2021年浙江省之江教育评价高考数学联考试卷(2月份)

2021年浙江省之江教育评价高考数学联考试卷（2月份）
一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（4分）已知集合{|21}M x x =-<<，{|13}N x x =-<<，则(M N = )
A ．(2,3)-
B ．(1,3)-
C ．(2,1)-
D ．(1,1)-
2．（4分）已知2sin 3α=，(2
π
α∈，)π，则tan (α= )
A B ．C D ． 3．（4分）直线0x y +=与圆2220x x y -+=相交所得的弦长为( )
A ．2
B ．4
C ．D
4．（4分）已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是( ) A ．若//l m ，则必有//αβ B ．若l m ⊥，则必有αβ⊥ C ．若l β⊥，则必有αβ⊥
D ．若αβ⊥，则必有m α⊥
5．（4分）数列{1}n a +是等比数列，且11a =，23a =，则2021(a = ) A ．202121-
B ．202121+
C ．202021-
D ．202021+
6．（4分）已知直线1:10l ax y +-=，2:10l x ay ++=，条件:1p a =，条件12://q l l ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（4分）5名同学排成一排照相，若甲、乙相邻且乙、丙不相邻，则不同的排法有( ) A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．60种
8．（4分）已知点(0,0)O ，(A ，0)，B ，0)，设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为
函数y =||(OP = )
A B ．
5
2
C D 9．（4分）已知ABC ∆中，2
A π
∠=
，2BC AB =，D 为BC 上一点，BAD θ∠=，将BAD ∆沿
AD 翻折成△B AD '，若AB '与CD 所成的角为
6
π
，则θ可能为( )
A ．
12
π
B ．
9
π C ．
6
π D ．
3
π 10．（4分）已知函数()b
f x ax x
=+
，若存在两相异实数m ，n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为( )
A ．
2 B ．
3 C ．2 D ．3
二、填空题（本大题共7小题；多空题每小题6分，单空题每小题6分；共36分．） 11．（6分）若复数z 满足34z i i ⋅=+，则z 的实部为 ，||z = ．
12．（6分）函数22()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期为 ，最大值为 ． 13．（6分）若525601256(2)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++⋯++，则016a a a ++⋯+= ，5a = ．
14．（6分）某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线是半圆弧，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．
15．（4分）一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为ξ，则E ξ= ．
16．（4分）若正实数x ，y 满足
114x x y y ++=，则11
x x y
++的最小值为 ． 17．（4分）已知平面向量,a b 满足|2|2a b -=，且()1a a b ⋅+=，则||a b +的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题；共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．（14分）已知ABC ∆的内角，A ，B ，
C 所对的边分别是a ，b ，c ，3sin cos 2a B b A b +=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6b c +=，且ABC ∆的面积23S =a ．
19．（15分）如图，三棱锥P ABC
-中，
3 AB AC BC PA ===
，PB⊥面PAC，E，F分
别为AC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：AC EF
⊥；
（Ⅱ）求PB与面ABC所成角的正弦值．
20．（15分）数列{}
n
a中，
2
7
a=且*
24()
n n
S na n n N
=+∈，其中
n
S为{}
n
a的前n项和．
（Ⅰ）求{}
n
a的通项公式
n
a；
（Ⅱ）证明：*
2222
123
111111
()
393
n
n N
a a a a n
+++⋯+<-∈
+
．
21．（15分）已知抛物线2
:2(0)
C y px p
=>的焦点F到直线:l y x
=的距离为
2
，A，B为抛物线C上两个动点，满足线段AB的中点M在直线l上，点(0,2)
N．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求NAB
∆面积的取值范围．
22．（15分）已知
1
4
a
<，函数()(1)
f x ln x x a
=+-+．
（Ⅰ）证明：()
y f x
=在(0,1)上有唯一零点；
（Ⅱ）记
x为函数()
y f x
=在(0,1)上的零点．证明：
2
a x a
<
（ⅱ）000(21)1x f x lnx +->-
2021年浙江省之江教育评价高考数学联考试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题；每小题4分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（4分）已知集合{|21}M x x =-<<，{|13}N x x =-<<，则(M N = )
A ．(2,3)-
B ．(1,3)-
C ．(2,1)-
D ．(1,1)-
【解答】解：由{|21}M x x =-<<，{|13}N x x =-<<， 则(2,3)M
N =-，
故选：A ．
2．（4分）已知2sin 3α=，(2
π
