
dy(t) dt
L
a1[sY
(s)
y(0 )]
L
a0 y(t) a0Y (s)
Yzs (s)
2(s 3) s2 3s 2
1 s
2(s 3) s(s 1)(s
2)
3 4 1 s s 1 s 2
Yzi (s)
2s 7 s2 3s
2
(s
2s 7 1)(s
2)
5 3 s 1 s 2
对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入 响应分别为
yzs (t) L1[Yzs (s)] (3 4et e2t ) (t)
(s2+3s+2)Y(s)- [ sy(0-)+y′(0-)+3y(0-) ] =2(s+3)F(s)
可解得
Y (s) Yzs (s) Yzi (s)
2(s 3) s2 3s 2
F (s)
sy(0 )
y(0 ) (t)] 1
s
和各初始值代入上式,得
bmsm bm1sm1 ansn1 an1sn1
b1s b0 a1s a0
F(s)
an s n 1
Ai (s) y(i) (0 )
i0
an1sn1 a1s a0
Yzs (s) Yzi (s)
H (s) Yzs (s) F(s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn1 an1sn1 a1s a0
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