函数在经济学中的应用

x
Px
75
x 2
x 75x x2 ， 2
则利润函数为L x R x C x x2 65x 2000
2
L' x x 65
L" x 1 0
故日产65单位商品时，总利润 L 为最大。
例1.3 若药厂计划3个月内分批购进某药材80000kg，每批手续费200元， 假定均匀销售，平均库存为每批进货量之半，库存3个月的费用为0.5元 /kg，求手续费与库存费总和的最小值
8000kg时，y(8000) =4000元为最小值。
1.3 弹性分析
在市场分析中常常需要研究价格的变动对需求量变化的影响程度。但是，
仅仅知道单价 P 有了改变量 ΔP 时，需求量有了改变量 ΔQ，并不足以说
明问题。例如，原来售价分别为1000元和10元的商品，尽管都降价了5元，
但对于需求的影响显然是大不相同的。因此，应当进一步考虑单价的变
P
化幅度对于需求量变化幅度的影响，即单价的相对增量 对于需求量
的相对增量 Q 的影响。
P
Q
在经济学中，将一经济函数 y y x的相对增量与其自变量的相对增量之
比，称为该经济函数的弹性，记为 ， 即 y / x
yx
经济函数 y y x在点 x 处的弹性称为点弹性，也简称为弹性，仍记作 ，
解 设每批进货量为x kg，则手续费与库存费总和为
y 200 80000 1 x x 22
函数定义域为D = (0，80000)， 求导得到 y 16x2 106 1 4
令 y 0 ，解得 D 内唯一驻点x=8000。由实际问题可知，手续费与库存
费总和的最小值一定存在，唯一驻点就是最值点，所以，每批进货量为
解 总成本 平均成本 边际成本
C(100) =1000，
AC100 1000 10元/个 ，
100
MC x C' x x ，
50
MC100 2元/个
这说明， 生产前100个产品时，每个产品平均需求成本10元，而 在此基础上再生产第101个产品，所需成本大约为2元。
1.2 优化分析
经济函数的优化即寻求经济函数的最优解，如企业生产活动的目的是获 得利润，要研究利润函数 L 的最大值。 为此，要增收节支，必须研究收 入函数 R 的最大值、成本函数 C 及平均成本函数 AC的最小值。又如， 扩大市场需求，要研究需求函数的最大值。 这归结为求函数的最值问题， 从而可以利用前面已学过的知识来解决。
求p=3时的需求弹性。
解
Q' P 600003P 1 3
P
Q
P
P
Q'

P
6P
3P
1 1
3 1.8
这说明，当单位售价3元时，若降价10%，则需求量大约增加18%，即 单位售价若从3元降为2.7元时，需求量将从100kg大约增至118kg。
高等数学
Δx=1时， y
x
y ，因此边际函数在一点x0
处的值，可以近似地表
示当自变量在x0 的基础上增加1个单位时，总函数相应的增量(只要单位
1取得适当小) 。
例1.1 某产品总成本C(单位：元)是其产量 x (单位：个)的函数：
C
x
900
100 x2
求其生产100个产品时的总成本、平均单位成本和边际成本。
即 lim y / x lim y / y y' ，
y x0 x x0 x x y / x
3 1
即
x y'
y
3 2
由式(3-1)可见，弹性即边际函数与平均函数之比。 计算时常用式(3-2)。
设需求函数Q=Q(P)， 则需求弹性为
P
Q
P
P
Q'
P
例1.4 当某商品单价为150元时，日销售量为320个；当单价降为140 元时，日销售量为375个，则需求弹性为
例1.2 某厂某商品的日产量为 x (单位：个)，总成本为C(单位：万元)，其
中固定成本为2000万元，生产一个单位商品的可变成本为10万元，每单 位商品售价P (单位：万元)，需求函数为 x 150 2P，问日产多少才能 使总利润L 为最大？
解
成本函数 C x 2000 10x ，
总收入
R
高等数学
函数在经济学中的应用
1.1 边际分析
在经济学中，也常称总成本、总收入、总利润等函数为总函数，而称总
函数的导函数为边际函数。例如：
边际成本 MC = C' x 边际收入 MR = R' x
边际利润 ML = L' x
其中 M 是“边际的”“边缘的”一词 marginal的第一个字母。
当
P
375 320 140 150
/ /
320 150
2.58
式中负号表明销售量与价格的变化反向。 此例说明，销售量的变化 幅度大约是价格变化幅度的2.58倍，或者说，当价格下降1%时，销 量大约上升2.58% 。
例1.5 某商品单位售价为P(单位：元)，需求量为Q(单位：kg)，需求函
数为 Q P 100003P 1 2