专题18函数与方程思想(教学案)2017年高考二轮复习文数(无答案)

专题18 函数与方程思想（教学案）
-2017年高考文数二轮复习
函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．
考点一函数思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
考点二方程思想
1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．考点三函数与方程思想在解题中的应用
可用函数与方程思想解决的相关问题．
1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．
2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
(1)解方程或解不等式；
(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
(4)构造方程或不等式求解问题．
考点一、运用函数与方程思想解决字母 (或式子)的求值或取值范围问题
例1．(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2
(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
【变式探究】 (2014·陕西卷)
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A ．y ＝12x 3－12
x 2－x B ．y ＝12x 3＋12
x 2－3x C ．y ＝14
x 3－x D ．y ＝14x 3＋12
x 2－2x 考点二、运用函数与方程思想解决方程问题
例2、(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤23，1
B ．[0，1] C.⎣⎡⎭
⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)
【规律方法】
研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
【变式探究】 (2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞
B.⎝
⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭
⎫74，2 难点三、运用函数与方程思想解决不等式问题
例3．(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．
【规律方法】
(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法．
(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．
【变式探究】设函数f(x)＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取到极值．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对于任意的x ∈[0，3]都有f(x)<c 2成立，求c 的取值范围；
(3)若方程f(x)＝c 2有三个根，求c 的取值范围．
难点四、运用函数与方程思想解决最优化问题
例4、(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数
y＝a
x2＋b
(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
【规律方法】
解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．
【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【小结反思】
1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．
2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．
3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．。