α∈，)π，则tan (α= )
A B ．C D ． 【解答】解：因为2sin 3α=，(2
π
α∈，)π，
所以cos α==
则sin tan cos ααα=
= 故选：D ．
3．（4分）直线0x y +=与圆2220x x y -+=相交所得的弦长为( )
A ．2
B ．4
C ．D
【解答】解：根据题意，圆2220x x y -+=，即22(1)1x y -+=，其圆心为(1,0)，半径1r =，
圆心到直线0x y +=的距离
d ==，
则弦长2l ==， 故选：D ．
4．（4分）已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是( ) A ．若//l m ，则必有//αβ B ．若l m ⊥，则必有αβ⊥ C ．若l β⊥，则必有αβ⊥ D ．若αβ⊥，则必有m α⊥
【解答】解：A ．如图所示，设c α
β=，//l c ，//m c 满足条件，但是α与β不平行，
因此不正确；
B ．假设//αβ，l β'⊂，//l l '，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，因此不正确；
C ．若l α⊂，l β⊥，根据线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；
D ．设c αβ=，若//l c ，//m c ，虽然αβ⊥，但是可有//m α，因此，不正确．
综上可知：只有C 正确． 故选：C ．
5．（4分）数列{1}n a +是等比数列，且11a =，23a =，则2021(a = ) A ．202121-
B ．202121+
C ．202021-
D ．202021+
【解答】解：根据题意，数列{}n a 中，11a =，23a =，则112a +=，214a +=， 又由数列{1}n a +是等比数列，则数列{1}n a +的首项为2，公比为2， 则有11222n n n a -+=⨯=，
则有2021202112a +=，故2021202121a =-， 故选：A ．
6．（4分）已知直线1:10l ax y +-=，2:10l x ay ++=，条件:1p a =，条件12://q l l ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：若0a =，则两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线不平行，不满足条件． 当0a ≠时，若12//l l ，则满足
11
11
a a -=≠,
由1
1a a
=得1a =或1a =-, 由
11
a
≠-得1a ≠-，综上1a =,即:1q a =， 即p 是q 的充要条件， 故选：C ．
7．（4分）5名同学排成一排照相，若甲、乙相邻且乙、丙不相邻，则不同的排法有( ) A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．60种
【解答】解：根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为A 、B ，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与A 、B 全排列，有23
2
312A A =种排法， ②排好后，将丙安排到空位中，由于乙、丙不相邻，则丙有3种安排方法， 则有12336⨯=种不同的排法， 故选：B ．
8．（4分）已知点(0,0)O
，(A ，0)
，B ，0)，设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为
函数y =||(OP = ) A
B ．
5
2
C
D
【解答】解：因为点P
满足||||2PA PB AB -=<=
所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长22a =
，焦距2c =
由c =，1a =，可得2222b c a =-=，
所以双曲线右支的方程为2
2
1(0)2
y x x -=>，
而点P
在函数y =
所以22
1(0)2
y y x x ⎧=⎪⎨-=>⎪⎩
，解得1
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以||OP =． 故选：C ．
9．（4分）已知ABC ∆中，2
A π
∠=
，2BC AB =，D 为BC 上一点，BAD θ∠=，将BAD ∆沿
AD 翻折成△B AD '，若AB '与CD 所成的角为
6
π
，则θ可能为( ) A ．
12
π
B ．
9
π C ．6π D ．3
π
【解答】解：如图， 过A 作//AE CD ，则6
B AE π
∠'=，
2
A π
∠=
，2BC AB =，∴3
B π
∠=
，6
C π
∠=
，6EAC π
∠=
， BAD B AD θ∠=∠'=，∴2
CAD π
θ∠=
-，6
2
EAD π
π
θ∠=
+
-，
根据B AE B AD EAD ∠'+∠'∠，得6
6
2
π
π
π
θ
θ++
-，
得4
π
θ
．
结合选项可得，3
π
θ=符合，
故选：D ．
10．（4分）已知函数()b
f x ax x
=+
，若存在两相异实数m ，n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为( )
A 2
B 3
C 2
D 3【解答】解：由题意，当()b f x ax c x
=+
=，有2
0(0)ax cx b x -+=≠， ()()f m f n c ==，m ∴，n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根， c m n a ∴+=，b mn a =，而22
2
4||()4c ab m n m n mn a --=+- 40a b c ++=，即4c b a =--，
2222164||16()41b ab a b b
m n a a a
++∴-==⋅+⋅+
令b
t a
=
，则||m n -=，
则当1
8
t =-时，||m n -．
故选：B ．
二、填空题（本大题共7小题；多空题每小题6分，单空题每小题6分；共36分．） 11．（6分）若复数z 满足34z i i ⋅=+，则z 的实部为 4 ，||z = ． 【解答】解：因为34z i i ⋅=+， 所以2
34(34)(34)43i i i
z i i i i i ++=
==-+=-，
故z 的实部为4，||5z =． 故答案为：4；5．
12．（6分）函数22()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期为 π ，最大值为 ． 【解答】解：函数22()sin cos cos 2()f x x x x x R =-=-∈的最小正周期为22
π
π=， 显然，它的最大值为1， 故答案为：π；1．
13．（6分）若525601256(2)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++⋯++，则016a a a ++⋯+= 96 ，5a = ．
【解答】解：
525601256(2)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++⋯++，则令1x =，可得
01696a a a ++⋯+=．
5
455527a C C =+=，
故答案为：96；7．
14．（6分）某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线是半圆弧，则该几何体的体积为 864π+ ，表面积为 ．
【解答】解：由三视图知，该几何体是正方体与半圆柱体的组合体，画出图形，如图所示：
结合图中数据，计算该几何体的体积为：
V V V =+半圆柱正方体 231
2442π=⨯⨯⨯+ 864π=+．
表面积是：
()25S S S S =++侧面正方形底面圆
2211
(22224)5422ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯
1280π=+．
故答案为：864π+，1280π+．
15．（4分）一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为ξ，则E ξ=
10
3
． 【解答】解：将该正方体抛掷2次，则向上的数字之和ξ的可能取值为2，3，4，5,6， 331
(2)664
P ξ==⨯=，
32231
(3)66663P ξ==⨯+⨯=，
2231135
(4)66666618P ξ==⨯+⨯+⨯=，
21121
(5)66669P ξ==⨯+⨯=，
111
(6)6636
P ξ==⨯=
, ∴向上的数字之和的数学期望11511102345643189363
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故答案为：
10
3
．
16．（4分）若正实数x ，y 满足114x x y y ++=，则11
x x y
++的最小值为 1 ． 【解答】解：由114x x y y ++=可得：1141
4x x y x x
+-=-=
, 所以(1)41x x y x +=
-, 则11141(1)
x x x x y x x x -++=+++
14155
(1)1(1)11
x x x x x x x x x ++-=+
=+=++-+++
2(1)11x +=,
当且仅当5
11
x x +=+,即1x =时取等号，
此时11
x x y
+
+的最小值为1,
故答案为：1．
17．（4分）已知平面向量,a b 满足|2|2a b -=，且()1a a b ⋅+=，则||a b +的取值范围是 [1，3] ．
【解答】解：法一，由|2|2a b -=，
∴22444a a b b -⋅+=⋯⋯①，
且()1a a b ⋅+=，可得21a a b +⋅=⋯⋯②； 把②代入①可得：22
18
b a +=⋯⋯③，
可知201a ，
根据②③可得2
||||cos 8b
a b b a θ=⋅=⋅， 可得||8||b a ，⋯⋯④
将④代入③，可得9||1a ，即1
||
9
a ； ∴
1||19
a ；
那么22||||2||109|[1a b a a b b +=+⋅+=-，3]； 故答案为[1，3]，
法二，由|2|2a b -=，且()1a a b ⋅+=，可得3()3a a b ⋅+=，设3a m =，a b n +=，可得||2m n -=，3m n ⋅=
22||||12m n m n +--=，
∴那么||4m n +=，
2|||()()|[2n m n m n ∴=+--∈，6]，
即||[1n ∈，3]， 故答案为[1，3]．
三、解答题（本大题共5小题；共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．（14分）已知ABC ∆的内角，A ，B ，
C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin cos 2B b A b +=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6b c +=，且ABC ∆的面积S =a ．
【解答】解：sin cos 2B b A b +=，由正弦定理得；
sin sin cos 2sin A B B A B +=，
cos 2A A +=，
得2sin()26A π+=，得sin()16A π
+=，
因0A π<<，故6
2
A π
π
+
=
，得3
A π
=
．
（Ⅱ）1sin 2S bc A ==得8bc =，
22222cos ()3362412a b c bc A b c bc =+-=+-=-=,
2
3a ∴=．
19．（15分）如图，三棱锥P ABC -中，3AB AC BC PA ===，PB ⊥面PAC ，E ，F 分别为AC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：AC EF ⊥；
（Ⅱ）求PB 与面ABC 所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接PE 、BE ，
因为PB ⊥面PAC ，所以90APB CPB ∠=∠=︒，
又因为AB BC =,PB PB =,所以PAB PCB ∆≅∆，所以PA PC =， 所以PE AC ⊥，
因为AB BC =，所以BE AC ⊥， 因为PE
BE E =，所以AC ⊥平面PBE ，
因为EF ⊂平面PBE ，所以AC EF ⊥．
（Ⅱ）解：不妨设1PA =，则3AB BC CA ===
222231
1(
)22
PE PA AE =--=, 2222(3)12PB AB PA --=,
由（Ⅰ）知，AC ⊥平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，
所以平面ABC ⊥平面PBE ，于是PB 在平面ABC 投影为BE ，
PB 与面ABC 所成角为PBE ∠，其正弦值为
221
1
233
2
PE
BE
PB PE ===+．
故PB 与面ABC 所成角的正弦值为1
3
．
20．（15分）数列{}n a 中，27a =且*24()n n S na n n N =+∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）证明：
*
2222123111111()393
n n N a a a a n +++⋯+<-∈+． 【解答】解：（Ⅰ）由24n n S na n =+，取1n =，有1124a a =+，得14a =， 当2n 时，112(1)4(1)n n S n a n --=-+-， 两式相减得12(1)4n n n a na n a -=--+， 即1(2)(1)40(2)n n n a n a n ----+=， 12(3)(2)40(3)n n n a n a n --∴---+=，
两式再相减得12(2)(24)(2)0n n n n a n a n a -----+-=， 即212(3)n n n a a a n --+=，
{}n a ∴为等差数列，又21743d a a =-=-=，
则43(1)31n a n n =+-=+； 证明：（Ⅱ）要证2222123111111
393
n a a a a n +++⋯+<-
+， 即证
2222111111
...4710(31)393
n n ++++<-
++， 2
11111
()(31)(32)(31)33231
n n n n n <=-+-+-+， ∴
22221111111111...(1...)4710(31)34473231
n n n ++++<-+-++-+-+ 1111
(1)331393n n =-=-
++． 故*2222123111111()393
n n N a a a a n +++⋯+<-∈+． 21．（15分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =2
，A ，B 为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）求NAB ∆面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(
2
p
F ,0), 所以点F 到直线y x =的距离|
0|
222
p d -= 解得2p =,
所以抛物线方程为24y x =．
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：x my t =+,21(4y A ,1)y ,2
2(4y B ,2)y ,
联立方程组24y x
x my t
⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=,
所以1212
44y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，
得(2,2)M m m ,
有22
12444
y y m +=，即21212()216y y y y m +-=,
所以222t m m =-, 点N 到AB 的距离2
1h m
=
+,
22221212||1()441AB m y y y y m m t ++-=++
所以2221
||2|24|222
NAB S AB h m t m t m m m m ∆=
=++=-- 令22u m m -2(1)1u m =--+,
由24y x y x =⎧⎨=⎩
，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)，
因点M 在l 上可得(0,2)m ∈, 所以(0μ∈,1], 得34(0NAB S μ∆=∈,4]． 22．（15分）已知1
04
a
<，函数()(1)f x ln x x a =+-+． （Ⅰ）证明：()y f x =在(0,1)上有唯一零点； （Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在(0,1)上的零点．证明：
0x <
（ⅱ）000(21)1x f x lnx +->- 【解答】（本小题满分15分） 证明：()I 当[0x ∈，1]时，1()1011
x
f x x x -'=-=++， 所以()f x 在[0，1]减函数（2分） (0)0f a =>，
f （1）3
1316212120444
ln lne ln a ln ln -=-+-+=-=
<， 所以()f x 在(0,1))上存在唯零点（5分） （Ⅱ）即证204a x a <<，0(0,1)x ∈，
由已知00(1)0ln x x a +-+=得00(1)a x ln x =-+，
代入上式只要证200000(1)44(1)x ln x x x ln x -+<<-+，（6分） 构造函数20000()(1)x x x ln x ϕ=-++，
200000021
()21011
x x x x x x ϕ+'=-+=>++，所以0()x ϕ为增函数0()(0)0x ϕϕ>=，
所以2000(1)x ln x x -+<，（8分） 构造函数20000()44(1)h x x x ln x =--+， 0000002(1)4
()42011
x x h x x x x --'=--
=>++， 所以0()h x 为增函数，0()(0)0h x h >=， 所以200044(1)x x ln x <-+，
故原不等式成立（10分） ()ii 由已知00(1)ln x x a +=-，
所以0000000(21)((22)(21))x f x lnx x ln x x a lnx +-=+-++- 0000(2(1)21)x ln ln x x a lnx =++--+- 0000(221)x ln x a x a lnx =+---+-
2000(21)x ln x lnx =-+--， 记20000()(21)m x x ln x lnx =-+--， 000
1
()2210m x x ln x '=-+--
<， 所以0()m x
为减函数，因为01x <，
所以0()42(2m x m a ln ln >=-+-（12分）
因为1ln ，
所以0()4221)m x a ln >-+
41a >-
41a =--，
由104a
<得12
a a ，
所以41211a a
----=- 故000(21)1x f x lnx +->-成立（15分）。